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2024年九年级中考数学解答题专题复习：圆与相似综合
1．如图，是的直径，点是圆上两点，且平分交于．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
2．如图，内接于圆O，，作的平分线，分别交、圆O于点E、P，过点A作的平行线与的平分线交于点D，．

(1)求证：为圆O的切线．
(2)若，求圆O的半径．
3．如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．

(1)求证：与圆O相切．
(2)当，＝时，求圆O的半径．
4．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)延长和交于点，若，求的值．
5．如图1，为圆内接三角形，于、交⊙于点，于、交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，作于，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，，，求长．
6．如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：为圆O的切线；
(2)求证：；
(3)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长．
7．已知，如图，在圆O中，为直径，C为圆上一点，平分并交圆O于点D，点E在上，且．

(1)求证：平分；
(2)若圆O的半径，，求的长．
8．，圆半径为2，为中点，且．

(1)求证：；
(2)______；
(3)为的内心，求．
9．如图，在中，，以为直径的圆O交于D，E是的中点，交的延长线于F．

(1)请按照题意只用圆规和直尺补充好图形；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，，求的长．
10．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的圆分别交，于点，，连接．

(1)求证：是圆的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
11．如图，是的内接三角形，D是圆外一点，连接，连接交于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，E是的中点，求的长度．
12．如图，在中，是直径，点C在圆上，、分别平分和，的延长线交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，是的直径，点是圆上的一点，直线交延长线于点，过点作于点，交于点，连接，若平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值；
(3)过点作于点，交于点，在（2）的条件下，求的值．
14．如图，在中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点．交于点，连接并延长交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
15．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心的半圆与边相切于点D，与边分别交于点E、F、G，连接，已知，，．

(1)求的半径；
(2)求证：是的切线；
(3)求图中两部分阴影面积的和．
16．已知：如图，在中，，，以为直径的圆交于点，点是边上的一点(点不与、重合)，的延长线交圆于点，，且交于点．

(1)求证：．
(2)连接、，求证：．
(3)若，，求的长．
17．如图1，在矩形中，点O在对角线上，以的长为半径的圆O与，分别交于点E，F，且．

(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点E落在线段的垂直平分线上，，求的半径．
18．如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，求的长．
19．如图1，在中，，O为斜边上一点，以为圆心为半径的圆与交于另一点，与，分别交于点，．连接，已知．

(1)求证：为的切线；
(2)如图2，过点作的垂线交于点，直线与交于点，请探究的形状，并证明你的结论；
(3)如图2，连接，若，，求．
20．如图，以为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接，分别交，于点E，F，与交于点G，若，
(1)求证：①；
②是的切线．
(2)若，求的长．
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参考答案：
1．
【分析】（1）通过证明，判定；
（2）连接，交于，结合垂径定理和勾股定理求得，的长，然后结合相似三角形的性质推理计算．
【详解】（1）证明：平分
，
，
又，
∴；
（2）解：连接，交于，
则，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，即，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，理解垂径定理和勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点H，利用等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，平行线的性质等腰三角形的判定定理得到，利用勾股定理求得，设圆O的半径为r，利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，如图，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是圆O的半径，
∴为圆O的切线；
（2）解：连接并延长交于点H，连接，如图，

由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
设圆O的半径为r，则，
∵，
∴，
解得：．
∴圆O的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，连接经过切点的半径是常添加的辅助线．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，进而推出,由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
（2）首先证得，根据相似三角形对应边成比例即可求解.
【详解】（1）证明：连接，

则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是圆O的半径，
与圆O相切；
（2）解：在中，，E为的中点，
∴在中，
，
设圆O的半径为r，则，
，
，
∴
即
即圆O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论；
（2）设，则，，即可得出、的值，再根据勾股定理求出的值，证明即可得出答案．
【详解】（1）如图1，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：相似三角形的性质和判定，切线的判定，等腰三角形的判定与性质和勾股定理判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
5．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用垂直的定义，直角三角形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解；
（2）连接并延长，交⊙于点，连接，利用圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质得到，利用圆周角定理、垂径定理和三角形的中位线定理即可求解；
（3）延长交⊙于点，连接，，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质和等弧对等弦的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到为等腰直角三角形，从而利用等腰直角三角形的性质，结合（2）的结论和相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接并延长，交⊙于点，连接，如图，
则为⊙的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
即；
（3）延长交⊙于点，连接，，过点作于点，如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长交⊙于点，连接，则为圆的直径，
，
，，
∽，
，
由（2）知：，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角，添加辅助线是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）利用垂径定理得出，，又知道，，得出，得出答案；
（2）只要证明，即可解决问题；
（3）作于M，利用，得，求出、即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为圆O的切线；
（2）证明：∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：作于M，
∵半圆O的直径为10，，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，注意利用圆中的隐含条件，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
（1）由为直径，得到，可证明，，再由平分，根据等量代换可得，即可证明；
（2）设与交于点M，由勾股定理求得的长，证明，求得的长，再证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：为直径，
，
，
，
又平分，
，
，
，
平分．
（2）解：，
.
，
，
设与交于点M，如图，则，

