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第6章 假设检验
第一节 假设检验的一般问题
第二节 一个总体参数的假设检验
第三节 两个总体参数的假设检验
学习目标
假设检验的基本思想和原理
假设检验的步骤
一个总体参数的检验
两个总体参数的检验
P值的计算与应用
假设检验在统计方法中的地位
参数估计
假设检验
统计方法
描述统计
推断统计
第一节 假设检验的基本问题
一、假设的陈述
二、两类错误与显著性水平
三、统计量与拒绝域
四、利用P值进行决策
假设的陈述
什么是假设
(hypothesis)
对总体参数的具体数值所作的陈述
总体参数包括总体均值、比率、方差等
分析之前必须陈述
我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效!
什么是假设检验
(hypothesis test)
先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程
有参数检验和非参数检验
逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理
假设检验中的小概率原理
什么小概率？
1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率
2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设
3. 小概率由研究者事先确定
原假设与备择假设
原假设
(null hypothesis)
研究者想收集证据予以反对的假设
又称“0假设”
总是有符号 , 或
4. 表示为 H0
H0 ： = 某一数值
指定为符号 =， 或
例如, H0 ： 10cm
研究者想收集证据予以支持的假设
也称“研究假设”
总是有符号 , 或
表示为 H1
H1 ： <某一数值，或 某一数值
例如, H1 ： < 10cm，或 10cm
备择假设
(alternative hypothesis)
备择假设没有特定的方向性，并含有符号“ ”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验(two-tailed test)
备择假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed test)
备择假设的方向为“<”，称为左侧检验
备择假设的方向为“>”，称为右侧检验
双侧检验与单侧检验
双侧检验与单侧检验
(假设的形式)
假设 双侧检验 单侧检验
左侧检验 右侧检验
原假设 H0 : m = m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设 H1 : m ≠m0 H1 : m < m0 H1 : m > m0
两类错误与显著性水平
假设检验中的两类错误
1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)
原假设为真时拒绝原假设
第Ⅰ类错误的概率记为
被称为显著性水平
2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)
原假设为假时未拒绝原假设
第Ⅱ类错误的概率记为 (Beta)


和 的关系


你不能同时减少两类错误!
和 的关系就像翘翘板， 小 就大， 大 就小
影响 的因素
1. 总体参数的真值
随着假设的总体参数的减少而增大
2. 显著性水平
当 减少时增大
3. 总体标准差
当 增大时增大
4. 样本容量 n
当 n 减少时增大
显著性水平
(significant level)
1. 是一个概率值
2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
被称为抽样分布的拒绝域
3. 常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
4. 由研究者事先确定
检验统计量与拒绝域
根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量
对样本估计量的标准化结果
原假设H0为真
点估计量的抽样分布
检验统计量
(test statistic)
标准化的检验统计量
显著性水平和拒绝域
(双侧检验 )
抽样分布
0
临界值
临界值
a/2
a/2
样本统计量
拒绝H0
拒绝H0
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(双侧检验 )
0
临界值
临界值
a /2
a /2
样本统计量
拒绝H0
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(双侧检验 )
0
临界值
临界值
a /2
a /2
样本统计量
拒绝H0
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(双侧检验 )
0
临界值
临界值
a /2
a /2
样本统计量
拒绝H0
