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第十一章 数系的扩充与复数
§11.1 数系的扩充与复数的概念
一、知识导学
复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.
分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.
复数集：全体复数所构成的集合.
复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.
复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.
复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.
(1)；
(2)=；
(3)；
7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.
二、疑难知识导析
1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小
2．则，而，则不一定成立，如时；
3．，而则不一定成立；
4．若不一定能推出；
5．若，则=，但若则上式不一定成立.
三、经典例题导讲
[例1]两个共扼复数的差是（ ）
.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数
错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.
正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或
当时，，为纯虚数
当时，，，因此应选D.
注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记
忆有关概念性质.
[例2]判断下列命题是否正确
(1)若, 则
(2)若且，则
(3)若，则
错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正
确的
(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复
数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.
(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的
前提条件.
正解：(1)错，反例设则
(2)错，反例设，，满足，但
不能比较大小.
(3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.
[例3]实数分别取什么值时，复数是(1)实数；
(2)虚数;(3)纯虚数.
解：实部，虚部.
（1）当 时，是实数；
（2）当 ，且 时，是虚数；
（3） 当 或 时是纯虚数．
[例4] 设，当取何值时，
(1) ; (2).
分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．
解：(1)由可得：解之得，
　　即：当 时
　　(2)当 可得：
　　 或 ，即 时.
[例5]是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．
分析? 本题起步的关键在于对条件的处理．等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
解：由（，不为零），得
　　　　　　　
　　　　即向量与向量的夹角为，
　　　　在图中，，又，设，
　　　　在△OPQ中，由余弦定理
△OPQ为直角三角形，
．
四、典型习题导练
1. 设复数z满足关系，那么z等于（?? ）．
　　A．? B．? C．? D．
2.复数系方程有实数根，则这个实数是.
3.?实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．
4.已知且求复数
5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值
　　 §11.2 复数的运算
一、知识导学
1.复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
2. 重要结论
对复数z 、、和自然数m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)设，，，，，
二、疑难知识导析
1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.
2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.
当时，不总是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
三、经典例题导讲
[例1] 满足条件的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
错解：选A或B.
错因：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数
动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.
正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，
动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
评注：加强对概念的理解加深，认真审题.
[例2] 求值：
错解：原式=


错因：上面的解答错在没有真正理解的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.
正解：原式=
=
=
评注：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
[例3]已知，求的值.
分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.

原式=
评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.
[例4] （06年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解法一： ，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
解法二：设
，
得
，
以下解法同解法一.
[例5]
解析





四、典型习题导练
1．（06年四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①
②
③
④
⑤
其中关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）
2.
3．计算
4.计算
5．解下列方程：
　　(1)；
　　(2).
第十二章 统计
12．1抽样方法
知识导学
1．抽签法：
（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）；
（2）将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；
（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.
2．随机数表法：
（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；
（2）在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；
根据选定的号码抽取样本.
3．系统抽样（等距抽样）：
（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段，当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N能被n整除，这时，并将剩下的总体重新编号；
（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；
（4）将编号为的个体抽出.
4．分层抽样：
（1）将总体按一定标准分层；
（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；
（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.
二．疑难知识导析
1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.
2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.
3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样.
在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.
三．经典例题导讲
[例1]某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号有16件，那么此样本容量n是多少？
错解：样本容量16=2（件）
错因：混淆了A型号产品与样本容量的比例关系.
正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为
答：此样本容量为88件.
[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤.
解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2，……，1002；
（2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，……1000；
（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，……，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如）；
将号码为的个体抽出.
[例3]某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？
分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法
解：采用随机数表法
实施步骤：
对2005名同学进行编号，0000-2004
在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；依次向下读数，5595，4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本.
[例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？
解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000
样本容量n=150
抽样比例为
所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取3000=30件产品
在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000=40件产品
在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000=50件产品
这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法
四．典型习题导练
1．为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .
2．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 .
3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 .
4．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？
5．采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体中抽取一个容量为2的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.
12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图
一、知识导学
1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.
2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.
一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.
频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.
制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.
二、疑难知识导析
在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.
在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.
茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.
在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图.
三、典型例题导讲
[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人.
解析:由直方图可得（元）月收入段共有人，
按分层抽样应抽出人.故答案 25
点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.
[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514
画出上述数据的茎叶图
错解：
甲 乙
8 0 7
87632 1 024668
8764220 2 013468
43 3 02
4
错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.
正解：用前两位数作为茎，茎叶图为
甲 乙
8 50 7
87632 51 024668
8764220 52 013468
43 53 02
54
从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.
[例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度
与这个矩形的宽度（组距）有关；
与样本容量n无关；
与第三个分组的频数有关；
与直方图的起始点无关.
以上结论中正确的共有（）
A．0个 B.1个 C. 2个 D.3个
错解：D.
错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.
[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.
（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x的频率的估计值为0.95，求此x
解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：
分组
频数
频率
［1050，1060﹚
1
0.017
［1060，1070﹚
7
0.117
［1070，1080﹚
20
0.333
［1080，1090﹚
11
0.183
［1090，1100﹚
13
0.217
［1100，1110﹚
6
0.100
［1110，1120﹚
2
0.033
合计
60
1.000
（2）欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为
（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以在［1100，1110］内，且满足0.867+0.100即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95
[例5]初一年级某班期中考试的数学成绩统计如下：
分数段
100
90—99
80--89
70--79
60--69
0--59
人数
2
6
12
21
7
2
如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？
解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是，成绩及格的频率是，成绩优秀的频率是.
说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.
[例6]在英语单词frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？
解：在frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的字母都是e，在单词frequency中，e的频数是2，频率是；在词组relative frequency中，e的频数是4，频率是.
点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大.
典型习题导练
1．（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁的男生体重，得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是（ ）.
A． 20 B.30 C.40 D. 50
一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是
某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0
列出频率分布表（共分5组）
估计该校学生的近视率（视力低于4.9）
用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？
200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表：
分组
频数
2
11
30
52
85
20
则及格率，优秀率（）的估计分别是
6．某地随机检查了140名成年男性红细胞（L），数据的分组及频率如下表：
分组
频数
频率
分组
频数
频率
2
17
6
13
11
4
25
2
32
1
27
合计
140
（1）完成上面的频率分布表
（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比
7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.
（1）作出这些数据的茎叶图；
（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？
12．3平均数、方差与标准差
一、知识导学
1．n 个数据，，…….的平均数或平均值一般记为=.
2．一般地，若取值的频率分别为，则其平均数为.
3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.
一般地，设一组样本数据，其平均数为，则称为这个样本的方差，算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差.
二、疑难知识导析
1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.
2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.
3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.
4.样本方差也可以用公式计算.
三、经典例题导讲
[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得

