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(共59张PPT)
第四章 参数估计
第一节 参数估计的基本原理
第二节 一个总体参数的区间估计
第三节 两个总体参数的区间估计
第四节 样本量的确定
学习目标
通过本章的学习，了解估计量和估计值的含义；评价估计量的标准；理解点估计、区间估计、置信区间的含义；掌握一个总体参数的区间估计和两个总体参数的区间估计；掌握样本量的确定。
第一节 参数估计的基本原理
按支出分组（元） 学生数
300以下 4
300-400 41
400-500 74
500-600 62
600-700 33
700以上 51
合计 265
对本校大学生月生活费支出问题进行抽样调查。共发放300份问卷，回收291份，有效问卷265份。
能否推算全校大学生月生活费？
参数估计
用样本统计量去估计总体的参数。将总体参数笼统地用一个符号θ来表示，用于估计总体参数的统计量用 表示，称为估计量；根据一个具体样本计算出来的估计量的数值称为估计值；
一、参数估计概述
统计量
参数
θ
按支出分组（元） 学生数
300以下 4
300-400 41
400-500 74
500-600 62
600-700 33
700以上 51
合计 265
1.点估计
用样本统计量 的某个取值直接作为总体参数θ的估计值。
用样本均值 直接作为总体均值μ的估计值；
用样本方差s2直接作为总体方差σ2
（1）样本是随机的
（2）无法给出估计的可靠性的度量
2.区间估计
在点估计的基础上，加减估计误差Δx得到总体参数估计的一个区间范围。
按支出分组（元） 学生数
300以下 4
300-400 41
400-500 74
500-600 62
600-700 33
700以上 51
合计 265
在给定的置信水平下，总体平均值估计如下：
置信区间
在95%的置信水平，估计全校学生月生活费水平为：[520.79元，554.31元]
若抽样100次，有100个置信区间，有95%的区间包含了总体参数的真值
置信水平：一般地，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，或置信度、置信系数。
表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的 为0.01，0.05，0.10
置信水平 α α/2 zα/2
90% 0.1 0.05 1.645
95% 0.05 0.025 1.96
99% 0.01 0.005 2.58
置信区间
置信下限
置信上限
点估计
置信水平=1-α
当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大，即区间比较宽时，才会使这一区间有更大的可能性包含参数的真值；当置信水平固定时，置信区间的宽度随样本量的增大而减少，即，较大的样本所提供的有关总体的信息要比较小的样本多。
二、评价估计量的标准
1.无偏性
是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，设总体参数为θ，所选择的估计量为 ，如果E（ ）=θ，则称 为θ的无偏估计量。
根据样本均值的抽样分布可知，
二、评价估计量的标准
2.有效性
是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。
假定有两个用于估计总体参数的无偏估计量，分别用 和 表示，它们的抽样分布的方差分别用 和 表示，如果 方差小于 的方差，就称 是比 更有效的一个估计量。在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计就越有效。
二、评价估计量的标准
3.一致性
是指随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。根据样本均值的抽样分布可知，样本均值抽样分布的标准差为
由于 与样本量大小有关，样本量越大， 的值就越小，因此可以说，大样本量给出的估计量更接近总体均值μ。从这个意义上说，样本均值是总体均值的一个一致估计量。
第二节 一个总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计
二、总体比例的区间估计
三、总体方差的区间估计
一、总体均值的区间估计
1.正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
样本均值 的抽样分布为正态分布，即：
经过标准化后服从标准正态分布，即：
一、总体均值的区间估计
1.正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为：
α是事先确定的一个概率值，也称为风险值，它是总体均值不包括在置信区间的概率。1- α为置信水平；
z α/2是标准正态分布右侧面积为α/2时的z值；
是估计总体均值时的估计误差
非正态分布，但大样本，则用s代替σ即可。
例：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量大约为8000袋。按规定每袋的重量应为100g。为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。
25袋食品的重量
112.5 101.0 103.0 102.0 100.5
102.6 107.5 95.0 108.8 115.6
100.0 123.5 102.0 101.6 102.2
116.6 95.4 97.8 108.6 105.0
136.8 102.8 101.5 98.4 93.3
解：已知Ｘ~N( ，102)，n=25, 1- = 95%，z /2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
例题：
保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间。
解：已知n=36, 1- = 90%，z /2=1.645。根据样本数据计算得：
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
一、总体均值的区间估计
2.正态总体、方差未知、小样本
需要用样本方差s2代替σ2，样本均值经过标准化后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布，即：
一、总体均值的区间估计
2.正态总体、方差未知、小样本
总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为：
α是事先确定的一个概率值，也称为风险值，它是总体均值不包括在置信区间的概率。1- α为置信水平；
t α/2是自由度为（n-1）时，t分布中右侧面积为α/2时的t值
例题：
已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下，建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。
解：已知Ｘ~N( ， 2)，n=16, 1- = 95%，t /2=2.131
根据样本数据计算得： ，
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h
二、总体比例的区间估计
当样本量足够大时，比例p的抽样分布可用正态分布近似，其均值为π，方差为π（1- π ）/n，经过标准化后服随机变量服从标准正态分布，即：
总体比例π在1- α置信水平下的置信区间为：
实际上，由于π是要估计的，用p代替π
例题：某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%，z /2=1.96
该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%
三、总体方差的区间估计
只讨论正态总体方差的估计问题。方差服从自由度为n-1的卡方分布，即：
总体方差σ2在1- α置信水平下的置信区间为：
小结
1.正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
2.正态总体、方差未知、小样本
一、总体均值的区间估计
二、总体比例的区间估计
三、总体方差的区间估计
例题：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间。
25袋食品的重量
112.5 101.0 103.0 102.0 100.5
102.6 107.5 95.0 108.8 115.6
