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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
1.理解公因式的概念，并能确定一个多项式的公因式
2.能够正确运用提公因式法进行因式分解
一、学习目标
二、新课导入
1.什么是因式分解？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
2.因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆的运算.
复习导入
三、概念剖析
观察下列这些多项式，他们的公同点是什么吗？
(1)2x+3x+4x (2)4a-2a-3ab (3)ma+mb+mc
它们的各项有一个公共的因式，比如(3)式中的因式m，我们把因式m叫做
这个多项式各项的公因式.
说一说：下列多项式的公因式.
ab+bc
3x2-3y
7a-21a2
3x3+6x2
(b)
(3)
(7x)
(3x2)
有什么发现？
确定一个多项式的公因式要从数字系数和字母及次数考虑.
三、概念剖析
总结：
确定公因式的关键：
(1)定系数：公因式的系数取各项系数的最大公约数；
(2)定字母：字母取各项都含有的字母；
(3)定指数：字母次数取相同字母次数最低的.
简写：系数找最大，字母找相同，次数找最低.
三、概念剖析
这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项
的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
提公因式法.
注意：这里的m可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
ma+mb+mc=m(a+b+c)
四、典型例题
例1.分解因式：8a3b2+12ab3c.
分析：先找公因式，再提取公因式.系数的最大公约数是4，字母部分都含
有ab，其中a最低次数为1，b最低次数为2，因此选定4ab2为公因式.
思考：如果提出公因式4ab，
另一个因式是否还有公因式？
如果提出的公因式是4ab，那么另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式b.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc，
=4ab2(2a2+3bc).
四、典型例题
总结：1.公因式的取法：
(1)定系数：公因式的系数取各项系数的最大公约数；
(2)定字母：字母取各项都含有的字母；
(3)定指数：字母次数取相同字母次数最低的
2.因式分解要求：
(1)分解彻底 (2)结果化为最简
(3)结果不含中括号 (4)结果括号中第一项系数一般不为负数
1．判断下列因式分解是否正确.
(1)12x2y+18xy2=3xy(4x+6y)
(2)3x2 -6xy+x=x(3x-6y)
(3)-x2+xy-xz=-x(x+y-z)
【当堂检测】
解：
(1)错误，
公因式没有提尽，还可以提出公因式2；
(2)错误，
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1；
(3)错误，
提出负号时括号里的项没变号.
应为：6xy(2x+3y)
应为：x(3x-6y+1)
应为：-x(x-y+z)
2．把下列各式分解因式.
(1)5a2-7ab (2)4am2-8amn+4a
【当堂检测】
解：
(2)原式=4a·m2-4a·2mn+4a·1，
=a（5a-7b）.
(1)原式=a·5a-a·7b
=4a(m2-2mn+1).
四、典型例题
解：(1)原式=(b+c)(2a-3)
例2.因式分解：(1)2a(b+c)-3(b+c);(2)(9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x-2y)
分析：找出公因式，提公因式.
（1）公因式为(b+c)，(2)中2y-x=-(x-2y),故公因式为(2y-x)
思考：如何检查因式分解是否正确？
将结果做整式的乘法运算，如果结果与原式一致，则计算正确.
(2)原式=(9x+y)(2y-x)+(3x+2y)(2y-x)
=(2y-x)[(9x+y)+(3x+2y)]
=(2y-x)(12x+3y)
=3(2y-x)(4x+y)
3.多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提公因式后，另一个因式为（　　）
A.x2-x+1 B.x2+x+1
C.x2-x-1 D.x2+x-1
【当堂检测】
B
注意：a，b的符号
4．把下列各式分解因式.
(1)a（x－y）+b（y－x）
(2)6(m－n)3－12(m－n)2
【当堂检测】
解：
(1)原式=a（x－y）-b（x－y），
=(a－b)(x－y)；
(2)原式=6(m－n)2·(m－n)-6(m－n)2·2，
=6(m－n)2(m-n-2).
5．先因式分解，再求值.
(1)4a2(b+3)+8ab(b+3),其中a=2,b=-2;
【当堂检测】
解：
(1)原式=4a(b+3)·a+4a(b+3)·2b
=4a(b+3)(a+2b)
=4a(b+3)(a+2b)
=4×2×(-2+3)×[2+2×（-2）]
=8×1×（-2）
=-16
5．先因式分解，再求值.
(2)(x－2y)2+(-x+2y)(x+2y),其中x=1,y=2.
【当堂检测】
(2)原式=(x-2y)(x-2y)-(x-2y)(x+2y)
=(x-2y)[(x-2y)-(x+2y)]
=-4y(x－2y)
=-4×2×(1－2×2)
=24
五、课堂总结
1．公因式取法：系数找最大，字母找相同，次数找最低.
2.公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
3.提公因式法步骤：(1)找公因式；(2)提公因式.
4.注意事项：(1)公因式要提尽；
(2)不要漏项；
(3)提负号，要注意变号.

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