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(单侧检验 )
0
临界值
a
样本统计量
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(左侧检验 )
0
临界值
a
样本统计量
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
观察到的样本统计量
显著性水平和拒绝域
(左侧检验 )
0
临界值
a
样本统计量
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
显著性水平和拒绝域
(右侧检验 )
0
临界值
a
样本统计量
拒绝H0
抽样分布
1 -
置信水平
观察到的样本统计量
显著性水平和拒绝域
(右侧检验 )
0
临界值
a
样本统计量
抽样分布
1 -
置信水平
拒绝H0
决策规则
给定显著性水平 ，查表得出相应的临界值z 或z /2， t 或t /2
将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较
作出决策
双侧检验：｜统计量｜ > 临界值，拒绝H0
左侧检验：统计量 < -临界值，拒绝H0
右侧检验：统计量 > 临界值，拒绝H0
利用 P 值 进行决策
什么是P 值
(P-value)
在原假设正确的条件下，检验统计量取样本统计量的概率
如果p值很小，说明这种样本观测结果出现的可能性很小，有理由拒绝原假设； p值越小，拒绝原假设的理由就越充分。
决策规则：若p值< , 拒绝 H0
p值可由现代统计软件计算给出。
假设检验步骤的总结
陈述原假设和备择假设
从所研究的总体中抽出一个随机样本
确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值
确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界值，指定拒绝域
将统计量的值与临界值进行比较，作出决策
统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝H0
也可以直接利用P值作出决策
第二节 一个总体参数的检验
一、总体均值的检验
二、总体比率的检验
三、总体方差的检验
总体均值的检验
(大样本)
总体均值的检验
(提出假设)
1. 双侧检验：H0 ： m =m0；H1 ： m m0
左侧检验：H0 ： m m0；H1 ： m 右侧检验：H0 ： m m0 ；H1 ： m >m0
总体均值的检验
(大样本)
1. 假定条件
正态总体或非正态总体大样本(n 30)
使用z检验统计量
2 已知：
2 未知：
总体均值的检验(大样本)
(决策规则)
在双侧检验中，如果｜z｜ z /2 ，则拒绝原假设H0；反之，则不能
在左侧检验中，如果z﹤- z ，则拒绝原假设H0；反之，则不能
在右侧检验中，如果z﹥ z ，则拒绝原假设H0；反之，则不能
总体均值的检验
(大样本检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ： m =m0 H1 ： m m0 H0 ： m m0 H1 ： m H1 ： m >m0
统计量 已知：
未知：
拒绝域
P值决策 拒绝H0
总体均值的检验
(小样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布
小样本(n < 30)
检验统计量
2 已知：
2 未知：
总体均值的检验(小样本)
(决策规则)
在双侧检验中，如果｜t｜ t /2(n-1) ，则拒绝原假设H0；反之，则不能
在左侧检验中，如果t﹤- t (n-1) ，则拒绝原假设H0；反之，则不能
在右侧检验中，如果t﹥ t (n-1)，则拒绝原假设H0；反之，则不能
总体均值的检验
(小样本检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ： m =m0 H1 ： m m0 H0 ： m m0 H1 ： m H1 ： m >m0
统计量 已知：
未知：
拒绝域
P值决策 拒绝H0
注： 已知的拒绝域同大样本
总体比率的检验
总体比率的检验
(提出假设)
1. 双侧检验：H0： = 0；H1： 0
左侧检验：H0 ： 0；H1 ： < 0
右侧检验：H0 ： 0 ；H1 ： > 0
总体比率检验
假定条件
总体服从二项分布
可用正态分布来近似(大样本)
检验的 z 统计量
0为假设的总体比率
总体比率的检验
(检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0： = 0 H1： 0 H0 ： 0 H1 ： < 0 H0 ： 0
H1 ： > 0
统计量
拒绝域
P值决策 拒绝H0
总体方差的检验
( 2 检验)
总体方差的检验
(提出假设)
1. 双侧检验：H0 ： 2= 02 ；H1 ： 2 02
左侧检验：H0 ： 2 02 ；H1 ： 2 < 02
右侧检验：H0 ： 2 02；H1 ： 2 > 02
总体方差的检验
( 2检验)
检验一个总体的方差或标准差
假设总体近似服从正态分布
使用 2分布
检验统计量
样本方差
假设的总体方差
总体方差的检验