所以有，故选D.
[例2]数据是一名运动员的次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.
A．样本平均数均值 B．样本极差
C．样本方差 D．样本平均差AD=
错解：C.
错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计.
正解：A.
[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万
[例5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之
四、典型习题导练
在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩
6
7
8
9
10
人数分布
1
2
4
6
7
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值=
4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为
5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况
男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97
6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
12.4线性回归方程
一、知识导学
变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达
能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系
一般地，设有（x,y）的n对观察数据如下：
……
……
当a,b使
取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线.
4．线性回归方程中的系数满足：
由此二元一次方程组便可依次求出的值：
（*）
5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为：
（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
（2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出，并写出线性回归方程.
二、疑难知识导析
1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.
2．用最小二乘估计方法计算得到的使函数达到最小
3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使y方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等）
比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系.
“最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，的求解最简单
三、经典例题导讲
[例1]有如下一组y与x的数据
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
问y与x的(样本)相关系数r是多少?这是否说明y与x没有关系?
错解：
所以相关系数r=0,即y与x没有关系.
错因：相关系数r=0并不是说明y与x没有关系，而是说明y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
正解：
所以相关系数r=0,即y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
此题中y与x之间存在着的二次相关关系的.
[例2]某工厂在2004年的各月中，一产品的月总成本y（万元）与月产量x（吨）之间有如下数据：
x
4.16
4.24
4.38
4.56
4.72
4.96
5.18
5.36
5.6
5.74
5.96
6.14
y
4.38
4.56
4.6
4.83
4.96
5.13
5.38
5.55
5.71
5.89
6.04
6.25
若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
分析：可将此问题转化为下面三个问题：
（1）画出散点图，根据散点图，大致判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系；
（2）求出月总成本y与月产量x之间的线性回归方程；
若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
错解：省去第一步，即把判断判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关系，直接代入公式，求出线性回归方程.
错因：此题的月总成本y与月产量x之间确实是有线性相关关系，若不具有则会导致错误.因此判断的过程不可少.
正解：（1）散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系.
（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，线性回归方程是：y=0.9100x+0.6477.
（3）当x=6.0时，y=0.9100（万元），即该产品1月份的总成本的估计值为6.11万元.
[例3]变量与有线性回归方程，现在将的单位由变为的单位由 变为，则在新的回归方程中. .
错解：0.1
错因：由 且的值变为原来的 ，的值变为原来的可得的值应为原来的.
正解：0.01
[例4]假定一个物体由不同的高度落下，并测量它落下的时间，几个测量结果如下表所示：
高度s(cm)
40
60
100
130
150
180
200
220
240
时间t(ms)
353
387
505
552
579
648
659
700
725
高度（距离）与时间之间的关系由公式给出，这里g是重力加速度的值.
（1）画出s关于t的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（2）设，画出s关于x的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（3）求出s关于x的线性回归方程.
解：（1）高度s关于时间t的散点图见下面，从图中可以看到这些点似乎在一条直线附近，也好像在一条抛物线附近
（2）高度s关于x的散点图见下面，从图中可以看到这些散点大致在一条直线附近
（3）可以求得s关于x的线性回归方程是s=0.0004901x－18.8458
[例5]测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲身高（x）
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子身高（y）
63.5
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
（1）画出散点图；
（2）求出y与x之间的线性回归方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高.
解：（1）散点图见下面：
（2）从散点图可以看出，这些点都分布在一条直线附近，可求得线性回归方程为
（3）当时，
所以当父亲的身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.
四、典型习题导练
1．回归直线方程的系数a,b的最小二乘估计使函数最小，函数指（ ）.
A． B. C． D.
2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程中，b（ ）.
A．在（－1，0）内 B.等于0 C．在（0，1）内 D.在[1，+∞]内
3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下：
温度x
0
10
20
50
70
溶解度 y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到的回归直线的斜率是 （保留4位有效数字）
4．下面的数据是年龄在40至60岁的男子中随机抽取的6个样本，分别测定了心脏功能水平y（满分100），以及每天画在看电视上的平均时间x（小时）
看电视平均时间x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
则x与y的样本相关系数为 .
5．某地区近年来冬季的降雨量x(cm)与次年夏季空气中碳氢化合物的最高平均浓度y（ppm），的观测数据如下表：
年份 n
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
x
28
22
31
23
58
33
21
20
45
31
23
16
14
y
4.5
4.1
4.8
4.2
4.6
3.6
3.1
2.8
3.4
2.6
2.3
2.2
2.0
你认为y与x是什么关系？y与n是什么关系？
6．每立方米混凝土的水泥用量x（单位：kg）与28天后混凝土的托压强度（单位：kg/cm）的关系有如下数据：
x
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
Y
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程.
第十三章 算法初步
§13.1 流程图
一、 知识导学
流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.
2．算法的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3．根据对条件的不同处理，循环结构又分为两种：
直到型(until型)循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体.满足则停止.如图13-1-3，先执行A框，再判断给定的条件是否为“假”，若为“假”，则再执行A，如此反复，直到为“真”为止.
当型（while型）循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.如图13-1-4，当给定的条件成立（“真”）时，反复执行A框操作，直到条件为“假”时才停止循环.

