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5.1 导数的概念及其意义
目 录
知识清单
1． 函数的平均变化率 - 2 -
2． 函数的瞬时变化率 - 3 -
3． 在某处导数 - 3 -
4． 导函数 - 4 -
典型例题
母题1：平均变化率 - 4 -
母题2：瞬时变化率 - 7 -
母题3：某处的导数 - 9 -
3-1：导数的概念 - 10 -
3-2：求某点处的导数 - 11 -
3-3：导数概念的变形 - 13 -
知识清单
函数的平均变化率
（1）函数平均变化率的定义
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时，的变化量为，的变化量为。我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率。
（2）解题思路
①先计算函数值的改变量；
②再计算自变量的改变量；
③得平均变化率。
函数的瞬时变化率
（1）函数瞬时变化率的定义
对于函数，自变量从到，相应的平均变化率。如果无限趋近于时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的极限是，这时就是函数在时的瞬时变化率，即瞬时变化率。
（2）求瞬时变化率的三个步骤：
①写出改变量，改变量（）；
②求平均变化率：；
③求瞬时变化率：当时，（常数）。
在某处导数
（1）概念
如果当时，平均变化率无线趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。
（2）解题思路
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③求极限。
导函数
若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(称导数)，记作或，即 。
典型例题
母题1：平均变化率
若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
B　[＝＝＝＝4.1，故选B.]
已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解]　(1)因为f (x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
=3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率为＝6x0＋3Δx.
函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是(　　)
A． B． C． D．大小关系不能确定
【解析】函数在到之间的平均变化量为：
．
函数在到之间的平均变化量为：
．
，而，故．
故选：．
函数在的平均变化率分别记为，
则下面结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】m1f(1)－f(0)=1－0=1，
m2f(1)－f(0)=12－0=1，m3f(1)－f(0)=13－0=1，
故m1=m2=m3，故选：A．
（2023秋·高二课时练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数平均变化率的计算公式，结合函数的图象，即可求解.
【解答过程】由函数平均变化率的计算公式，可得
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
结合函数的图象，可得.
故选：D.
（2023春·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，
由图可知，
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：C
母题2：瞬时变化率
求瞬时变化率的三个步骤：
写出改变量，改变量（）；
求平均变化率：；
求瞬时变化率：当时，常数。
已知某物体的运动方程是(的单位：，的单位：)，则当时的瞬时速度为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
当无限趋近于0时，无限趋近于4，
所以当时的瞬时速度为．
故选：A
一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意， ＝(Δt＋6)＝6.故选：C
（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据导数的物理定义，对函数求导代入即可求解；
【解答过程】由，得：，所以时体积关于半径的瞬时变化率为;
故选：D.
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s。
[解]（1）　∵＝＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
（2）求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
（3）设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【答案】C
【解析】由，求导得：.
当时，，解得（舍去）.
故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故选：C
母题3：某处的导数
3-1：导数的概念
（2023春·上海·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间。则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【解题思路】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【解答过程】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
（2023春·山东青岛·高二校考期中）某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（ ）
A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移
【解题思路】根据导数的物理意义判断．
【解答过程】解：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
故选：C.
某物体做自由落体运动的位移，，若，则是该物体(　　)
A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度
C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度
【答案】C
【解析】根据题意，9.8m/s，则有s′(1)=9.8m/s，
即物体在t=1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s，
故选：C．
3-2：求某点处的导数
求函数在处的导数的方法：
写出改变量，改变量（）；
求变化率：；
取极限：。
函数y＝在x＝2处的导数为________．
解析：法一(导数定义法)：
∵Δy＝－＝－1＝－，
∴＝－，
∴y′＝＝－＝－1.
法二(导函数的函数值法)：
∵Δy＝－＝－，
∴＝－，
∴y′＝＝－＝－.
∴y′＝－＝－1.
答案：－1
（2023春·高二课时练习）已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．－4 D．8
【解题思路】由导数的定义求出该曲线在P点处切线的斜率.