(检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ： 2= 02 H1 ： 2 02 H0 ： 2 02 H1 ： 2 < 02 H0 ： 2 02
H1 ： 2 > 02
统计量
拒绝域
P值决策 拒绝H0
第三节 两个总体参数的检验
一、两个总体均值之差的检验
二、两个总体比率之差的检验
三、两个总体方差比的检验
两个总体均值之差的检验
(独立大样本)
两个总体均值之差的检验
(提出假设)
1. 双侧检验： H0 ：m 1-m 2=0；H1 ：m 1-m 2 0
左侧检验： H0 ：m 1-m 2 0；H1 ：m 1-m 2<0
右侧检验： H0 ：m 1-m 2 0 ；H1 ：m 1-m 2>0
两个总体均值之差的检验
(独立大样本)
1. 假定条件
两个样本是独立的随机样本
正态总体或非正态总体大样本(n1 30和 n2 30)
检验统计量
12 ， 22 已知：
12 ， 22 未知：
两个总体均值之差的检验
(大样本检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ：m 1-m 2=0 H1 ：m 1-m 2 0 H0 ：m 1-m 2 0 H1 ：m 1-m 2<0 H0 ：m 1-m 2 0
H1 ：m 1-m 2>0
统计量 12 ， 22 已知
12 ， 22 未知
拒绝域
P值决策 拒绝H0
两个总体均值之差的检验
(独立小样本)
两个总体均值之差的检验
( 12， 22 已知)
假定条件
两个独立的小样本
两个总体都是正态分布
12， 22已知
检验统计量
两个总体均值之差的检验
( 12， 22 未知但 12= 22)
假定条件
两个独立的小样本
两个总体都是正态分布
12、 22未知但相等，即 12= 22
检验统计量
其中：
自由度：
两个总体均值之差的检验
(小样本检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ：m 1-m 2=0 H1 ：m 1-m 2 0 H0 ：m 1-m 2 0 H1 ：m 1-m 2<0 H0 ：m 1-m 2 0
H1 ：m 1-m 2>0
统计量 12 ， 22 已知
12 ， 22 未知 且 12 = 22
拒绝域
P值决策 拒绝H0
注： 已知的拒绝域同大样本
两个总体均值之差的检验
(匹配样本)
两个总体均值之差的检验
(匹配样本)
假定条件
两个总体配对差值构成的总体服从正态分布
配对差是由差值总体中随机抽取的
数据配对或匹配(重复测量 (前/后))
检验统计量
大样本：
小样本：
注：当 d未知时用sd
匹配样本
(数据形式)
观察序号 样本1 样本2 差值
1 x11 x21 d1 = x11 - x21
2 x12 x22 d2 = x12 - x22
M M M M
i x1i x2i di = x1i - x2i
M M M M
n x1n x2n dn = x1n- x2n
两个总体均值之差的检验
(匹配样本检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ：d=0 H1 ：d 0 H0 ：d 0 H1 ：d<0 H0 ：d 0
H1 ：d>0
统计量
拒绝域
P值决策 拒绝H0
两个总体比率之差的检验
两个总体比率差的检验
(提出假设)
1. 双侧检验： H0 ： 1- 2=0；H1 ： 1- 2 0
左侧检验： H0 ： 1- 2 0 ；H1 ： 1- 2<0
右侧检验： H0 ： 1- 2 0 ；H1 ： 1- 2>0
1. 假定条件
两个总体都服从二项分布
可以用正态分布来近似
检验统计量
两个总体比率之差的检验
两个总体比率之差的检验
(检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0 ： 1- 2=0 H1 ： 1- 2 0 H0 ： 1- 2 0 H1 ： 1- 2<0 H0 ： 1- 2 0
H1 ： 1- 2>0
统计量
拒绝域
P值决策 拒绝H0
两个总体方差比的检验
两个总体方差比的检验
(提出假设)
1. 双侧检验： H0： 12/ 22=1；H1 ： 12/ 22 1
左侧检验： H0： 12/ 22 1；H1 ： 12/ 22<1
右侧检验： H0 ： 12/ 22 1；H1 ： 12/ 22>1
两个总体方差比的检验
(F 检验)
假定条件
两个总体都服从正态分布
两个独立的随机样本
检验统计量
两个总体方差比的 F 检验
(临界值)
F
F1-
F
拒绝H0
方差比F检验示意图
拒绝H0
两个总体方差比的检验
(检验方法的总结)
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式 H0： 12/ 22=1 H1 ： 12/ 22 1 H0： 12/ 22 1 H1 ： 12/ 22<1 H0 ： 12/ 22 1
H1 ： 12/ 22>1
统计量
拒绝域
本章小结
假设检验的基本问题
一个总体参数的检验
两个总体参数的检验
利用p 值进行检验

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