图13-1-1 图13-1-2
二、疑难知识导析
1.“算法“没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性说明，算法具有如下特点：
（1）有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
（2）确定性：算法的每一步骤和次序应当是确定的.
（3）有效性：算法的每一步骤都必须是有效的.
2. 画流程图时必须注意以下几方面：
（1）使用标准的图形符号.
（2）流程图一般按从上到下、从左到右的方向画.
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果.
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.
3. 算法三种逻辑结构的几点说明：
（1）顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.（2）一个条件结构可以有多个判断框.
（3）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数，累加变量用语输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次.
三、经典例题导讲
[例1] 已知三个单元存放了变量，，的值，试给出一个算法，顺次交换，， 的值（即取的值，取的值，取的值），并画出流程图.
错解：第一步
第二步
第三步
流程图为

图13-1-3
错因：未理解赋值的含义，由上面的算法使得，均取的值.
举一形象的例子：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤完成算法. 我们不可将两个墨水瓶中的墨水直接交换，因为两个墨水瓶都装有墨水，不可能进行直接交换.正确的解法应为：
S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；
S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
S5 交换结束.
正解：第一步 ｛先将的值赋给变量，这时存放的单元可作它用}
第二步 ｛再将的值赋给，这时存放的单元可作它用}
第三步 ｛同样将的值赋给，这时存放的单元可作它用}
第四步 ｛最后将的值赋给，三个变量，，的值就完成了交换}
流程图为

图13-1-4
点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量.
[例2]已知三个数，，.试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图.
解：流程图为
图13-1-5
点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一数最大（最小）将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最小）值.
点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构.
[例3]画出求的值的算法流程图.
解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.
思路一：采用-1的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题；

图13-1-6 图13-1-7
思路二：采用选择结构分奇偶项求和；

图13-1-8
思路三：可先将化简成，转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.
[例4] 设计一算法，求使成立的最小正整数的值.
解： 流程图为

