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2023-2024学年四川省成都市锦江区重点中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题
1.在实数，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
3.满足下列条件的是直角三角形的是( )
A. ：：：： B. ：：：：
C. D. ，，
4.下列语句正确的有个( )
任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
过一点有且只有一条直线和已知直线平行
过两条直线，外一点，画直线，使，且
若直线，，则．
A. B. C. D.
5.我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？“意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出钱，则剩余钱；如果每人出钱，则差钱问有多少人，物品的价格是多少？设有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知点，，轴，则一定有( )
A. B. C. D.
7.已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回，乐乐继续前行，分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中家的路程米，米与运动时间分之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是( )
A. 两人前行过程中的速度为米分 B. 的值是，的值是
C. 姐姐返回时的速度为米分 D. 运动分钟时，两人相距米
二、非选择题
9.若，则______．
10.如图，点，分别在，上，，垂足为，若，，则点到直线的距离为______．
11.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，若点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是______．
12.如果点，在函数图象上，则 ______请在横线上选择，，，，填写
13.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是______．
14.计算：
；
．
15.如图，在平面直角坐标系中，，，．
在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
求的面积；
点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标．
16.某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值
根据以上信息，解答下列问题：
上表中众数的值为______；
为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适．填“平均数”、“众数”或“中位数”
该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过个的工人为生产能手．若该部门有名工人，试估计该部门生产能手的人数．
17.如图，在中，点在上，点在上，交于已知交于，交于，．
求的度数；
若，，求的度数．
18.直线：分别与，轴交于，两点、过点的直线交轴正半轴于点，且：：．
直接写出点、、的坐标；
在线段上存在点，使点到，的距离相等，求出点的坐标：
在第一象限内是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
19.已知，则的值为______．
20.如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为；图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为；若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图图，图中正方形纸片均无重叠部分，则图阴影部分面积是______．
21.对于实数，，定义运算“”：，例如，因为所以若，满足方程组，则______．
22.如图，在中，，点在上，点在上，，点在上，，，，，则 ______．
23.如图，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长为______．
24.已知辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨用辆型车和柄型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车柄和型车辆，一次运完，且每辆车都满载货物根据以上信息解答下列问题：
辆型车和辆型车载满贷物一次分别可运货物多少吨？
请帮助物流公司设计租车方案．
若型车每辆车租金每次元，型车每辆车租金每次元请选出最省钱的租车方案并求出最少的租车费．
25.阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
解决问题：
若满足则 ______；
若满足，求的值；
如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为______平方单位．
26.如图，已知直线：与直线：交于点，直线与坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，点坐标为．
求直线的函数表达式；
在直线上是否存在点，使的面积等于面积的倍，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
若点是线段上的一动点不与端点重合，过点作轴交于点，设点的纵坐标为，以点为直角顶点作等腰直角点在直线下方，设与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：和是无理数，共个．
故选：．
根据无理数的定义即可解答．
本题主要考查了无理数，掌握“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误，
故选B
原式利用立方根、平方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、：：：：，，
，，，
不是直角三角形；
B、，
不是直角三角形；
C、，，
，，
不是直角三角形；
D、，
是直角三角形．
故选：．
根据三角形内角和定理判断、即可；根据勾股定理的逆定理判断、即可．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
4.【答案】
【解析】解：任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，还有重合；
过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
过两条直线，外一点，画直线，使，且，说法错误；
若直线，，则，说法正确；
故选：．
根据任意两条直线的位置关系是相交、平行和重合；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
5.【答案】
【解析】解：设有人，物品的价格为元，
根据题意得：，
故选：．
根据“每人出钱，则剩余钱；如果每人出钱，则差钱”列出方程组即可．
考查了二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出二元一次方程组，难度不大．
6.【答案】
【解析】解：根据平行于轴的直线上的点纵坐标相等可知：，
故选：．
根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等即可解答．
本题考查了坐标与图形的性质，平行于轴的直线上的点纵坐标相等是关键．
7.【答案】
【解析】解：一次函数，
函数值随自变量的增大而减小，
，
函数图象过第二、四象限．
，
，
函数图象与轴的交点在轴上方，即图象经过第一、二、四象限．
故选：．
根据一次函数的性质得到，而，则，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限．
本题考查了一次函数性质，一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为，熟记一次函数的图象与、的关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图可得，两人前行过程中的速度为米分，故选项A不合题意；
的值是，的值是，故选项B不合题意；
姐姐返回时的速度为：米分，故选项C不合题意；
运动分钟时两人相距：米，故选项D符合题意，
故选：．
根据题意和图象中的数据可以判断各选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
，
设点到直线的距离为，且，，，
，
，
，
故答案为：．
首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离．
本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：直线与直线相交于点，若点的横坐标为，
对于直线，当时，，
点的坐标为，
二元一次方程组的解为
故答案为：．．
首先根据直线与直线相交于点，点的横坐标为可求出点的坐标为，然后再根据一次函数与二元一次方程组之间的关系可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组和一次函数之间的关系，理解二元一次方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：函数中，，