，
，
，
即，
，
，
易证，
，即，
．
8．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由圆周角定理得出，再由得出，从而得到，即，再根据，即可得证；
（2）连接，交于，根据，，得到垂直平分，从而得出，由勾股定理计算出，从而得到，再由得出，证明，得到，即，进行计算即可得到答案；
（3）作交于，交于，连接，根据角平分线的性质和三角形的面积可得出，证明，得出，从而得出，求得，再由等腰三角形的性质可得，最后由正切的定义进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵为中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，交于，
，
∵，，
∴垂直平分，
，
∵，
，
∴，
∴，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（3）解：如图，作交于，交于，连接，
，
平分，
，
，，
，
设边上的高为，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由（2）可得为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正切的定义、线段垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接交的延长线于；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系证明，再利用圆的切线判定定理求证即可；
（3）先用勾股定理求出，进而可得，利用相似，其对应边成比例，求得目标线段的长度，即可得出．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）证明：连接，，

∵为直径，
，
点是的中点，
，
，
和是圆的半径，
，
∵，
，
∴，
是的切线；
（3）由（2）可知，
在中，，
，
又在和中，
∵，，
，
，即，
，
，
∴的长为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查作图，圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是理清各个角之间的关系．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明得到，从而得到，即可得证；
（2）连接，先证得到，再由圆周角定理可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，从而推出，得，即可得证；
（3）先由锐角三角函数的定义得出，设圆的半径为，则，解得，则，，再由三角函数定义求出，结合进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
又是圆的半径，
是圆的切线；
（2）证明：连接，如图所示：

是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（3）解：在中，，
设圆的半径为，则，
解得：，
，，
在中，，，
，
由（2）得：，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，由条件推出，即可证明是的切线．
（2）由圆内接四边形的性质推出，得到，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】（1）证明：作圆的直径，连接，

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，

∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理证明，由圆内接四边形的性质推出．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，再根据圆周角定理得到，然后证明，从而得到；
（2）与相交于点F，如图，根据圆周角定理得到，则利用勾股定理计算出，再根据角平分线性质和三角形面积公式可得到，则可计算出，接着利用勾股定理计算出，然后证明，于是利用相似比可计算出的长．
【详解】（1）证明：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：与相交于点F，如图，

为直径，
，
在中，
，
平分，
点F到和的距离相等，
，
，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
即，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的基本性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，角平分线的性质定理，掌握相关的定理及性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，等边对等角和角平分线的定义，推出，得到，进而得到，即可得证；
（2）设，则，根据，得到，进而得到，求解即可；
（3）证明，得到，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；

（2）∵，，
设，则，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（3）由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由与相切于点D得，根据全等三角形的判定定理“HL”可证明，则，而，即可证明；
（2）由得，可求出，根据勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出的长，进而得到直径的长，即可根据勾股定理求出的长，再证明，即可根据相似三角形的对应边成比例列方程求出的长．
【详解】（1）证明：∵与相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接DE，

由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3；
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质可得，再根据，即可求解；
（2）连接，证明四边形是矩形，即可；
（3）先证得矩形是正方形，可得，从而得到，再由，可得，
，然后根据，即可求解．
【详解】（1）解： 与相切，
，
在中，，
，
；
（2）证明：如图，连接，

，
∴．
又，
．
又，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
，
．
又是的半径，
是的切线；
（3）解：，四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
，
∴．
，
∴，
，
即，
解得，
，
．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，正方形和矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接，，由，得到，进而得到为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由（1）可得，在中，利用勾股定理求出的长，利用锐角三角形函数定义求出的长，利用两对角相等的三角形相似得到，由相似得比例，求出的长，由求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接．如图，

在中，，，
∴．
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）证明：如图，由（1）知，

∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵．
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
在中，，
∴根据勾股定理得，
∵，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
则．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)直线与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，结合，可得结论；
（2）连接，证明，，，由，可得，，即，从而可得结论；
（3）证明，可得，．求解，，，，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
（2）判断：直线与相切．
证明：连接，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，解得.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键.
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）圆周角定理，得到，再根据，即可得证；
（2）连接，证明，推出，即可得证；
（3）根据同角的余角相等，得到，求出的长，证明，利用相似比进行求解即可．
【详解】（1）证明：为的直径，
，即，
又，
；
（2）证明：连接，如图，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3），，
，
，
在中，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)为等腰三角形．证明见解析
(3)
【分析】（1）先连接，，得到，进而得到，再根据，得出，即可证明为的切线；
（2）先设，交于点K，可得，根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据等量代换和对顶角相等得到，进而证明为等腰三角形；
（3）连接，过点作，垂足为，由（1）的证明可知，易证，得出，再根据勾股定理，设，列方程得，，进而得到，最终得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，
点D为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即为的切线．

（2）解：为等腰三角形．
证明： 设，交于点K，可得，
，
，
，，
，
，
，
，
即为等腰三角形．

（3）解： 连接，过点作，垂足为．
由（1）的证明可知，，
，又，
可求得，
又，
设，列方程得，
解这个方程得，或舍去
，解得，
由勾股定理可求得，，
．

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定，相似三角形判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）①根据平行线的性质得到，根据对顶角相等可得，根据相似三角形的判定定理即可证明；
②根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可证明；
（2）过点F作，交于点H，证明，可得，，利用勾股定理求得，由（1）可知，得到即，再根据平行线分线段成比例可得，
再证明，可得，即可求出结果．
【详解】（1）解：①证明：，
，
，
；
②证明：，
，
，
，
是半圆的半径，
∴是的切线．
（2）解：过点F作，交于点H，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，则，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、平行线分线段成比例、相似三角形的性质和判定，熟练掌握经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
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