图13-1-9
点评：这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题，需要强调的是求和语句的表示方法.若将题改为求使成立的最大正整数的值时，则需注意的是输出的值.
[例5]任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
解：算法为：
S1 判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行S2
S2 依次从2～n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.
点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：
（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.
图13-1-10
[例6]设计一个求无理数的近似值的算法.
分析：无理数的近似值可看作是方程的正的近似根，因此该算法的实质是设计一个求方程的近似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:
S1 令.因为,所以设
S2 令,判断是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断大于0还是小于0.
S3 若>0,则;否则,令.
S4 判断是否成立，若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.
点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述.
四、典型习题导练
1．已知两个单元分别存放了变量和的值，则可以实现变量交换的算法是（ ）.
A．S1 B．S1 C．S1 D．S1
S2 S2 S2 S2
S3 S3
下面流程图中的错误是（ ）

图13-1-11
A．没有赋值 　B．循环结构有错
C．S的计算不对 D．判断条件不成立
3.将“打电话”的过程描述成一个算法，这个算法可表示为 ，由此说明算法具有下列特性 .
4. 在表示求直线（，为常数，且，不同时为0）的斜率的算法
的流程图中，判断框中应填入的内容是
5. 3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画
出这个算法的流程图.
6.一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸.只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵.试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用流程图表示.
§13.2基本算法语句
一、知识导学
赋值语句用符号“←”表示，“”表示将 的值赋给，其中是一个变量，是一个与同类型的变量或表达式.
条件语句主要有两种形式：“行If 语句”和“块If语句”.
“行If 语句”的一般形式为：
If A Then B [Else C] .
一个行If 语句必须在一行中写完，其中方括号中的Else部分可以缺省.
“块If 语句”的一般格式为:
If A Then
B
Else
C
End if
Then 部分和 Else 部分是可选的，但块If语句的出口“End if”不能省.
循环语句主要有两种类型：For语句和While语句.
当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示.“For”语句的一般形式为：
For I from“初值” to step“步长”… End for
上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体.
当循环次数不能确定是，可用“While”语句来实现循环.“While”语句的一般形式为：
While A
…
End while
其中A表示判断执行循环的条件.
上面“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体.
二、疑难知识导析
有的条件语句可以不带“Else”分支，即满足条件时执行B，否则不执行任何操作.条件语句也可以进行嵌套，在进行条件语句的嵌套时，书写要有层次.例如：
If A Then
B
Else if C Then
D
Else
E
End if
2.“For”语句是在执行过程中先操作，后判断.而“While”语句的特点是“前测试”，即先判断，后执行.若初始条件不成立，则一次也不执行循环体中的内容.任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现.
三、经典例题导讲
[例1] 下列程序的运行结果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
错解：8+7=15
错因：误认为在一个程序中只执行一个条件语句，与在一个条件语句中只选择其中一个分支相混淆.If A Then B [Else C] 若满足条件A 则执行B，否则是执行C，B和C是这个条件语句的分支，而这个程序省略了Else部分.
正解：这里是有三个条件语句，各个条件语句是独立的，三个条件均成立，所以按顺序依次执行，结果为8+7+6+6=27.
[例2] 下面的伪代码的效果是
While <10
End While
End
错解：执行10次循环
错因：将For语句和While语句混淆. For语句中有步长使循环变量不断变化，而While语句则无.
正解：无限循环下去，这是因为这里始终为0，总能满足条件“”，故是一个“死循环”.
点评：“死循环”是设计循环结构的大忌，此题可改变的初始值或每一次循环都增加一个值.
[例3]下面的程序运行时输出的结果是（ ）

While
End while
Print S
End
错解：第一次循环时，I被赋予2，S被赋予4；第二次循环时，I被赋予3，S被赋予4+=13；第三次循环时，I被赋予4，S被赋予13+=29；第四次循环时，I被赋予5，S被赋予.由于此时，故循环终止，输出S为54.
正解：由于在循环内，每经过一次循环后S都被赋值0，因此，只要求满足条件的最后一次循环S的值，即当时，.
[例4]用语句描述求使成立的最大正整数的算法过程.
解：

While


End while
Print
点评：此题易错的是输出值，根据While循环语句的特征当时跳出循环体，此时的值是时的最小的整数，则使的最大整数应为的前一个奇数即.
[例5]已知当时，，当时，，当时，，设计一算法求的值.
解： Read x
If then

Else if Then

Else
End if
End
点评：嵌套If语句可用如上的紧凑形式书写，要注意的是如不是采取紧凑形式，则需注意一个块If语句对应一个End If，不可省略或缺少.
[例6]设计一个算法，使得输入一个正整数，输出1！+2！+3！+…+！的值.写出伪代码.
解：思路一：利用单循环，循环体中必须包括一个求各项阶乘的语句以及一个求和语句.
Read n