100.0 123.5 102.0 101.6 102.2
116.6 95.4 97.8 108.6 105.0
136.8 102.8 101.5 98.4 93.3
第三节 两个总体参数的区间估计
一、两个总体均值之差的区间估计
1.两个总体均值之差的估计：独立样本
（1）大样本的估计
假定条件
两个总体都服从正态分布， 1２、 2２已知
若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n1 30和n2 30)
两个样本是独立的随机样本
使用正态分布统计量 z
1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
1２、 2２未知时，两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信
区间为
【例】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如下表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间。
两个样本的有关数据
中学1 中学2
n1=46 n1=33
S1=5.8 S2=7.2
解: 两个总体均值之差在1- 置信水平下的置信区间为
两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为
5.03分~10.97分
一、两个总体均值之差的区间估计
1.两个总体均值之差的估计：独立样本
（2）小样本的估计
假定条件
两个总体都服从正态分布
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
当 1２和 2２未知时，有以下两种情况，
两个总体方差未知但相等： 1２= 2２
两个总体方差未知且不相等： 1２ 2２
1）两个总体方差未知但相等： 1２= 2２ 小样本
需要用两个样本的方差来估计，这时，需要将两个样本的数据组合在一起，以给出总体方差合并估计量：
这时，两个样本均值之差经过标准化后服从自由度为（n1+n2-2）的t分布：
两个总体方差未知但相等： 1２= 2２
两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。
两个方法组装产品所需的时间
方法1 方法2
28.3 36.0 27.6 31.7
30.1 37.2 22.2 26.0
29.0 38.5 31.0 32.0
37.6 34.4 33.8 31.2
32.1 28.0 20.0 33.4
28.8 30.0 30.2 26.5
解: 根据样本数据计算得
合并估计量为
两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为
0.14min~7.26min
2）两个总体方差未知且不相等： 1２ 2２，小样本
两个样本均值之差经过标准化后近似服从自由度为 的t分布，
自由度 的计算公式为：
使用统计量：
两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
两个总体方差未知且不相等： 1２ 2２
【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。
两个方法组装产品所需的时间
方法1 方法2
28.3 36.0 27.6 31.7
30.1 37.2 22.2 26.5
29.0 38.5 31.0
37.6 34.4 33.8
32.1 28.0 20.0
28.8 30.0 30.2
解: 根据样本数据计算得
自由度为
两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为
0.192min~9.058mni
一、两个总体均值之差的区间估计
2.两个总体均值之差的估计：匹配样本
（1）大样本条件下，两个总体均值之差μd=μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为：
式中，d表示两个匹配样本对应数据的差值； 表示各差值的均值；
σd表示各差值的标准差。当总体的σd未知时，可用样本差值的标
准差sd来代替。
（2）小样本条件下，假定两个总体各观察值的配对差服从正态分布。两个总体均值之差μd=μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为：
【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表 。试建立两种试卷分数之差 d= 1- 2 95%的置信区间。
10名学生两套试卷的得分
学生编号 试卷A 试卷B 差值d
1 78 71 7
2 63 44 19
3 72 61 11
4 89 84 5
6 91 74 17
5 49 51 -2
7 68 55 13
8 76 60 16
9 85 77 8
10 55 39 16
解: 根据样本数据计算得
两种试卷所产生的分数之差的置信区间为
6.33分~15.67分
二、两个总体比例之差的区间估计
由样本比例的抽样分布可知，从两个二项总体中抽出两个独立的样本，则两个样本比例之差的抽样分布服从正态分布。同样，两个样本的比例之差经标准化处理后服从标准正态分布，即：
当两个总体比例π1和π2未知时，可用样本比例p1和p2来代替，根据正态分布建立的两个总体比例之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为：
【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间。
解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%，
1- =95%， z /2=1.96
1- 2置信度为95%的置信区间为
城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%
三、两个总体方差比的区间估计
由于两个样本方差比的抽样分布服从F（n1-1,n2-2）分布，
因此可以用F分布来构造两个总体方差比的置信区间，总体
方差比在1- 置信水平下的置信区间为：
式中，Fα/2和F1-α/2是分子自由度为（n1-1）和分母自由度为（n2-1）的F分布的右侧面积为α/2和1-α/2的分位数。由于F分布表只给出面积较小的右分位数，此时可利用下面的关系求得F1-α/2的分位数值：
【例】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：
男学生：
女学生：
试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间
解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F /2(24)=1.98，
F1- /2(24)=1/1.98=0.505
12 / 22置信度为90%的置信区间为
男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.84
待估参数
均值差
比例差
方差比
独立大样本
独立小样本
匹配样本
独立大样本
12、 22已
12、 22未
Z分布
Z分布
12、 22已知
12、 22未知
Z分布
12= 22
12≠ 22
正态总体
F分布
Z分布
t分布
t分布
t分布
小结
第四节 样本量的确定
样本量n与总体方差 2、估计误差E、可靠性系数Z之间的关系为：
与总体方差成正比
与估计误差E的平方成反比
与可靠性系数成正比
一、估计总体均值时样本量的确定
估计误差：
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望估计误差为400元，应抽取多大的样本量？
解: 已知 =2000，E=400, 1- =95%， z /2=1.96
应抽取的样本量为
即应抽取97人作为样本
二、估计总体比例时样本量的确定
估计误差：
E的取值一般小于0.1
未知时，可取使 （1- ）达到最大时的0.5
例题：根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求估计误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？
解:已知 =90%， =0.05， z /2=1.96，E=5%
应抽取的样本量为：
应抽取139个产品作为样本
谢谢

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