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5.2运动的合成与分解
之两大专题
——小船渡河、关联速度
第五章抛体运动
在初中我们学习过，船在静水中速度为v船，水流速为v水，船在顺流而下时，v=v船+v水；逆流而上时，v=v船-v水
现在我们要学习的是，小船渡河，我们首先想到的是v船垂直于v水，再想一想，这样做，小船能够到达正对的对岸吗？
专题一、小船渡河模型
1、当小船静止放入流动的河中，小船会随着河水飘向下游，并且飘移速度与河水流速相同。
小船在水中运动的特点：
3、当小船在流动的河水中渡河，小船既会沿着河水运动，也会向着对岸运动，小船的实际运动是以上两个运动的合成。
2、当小船在静水中运动时，小船将会以自己的速度驶向对岸。
1、模型分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度： v船(船在静水中的速度)、 v水(水流速度)、v(船的实际速度)。
小船的实际运动是合运动(小船的实际速度也就是合速度)．
船的实际运动 v（相对于河岸的运动）可看成是随水以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的划行运动的合运动。这两个分运动互不干扰具有等时性。
2、三种问题
问题一：渡河时间最短
垂直河岸分速度：v⊥=v船sinθ
平行河岸分速度：v∥=v船cosθ
当θ=900时，渡河时间最短，为tmin＝????????船，此时船头正对河岸行驶，但轨迹是一条斜线
?
当v船方向偏向上游与河岸成θ角时，可将v船正交分解。
例1、如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。小船如何渡河时间最短？最短时间tmin为多少？
由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，
问题二：渡河的最短位移（v船>v水）
1.当v船＞v水时，
条件：
①船头应指向河的上游；
②v水－v船cosθ＝0，即船的合速度v合的方向与河岸垂直
最短位移：xmin=d
渡河时间：t=????????合=????????船????????????????
?
d
当v船方向与合速度v 方向垂直时，有最短渡河位移xmin 。
v船v水
xmin
B
C
D
E
A
v船
θ
θ
θ
v
v船
问题 三：渡河的最短位移（v船即V船⊥V合时，此时渡河位移最短
cosθ =
v水
v船
当船头斜向上游，与河岸成θ，且满足
最短位移：????????????????=????????????????????，????????????????????=????船????水????????????渡河时间：t=????????????????????合
?
例2、 一船在静水中的速度为3m/s，要横渡宽为30m,流速为4m/s的河流，下列说法中不正确的是( )
A:此船能垂直到达河对岸
B:此船不可能垂直到达河对岸
C:此船相对河岸速度一定为5m/s
D:过河时间可能为15s
A C
例3、洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有人民子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为3????。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开游涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为
A．32???? B．13????
C．3???? D．12????
?
A
例4、骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示。选手骑马沿图乙所示直线????????????????匀速前进，速度大小为????????，运动员静止时射出的箭速度大小为????????，靶中心P到????????????????的垂直距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（ ）
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出
C．若箭能命中靶心，且运动位移最短，则箭射中靶心的时间为????????????
D．若箭能命中靶心，且运动位移最短，则箭射中靶心的时间为?????????????????????????????
?
D
例5、小船要渡过200 m宽的河，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s，求：
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多久？
(3)小船渡河的最短时间为多少？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船驶向下游的距离最小？最小距离是多少？(结果取整数)
（1）t⊥＝ ?????????船???＝???????????????? s＝50 s.小船沿水流方向位移s水＝v水t⊥＝2×50 m＝100 m。即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
?
（2）船头与上游河岸的夹角为60°. 渡河时间t′＝????????＝?????????????????????????????????°s＝100???????? s.
?
（3）船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
（4）cos β＝????′船????′水 ＝???????? ，船头与上游河岸的夹角β＝53°，又????′????＝????′????′船＝????′水????+????′船????????′船，代入数据，解得x′≈267 m．
?
专题二、关联速度模型
1、什么是关联速度
关联体一般是两个（或两个以上）物体通过不可伸长的轻绳或轻杆联系在一起或直接挤压到一起，它们的运动简称为关联运动。
相互关联的两个物体一般不是都沿轻绳或轻杆运动的，从而使两个物体的速度不相同，有时两个物体即使在同一方向上运动，其速度的大小也不相等，但二者的速度存在某种关系，此二者的速度称为“关联速度”.