For I from 1 to n

End For
Print S
思路二：运用内外双重循环，但尤其注意的是每一次外循环T的值都要从1开始.
Read n

For I from 1 to n

For J from 1 to I

End For

End For
Print S
四 、典型习题导练
1． 下列的循环语句循环的次数为（ ）
For I from 1 to 7
For J from 1 to 9
Pint I+J
End for
End for
End
A.7次 B.9次 C.63次 D.16次
2．运行下面的程序后输出的结果是 ，若将程序中的A语句与B语句的位置互换，再次执行程序后输出的结果为 .
While
′A语句
′B语句
End While
Print x,y
End
3.伪代码描述的求T的代数式是 ,求的代数式是 .
Read n
For I from 1 to n
End for
Print T,S
4.运行下面程序后输出的结果为
For I from 10 to 1 step -2
Print I
End for
End
5. 将100名学生的一门功课的成绩依次输入并计算输出平均成绩.
§ 13．3 算法案例
一、知识导学
1．算法设计思想：
（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)
（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.
2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.
（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为
S1 取[]的中点，将区间 一分为二；
S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：
若，，以代替；
若，则，以代替；
S3 若，计算终止，此时，否则转S1.
二、疑难知识导析
1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.
2．表示除以所得的余数，也可用 表示.
3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.
三、经典例题导讲
[例1] ， ，
， 7= .
A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3
错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B.
错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.
正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.
[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.
错解： 算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.
正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.
试用流程图和伪代码表示这一算法.
解：流程图为：

伪代码为：
10
20
30 If Then Goto 20
40 If Then
Print
Goto 80
50 End if
60
70 Goto 40
80 End
点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.
[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.
解：辗转相除法：
S1
S2
S3
S4
S5
故3是192 与81 的最大公约数.
更相减损法：
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
故3 是192与81的最大公约数.
点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.
[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)

图13-3-2
流程图为

图13-3-3
伪代码为
10 Read
20
30
40
50 If Then Goto 120
60 If Then
70
100 End if
80 Else
90
100 End if
110 If Then Goto 20
120 Print
130 End
点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.
[例6] 用秦九韶算法计算多项式在时的值时， 的值为 .
解： 根据秦九韶算法，此多项式可变形为
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：




故当时多项式的值为.
点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.
把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.
四、典型习题导练
1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（ ）.
A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四
2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（ ）.
A．1次 B.2次 C.3次 D.5次
3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.
For I from 1 to 10

Print x;
If Then

Else


End If
End for
Print
Print “奇数个数=”； ，“偶数个数=”；
4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.
For from 2 to 100
For b from 2 to
If mod(a,b)=0 Then