【解答过程】
故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4，
结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4.
故选：A.
（2020·广东南海·高二期末）在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C．13.1 D．3.3
【答案】B
【解析】由，得，
当时，，
所以高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度，故选：B
（2020·扶风县法门高中高二月考（理））一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是
A．5 m／s B．6 m／s C．7 m／s D．8 m／s
【答案】A
【解析】由题意，位移关于时间的运动方程为，则，
当时，，故选A．
3-3：导数概念的变形
（2020·广东佛山·高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，故选：A.
(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值( )
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
【答案】AD
【解析】由导数的定义，得：，
即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
故选:AD.
已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意，，所以.
故选：B.
（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故
故选：B
已知函数是可导函数，且，则等于　 　．
【解析】，，
设，
故答案为：3．
【点拨】导数有不同表示形式
与相关.
(多选)设在处可导，下列式子中与相等的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
(2021·阜康市第一中学高二期中(文))已知函数在处的导数为，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在处的导数为，
所以，
所以，
故选：B.
已知函数的导函数为，且，则实数的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解:，
解得
故选：D5.1 导数的概念及其意义
目 录
知识清单
1． 函数的平均变化率 - 3 -
2． 函数的瞬时变化率 - 3 -
3． 在某处导数 - 3 -
4． 导函数 - 4 -
典型例题
母题1：平均变化率 - 5 -
母题2：瞬时变化率 - 7 -
母题3：某处的导数 - 8 -
3-1：导数的概念 - 8 -
3-2：求某点处的导数 - 9 -
3-3：导数概念的变形 - 10 -
知识清单
函数的平均变化率
（1）函数平均变化率的定义
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时，的变化量为，的变化量为。我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率。
（2）解题思路
①先计算函数值的改变量；
②再计算自变量的改变量；
③得平均变化率。
函数的瞬时变化率
（1）函数瞬时变化率的定义
对于函数，自变量从到，相应的平均变化率。如果无限趋近于时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的极限是，这时就是函数在时的瞬时变化率，即瞬时变化率。
（2）求瞬时变化率的三个步骤：
①写出改变量，改变量（）；
②求平均变化率：；
③求瞬时变化率：当时，（常数）。
在某处导数
（1）概念
如果当时，平均变化率无线趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。
（2）解题思路
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③求极限。
导函数
若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(称导数)，记作或，即 。
典型例题
母题1：平均变化率
若一质点按规律运动，则在一小段时间内的平均速度是（ ）
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
已知函数，求：
（1）从到的平均变化率；
（2）在区间上的平均变化率。
函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不能确定
函数在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·高二课时练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
母题2：瞬时变化率
求瞬时变化率的三个步骤：
写出改变量，改变量（）；
求平均变化率：；
求瞬时变化率：当时，常数。
已知某物体的运动方程是(的单位：，的单位：)，则当时的瞬时速度为( )
A． B． C． D．
一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s。
（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
母题3：某处的导数
3-1：导数的概念
（2023春·上海·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
（2023春·山东青岛·高二校考期中）某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（ ）
A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移
某物体做自由落体运动的位移，，若，则是该物体(　　)
A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度
C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度
3-2：求某点处的导数
求函数在处的导数的方法：
写出改变量，改变量（）；
求变化率：；
取极限：。
函数y＝在x＝2处的导数为________．
（2023春·高二课时练习）已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．－4 D．8
（2020·广东南海·高二期末）在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C．13.1 D．3.3
（2020·扶风县法门高中高二月考（理））一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是
A．5 m／s B．6 m／s C．7 m／s D．8 m／s
3-3：导数概念的变形
（2020·广东佛山·高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值( )
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
已知函数是可导函数，且，则等于　 　．
(多选)设在处可导，下列式子中与相等的是( )
A． B．
C． D．
(2021·阜康市第一中学高二期中(文))已知函数在处的导数为，则 等于( )
A． B． C． D．
已知函数的导函数为，且，则实数的值为( )
A． B． C． D．

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