随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
根据一次函数大于时，随的增大而增大解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，确定函数的增减性是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设大圆的半径是，则；
设两个小圆的半径分别是和，
则，．
由勾股定理，知，
得所以．
故答案为．
分别计算大圆的面积，两个小圆的面积，，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系，可以求得．
本题考查了勾股定理的正确运算，在直角三角形中直角边与斜边的关系，本题中巧妙地运用勾股定理求得：是解题的关键．
14.【答案】解：原式
；
原方程组整理得：，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】利用二次根式的运算法则，绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂计算即可；
将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查实数的运算及解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
15.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标．
故答案为：；
．
点与点关于轴对称，若，
，
或，
点的坐标为或．
【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
构建方程求出可得结论．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】解：；
中位数；
名，
答：该部门生产能手有名工人．
【解析】解：由图可得，
众数的值为，
故答案为：；
由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
见答案．
【分析】
根据条形统计图中的数据可以得到的值；
根据题意可知应选择中位数比较合适；
根据统计图中的数据可以计算该部门生产能手的人数．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】解：，
，
，
，
又，
；
，，
，
，
．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据垂直的定义可得，然后求出，再根据两直线平行线，同位角相等可得；
根据三角形内角和定理和平角定义可得，由得到，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
18.【答案】解：把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
，
，
：：，
，
；
连接，
点到，的距离相等，
，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
，
解得：，
，
，
；
当时，过点作轴于点，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
；
当时，过点作轴于点，
和同理可证：≌，
，，
当时，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
根据勾股定理可得：，
解得：，
轴，轴，，
四边形为矩形，
，，
则，
，
，
，，，
≌，
，，
设，则，
，
，
解得：，，
或舍，
；
综上：或或．
【解析】把代入求出的值，即可得出点的坐标；把代入求出的值，即可求出的坐标；根据：：，求出，即可求出点的坐标；
连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出的值，进而得出，即可求出点的坐标；
根据题意进行分类讨论：当时，过点作轴于点，通过证明≌，得出，，即可得出点的坐标；当时，过点作轴于点，和同理可证：≌，，，即可求出点坐标；当时，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明≌，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造全等三角形和直角三角形求解是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题主要考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：．
20.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为．
，．
．
图阴影部分的面积，
图阴影部分的面积．
故答案为：．
设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图可得；根据图可得那么图阴影部分的面积，化简后整理计算即可．
本题考查完全平方公式的应用．根据图形得到相应的等式是解决本题的关键．用到的知识点为：．
21.【答案】
【解析】解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
则，
故答案为：
求出方程组的解得到与的值，代入原式利用题中的新定义计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22.【答案】
【解析】解：作于，延长至使，设，
，，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
作于，延长至使，设，首先证明为等腰三角形，然后证≌，根据全等三角形的性质得，，从而得出，即可得
是等边三角形，求出，由即可求解．
此题主要考查了全等三角形的性质与判定等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
23.【答案】或
【解析】解：当点在线段上时，如图，连接．
，
，
，，
≌，
，，
，
，
．
当点在的延长线上时，如图，连接．
同法可证是直角三角形，，，
，
，
故答案为：或．
分两种情形当点在线段上时，如图中，连接由≌，推出，，推出，推出，即可解决问题．
当点在的延长线上时，如图中，同法可得，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨．
结合题意和得：，
，
、都是正整数，
，或，或，
答：有种租车方案：
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
方案三：型车辆，型车辆．
型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，
方案一需租金：元；
方案二需租金：元；
方案三需租金：元；
，
最省钱的租车方案是方案三：型车辆，型车辆，最少租车费为元．
【解析】根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；”“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，分别得出方程，组成方程组求出即可；
由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；
根据中所求方案，利用型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，分别求出租车费用即可．
本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
25.【答案】解：；
设，，则，，
所以；
答：的值为；
．
【解析】解：设，，则，，
所以；
故答案为：；
设，，则，，
所以；
答：的值为；
由题意得，，，
长方形的面积为，
，
，
阴影部分的面积为，
设，，则，，
所以；
故答案为：．
根据题目提供的方法，进行计算即可；
根据题意可得，，，将化成的形式，代入求值即可；
根据题意可得，，即，根据中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积．
本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．
26.【答案】解：直线：与坐标轴分别交于，，
，
，
直线的函数表达式为：；
联立：和：，解得，，
，
如图，过点作轴于，
，，根据勾股定理得，，
设，
当点在射线上时，的面积等于面积的倍，且边和上的高相同，
，
，
，
或，
由于点在第一象限内，
，
；
当点在射线上时，的面积等于面积的倍，且边和上高相同，
，
，
，
或，
由于点在第三象限内，
，
，
即点或；
点的纵坐标为，
，
轴，
，
，
以点为直角顶点作等腰直角，
，
当时，；
当时，如图，记与轴相交于，与轴相交于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
；
当时，如图，

【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
将点，坐标代入直线中，求解，即可得出结论；
先求出点的坐标，再分点在射线和射线上，利用面积的关系求出，即可得出结论；
先表示出，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论．
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