End if
End For
If Then
Print a
End if
End For
End
5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.
6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.
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第一章　集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称
集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.
4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.
5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记
为 .
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常
记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，
记作AB.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并
集，记作AB.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.
2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.
5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
错解：求M∩N及解方程组 得 或 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,
M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}
∴B=或 ∴C={0，1，2}
[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有： （ ）
A．m+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不属于A，B，C中任意一个
错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须
∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1(A.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－∈A.
⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A ( －1∈A ( ∈A ( 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合，则a＝
即＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A ( ∈A ( ∈A(A，即1－∈A
⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．
证明：任设∈A，
则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),
∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*
∴ a∈B故　　　　 ①
显然，1，而由
B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B　　　　 ②
由①、② 得AB．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，?x∈?Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（　　）
A．16????? ????B．14 C．15?????????D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（　　）　A．{2，-2?}????B．{－2，－?} C．{±2，±?}?????D．{，－}3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P　　　B．Q C． 　　D．不知道
4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q=　　 B．P Q C．P=Q 　　　　D．P Q
5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝ （ ）
　　A．　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　　　 D．
6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．
7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
8.已知集合A=和B=满足
A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.
§1.2．常用逻辑用语
一、知识导学
1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“”“”“”表示.
2．命题：能够判断真假的陈述句．
3．简单命题：不含逻辑联结词的命题
4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p
5．四种命题的构成：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.
6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” .
7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .
8．充分条件与必要条件 ：
①pq ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；
②pq ：p是q的充要条件 .
9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.
10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.
二、疑难知识导析
1．基本题型及其方法
（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；
（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；
（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.
（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；
方法：利用定义
（5）证明的充要条件是；
方法：分别证明充分性和必要性
（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.
注：常见关键词的否定：
关键词
是
都是（全是）
（）
至少有一个
至多有一个
任意
存在
否定
不是
不都是（全是）
（）
一个也没有
至少有两个
存在
任意
2．全称命题与特称命题的关系：
全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.
三、经典例题导讲
[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.
否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.
逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.
错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.
正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.
[例2] 将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.
错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若ao时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.
正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.
原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： 当x增加时，若ao，则函数y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
错解：,
故本题应选C.
错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
正解：因为 所以
两式相减得
故
即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.
由于
同理也可得
因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
[例4] 已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .
错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.
错因 ：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.
正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).
同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a且b为真时，必须a,b同时成立.
[例5] 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
分析：本题考查简易逻辑知识.
因为prsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A
解：选A
[例6] 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0
求方程①和②都有整数解的充要条件.
解：方程①有实根的充要条件是解得m1.
方程②有实根的充要条件是，解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1.
[例7] 用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0
证明： 假设、、均小于0，即：
----① ；
----② ；
----③；
①+②+③得，
这与矛盾，
则假设不成立，
∴、、中至少有一个不小于0
[例8] 已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.
解： 若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，
即命题p：m＞2
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，
又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，
因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.
四、典型习题导练
1．方程至少有一个负根，则（ ）
A. 或 B. C. D.
2．“”是“或”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．三个数不全为0的充要条件是 （ ）
A.都不是0. B.中至多一个是0.
C.中只有一个是0. D.中至少一个不是0.
4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.
5．若，试从
A. B. C. D. E. F. 中，选出适合下列条件者，用代号填空：
（1）使都为0的充分条件是 ；
（2）使都不为0的充分条件是 ；
（3）使中至少有一个为0的充要条件是 ；
（4）使中至少有一个不为0的充要条件是 ．
6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．
（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．
（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．
（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．
7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．
　第二章　函数概念与基本初等函数
§2.1　映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)　　2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 .
其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.
对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.
　　3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.
(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
3.对反函数概念的认识
　（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
　（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
　（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
　　　（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.
错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
，共6个映射
(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况
错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清
正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个
[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，
∴的定义域是[1，2]
错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.
正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足
，∴的定义域是[－1，0]
[例3]已知：，求.
错解：∵ ，∴
故，∴＝3－3＝0.
错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
正解：∵ ，
∴＝＝＝7-5＝2　
[例4]已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？
错解：正确
错因：对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数
的图像的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.
[例5]求函数，的值域.
错解：
　　　又，的值域是
错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.
正解：配方，得
∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，
的值域是
[例6]已知，求函数的解析式.
错解：由已知得
即，∴
错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.
正解：因为的反函数为＝，
所以＝＝
[例7]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知是二次函数，若，求.
（2）已知，求
（3）若满足求
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设＝由于得，
又由，∴
即　
　　因此：＝
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
∴＝　　（）
（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解
　用代可得：
与　　　　　
　联列可消去得：＝.
点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
[例8] 已知，试求的最大值.
分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 得
又
当时，有最大值，最大值为
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 得
当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有
，求的表达式.
解法一：由，设，
得，所以＝
解法二：令，得
即
又将用代换到上式中得＝
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
四、典型习题导练
1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（　　　 ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
2.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