2、“关联速度”特点：
用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。（由于绳或杆不可伸长，沿绳或杆方向的分速度大小相等）
3.常见的模型：
4、利用关联速度解题步骤
第一步：确定物体的实际运动（即合运动）
第二步：将绳或杆两端物体的实际运动（即合运动）的速度进行正交分解为垂直于绳(或杆)方向的分速度v⊥和沿着绳(或杆)方向的分速度v∥
第三步：根据沿绳(或杆)方向的分速度v∥相等列等式求解。
绳模型：vA∥=vB∥
杆模型：vA∥=vB∥
【典题1】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地面上的人以速度????0向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（　　）
A．12????0 B．233????0 C．32????0 D．????0
?
绳下端实际速度????0
?
1.使下端绳子伸长
2.使下端绳子旋转
将????0沿绳方向分解为??????=????0cos????
?
将????0沿垂直于绳方向分解为????⊥=????0sin????
?
绳上端实际速度????
?
使上端绳子缩短
作用效果
作用效果
绳子下端伸长的速度??????和上端缩短的速度大小相等????，即??????=????
?
因此????=????0????????????????
?
故本题选C.
????0
?
??????
?
????⊥
?
????
?
【典例2】一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以vA匀速运动，当连A的绳子与水平方向成a角，连B的绳子与水平方向成????角时，B物体的速度为vB，则（　　）
A．A物体的速度vA与B物体的速度vB的大小相等
B．A物体的速度vA与B物体的速度vB的大小关系满足????????????????????????=????????????????????????
C．此后B物体以速度vB做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做减速运动
?
绳A端实际速度????????
?
1.使A端绳子伸长
2.使A端绳子旋转
将????????沿绳方向分解为??????′=????????cos????
?
将????????沿垂直于绳方向分解为????⊥′=????????sin????
?
绳B端实际速度????????
?
1.使B端绳子缩短
作用效果
作用效果
绳子A端伸长的速度??????′和B端缩短的速度大小相等??????′′，即??????′=??????′′
?
因此????????cos????= ????????cos????
?
故本题选B.
2.使B端绳子旋转
将????????沿绳方向分解为??????′′=????????cos????
?
将????????沿垂直于绳方向分解为????⊥′′=????????sin????
?
????????
?
??????′
?
????⊥′
?
【典题3】 ．如图所示，司机驾驶汽车通过绳子跨过定滑轮将货物往上吊起，汽车以速度v匀速向左行驶，当连接汽车部分的绳子与水平方向所成的夹角为θ时，下列说法正确的是（　　）
A．此时货物的速度大小为vsinθ
B．此时货物的速度大小为vcosθ
C．此时货物处于失重状态
D．此时货物处于平衡状态
B
【典题4】如图所示，一根铁棒AB两端分别沿竖直墙壁和水平地面滑动，当铁棒滑到与竖直墙壁成θ角时，A端下滑的速度为v，则此时B端移动的速度为（　　）
A．vsinθ B．???????????????????? C．vtanθ D．????????????????????
?
????????
?
????′′
?
????⊥′′
?
????
?
??????′
?
????⊥′
?
??????′=????????????????????
?
??????′′=????????????????????????
?
有：????????????????????=????????????????????????
?
故选D
【典题5】如图，长为L的直棒一端可绕固定轴O在竖直平面内转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为θ时，棒的瞬时速率为（　　）
A．???????????????????? B．???????????????????? C． ????????????????????? D． ????????????????????
?
????0
?
??????
?
????⊥
?
????⊥=????0sin????
?
????⊥=????
?
故选B
【典例6】如图所示，滑块B以速度vB向左运动时，触点P的沿杆移动的速度如何？
08.
【典题7】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（　　）
A．vsinθ B．vcosθ
C．vtanθ D．vcotθ
A
【典题8】如图所示，两条水平轨道位于同一竖直平面内，轨道上两个物体A和B通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以匀速率vA=10m/s运动，在绳子与轨道成30o角时，物体B的速度大小vB =？
1.正交分解得到平行于绳方向的分速度：vA∥=vA，vB∥=vBcos30°
2.分速度大小相等：
vA∥=vB∥ 所以vA=vBcos30°
3.结果：vB=2033 (m/s)
?
01
小船过河模型：
1.最短时间：tmin＝????????船
2.最短位移：①当v船＞v水时，最短位移：xmin=d
②当v水≥v静水时，最短位移：????????????????=????????????????????，????????????????=????船????水
?
02
关联速度：
沿着绳(或杆)方向的分速度v∥相等
小结

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