4.（06年高考全国II）函数f(x)＝的最小值为
A．190 B.171 C.90 D.45
5. 若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
A.3 B. C.－ D.－3
6.已知函数满足：，，则
.
7.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图像与函数的图像关于直线y＝x－1成轴对称图形，记＝+.
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.2函数的性质
一、知识导学
　　1.函数的单调性：
　（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)　（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
　（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.
　　2.函数的奇偶性：
　（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
　（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
　（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.
　　3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.
二、疑难知识导析
　　1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.
2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.
　　3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.
三、经典例题导讲
[例1]判断函数的单调性.
错解：是减函数
错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.
正解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，
∴　是增函数
[例2]判断函数的奇偶性.
错解：∵＝
　　∴
　　∴是偶函数
错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.
正解：有意义时必须满足
即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
[例3] 判断的奇偶性.
错解：∵
　　　∴且
　　　所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.
正解：方法一：∵
＝＝＝－
∴是奇函数
　　方法二：∵
＝
　　∴是奇函数
[例4]函数y=的单调增区间是_________.
错解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是
错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.
正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是
[例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0
解得x>2或x<－3
又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，
所以2＜x＜3
错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.
正解：由,故0又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
所以
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围
解：设
　　　
　　　由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得
∴a＞
点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.
[例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，?
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.
四、典型习题导练
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
2. （05年高考重庆卷） 若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得的取值范围是 （ ）
A. 　B. C. 　D.（－2，2）
3. （05年高考江西卷）若函数是奇函数，则a= .
4. （05年高考辽宁卷）已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则（ ）
A. B. C. D..
5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.
6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,
当x>－时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
7.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.
(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.3　基本初等函数
一、知识导学
二次函数的概念、图像和性质.
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
二次函数的顶点式和
二次函数的坐标式
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①，当时图像与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=.
②　二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.
2.指数函数和对数函数的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①；②；③（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
；　
（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大; 当03.幂函数的概念、图像和性质.
结合函数y=x,y=x2 ,y=x3,y=,y=的图像，了解它们的变化情况.
①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别.
②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
二、疑难知识导析
1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内　
2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：
（1）式子＝，
（2）
　3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
　4.函数的研究方法一般是先研究的性质，再由的情况讨论的性质.
　5.对数函数与指数函数互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.
　6.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、经典例题导讲
[例1]已知求
错解：∵∴
　∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
正解：∵∴
　∴
[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.
错解：由于方程（）对应的二次函数为
的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.
　故需满足，所以充要条件是
错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
正解：充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解：令，则＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解：令，则为增函数，
＝＝
　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
错解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例5]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
[例7]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系　
①　　　②　　　　　③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=logax(t∈R)，则
f(x)在R上都是增函数.
点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
四、典型习题导练
1. 函数的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.　　　　B.
C. D.　　　　　　
　（05年高考福建试题）
2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（ ）
A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8
3、方程 (0 A.0 B.1 C.2 D.3
4、函数f(x)与g(x)=()x的图像关于直线y=x对称,则f(4－x2)的单调递增区间是 ( ）
A. B. C. D.
5、图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2　　
C. －，－2,2， D. 2，，－2, －
6. 求函数y = log 2 (x2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数为常数
（1）如果＝，求的值；
（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.
§2.4　函数与方程
一、知识导学
1.函数的零点与方程的根的关系：
　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.
2.函数的图像与方程的根的关系：
　　一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.
　　3.判断一个函数是否有零点的方法：
　　如果函数在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.
4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.
5. 二分法：
　　对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二、疑难知识导析
1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.
2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时
应满足：
4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是
（1）取一个区间（）使
（2）取区间的中点，
（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令
（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内
（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
三、经典例题导讲
[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.
错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立
　解得的取值范围为
错解：（二）∵若时，≥0恒成立
∴即
解得的取值范围为
错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0
片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.
正解：设的最小值为
（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
综上，得－7≤≤2
[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内
∴得＜－2
错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.
　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.
由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是
正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.
（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内
又＝1＞0　
　∴有两种可能情形①得＜－2
或者②得不存在
综上所得，＜－2
[例3]已知一次函数与二次函数图像如图，其中
的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：
（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得
∴一次函数为
设P（1，1），Q（，2），则
1︰2＝1︰4
∴︰＝1︰4　　∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2
当1︰2＝1︰2时，Q点坐标为（21，41），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为
当1︰2＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－21，41）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为
错因：在得到1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.
正解：（1）抛物线方程为
（2）方法一：由（1）得方程　即为　
解得1＝－2，2＝1.
　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4），　
∴方程的解为1＝－2，2＝1.
[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.
错解：令那么由条件得到
即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.
正解：令那么由条件得到
即即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
[例5]已知二次函数对于1、2R，且1＜2时
，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.
解：设F（）＝－，　　
则方程　　　　＝　　　　　　①
与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴　F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.
点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.
分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0
＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0
＝16－4－8＋2＝6＞0
根据·＜0，·＜0，·＜0
可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.
因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.
所以＝0有三个根：
[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.
（1）当时，证明；
（2）设函数的图像关于直线对称，证明：
.
分析：（1）用作差比较法证明不等式；
（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.
证明：（1）依题意，设
当时，由于，∴，又
∴>0即
∵0.∴
∴
综合得
（2）依题意知，又
∴
∵∴
点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即
[例8] 已知函数，且方程有实根.
(1)求证：-3(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.
及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.
(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1
解得，
又由于方程有实根，即有实根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c∴c—4∴的符号为正.
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.
四、典型习题导练
1. 方程的实根的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
2.已知抛物线与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
Ａ.有两个正数根 　　　 　B.有两个负数根
C.有一个正数根和一个负数根　　　　　　D.无实数根
3.若关于的方程在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（　　）
A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1
4.已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是（　　）
A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 .
6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.
7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0，证明：f(x)的图像与X轴相交；
(2)证明：若对x1、x2，且f(x1)f(x2),则方程必有一实根在区间（x1,x2）内；
(3)在（1）的条件下，是否存在实数m，使f(m) = －a成立时,f(m+3)>0.
§2.5　函数的综合运用
一、知识导学
1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展.
2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.
3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑.
4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的.
二、疑难知识导析
1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生
⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力.
⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养.
⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力.
⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题.
2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题.
三、经典例题导讲
[例1] 不等式
错解：
错因： 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性.
正解

[例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.
错解：设每件售价提高x元，利润为y元，
则y=∴=1时，（元）
错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为（0－20）元
正解：设每件售价提高x元，利润为y元，则y==
故当，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.
[例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？
错解：设第一年三月份的产值为a，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)11,则所求增长率为
，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)13.
错因：对增长率问题的公式未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错误.若某月的产值是a，则此后第月的产值为，指数是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.
正解：设第一年三月份的产值为a，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)2，
从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是
a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值的增长率为
[例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为（单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？
(车流量=)
错解：，将，代入得
，∴，又将代入得，
由题意得（）
将Q==（）
∵
∴当且仅当时，
综上所知，（km/h）时，车流量Q取得最大值.
错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求，但在行驶过程中车速有可能低于25（km/h），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.
正解：（1）依题意，
则
显然当时，Q是关于的增函数，∴当时，
当时，Q==
当且仅当时，上式等号成立.
综上所述，当且仅当时，车流量Q取得最大值.
[例5] 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.
（1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围.
（4）试举出一个满足条件的函数.
解：（1）在中，令.得：.
因为，所以，.
（2）要判断的单调性，可任取，且设.
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.
由于，所以.
为比较的大小，只需考虑的正负即可.
在中，令，，则得.
∵ 时，，
∴ 当时，.
又，所以，综上，可知，对于任意，均有.
∴ .
∴ 函数在R上单调递减.
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.
，
，即.
由，所以，直线与圆面无公共点.所以，
.
解得 .
（4）如.
点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.
[例6]（02年高考）设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值.
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，，
，
此时既不是奇函数，也不是偶函数
（2）（i）当时，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.
若，则函数在上的最小值为，且.
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为.
点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有
，即
可得，当时，，函数函数为偶函数.
通过可得
化得 此式不管还是都不恒成立，
所以函数不可能是奇函数.
（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.
[例7]某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.
从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.
由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.
解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则
.
又由图可知：.
所以，
由已知，当时，，即
，
解得.即此时该店有50名职工.
（2）若该店只安排40名职工，则月利润
.
当时，求得时，S取最大值7800元.
当时，求得时，S取最大值6900元.
综上，当时，S有最大值7800元.
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有
.
解得.
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.
点评：求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
四、典型习题导练
1.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
2.用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架，要使直角三角形面积为1平方米，有下列四种长度的铁管，最合理（够用，浪费又最少）的是（ ）
A.4.1米 B.4.8米 C.5米 D.5.2米
3.（05年高考湖北卷）函数的图像大致是（ ）
4.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.
5.设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
6.（03年荆州质量检测）某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，每提高一元，将有30张票不能售出，为了获得更高的收益，需给影院定一个比较合理的价格，要求它符合以下三个基本条件：①为了方便找零与算账，票价为 1元的整数倍；②影院放一场电影成本费用支出为5750元；③票房收入必需大于成本支出.用x（元）表示每张票的价格，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入.
（1）求函数的解析式和它的定义域；
（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净收益最大.
7.(05年高考浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围.
8.(05年高考江西卷）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；.
9．（06年高考江苏卷）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（2）求g(a)
（3）试求满足的所有实数a
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.
6．三角函数的定义域
三角函数
定义域
R
R
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
（2）与角终边相同的角的集合表示.
，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.
2．值得注意的几种范围角的表示法
“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为；“小于90的角”可表示为.
3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.
4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1]　若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（　　）
①.　　②.　　③.　　④.
A．1 B.2 C.3 D.4
错解： ∴ ，故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误
正解：法1在中，在大角对大边，
法2　考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为　　　　　　　　　.
错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（
错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.
正解：∵角的终边关于轴对称
∴ 即
说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为
（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为
（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为
[例3]　已知 ，试确定的象限.
错解：∵，∴是第二象限角，即
从而
故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.
错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，
而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.
正解：∵，∴是第二象限角，
又由知
，故是第四象限角.
[例4]已知角的终边经过，求的值.
错解：
错因：在求得的过程中误认为0
正解：若，则，且角在第二象限
若，则，且角在第四象限
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.
[例5]　（1）已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角；
（2）若，则是第　　　象限角.
解：（1）是第三象限角，即
，
当为偶数时，为第二象限角
当为奇数时，为第四象限角
而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.
（2）因为，所以为第二象限角.
点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长
扇形的面积
所以当时，即时.
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.
[例7]已知是第三象限角，化简。
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝。
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.
[例8]　若角满足条件，则在第（　　）象限
A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四
解：角在第二象限.故选B.
[例9]　已知，且.
（1）试判断的符号；
（2）试判断的符号.
解：（1）由题意，，
，所以.
（2）由题意知为第二象限角，，所以.
四、典型习题导练
1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为 ）
A． B． C． D．
2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（ ）
A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（ ）
A．[2k－，2k +] B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪ D.以上都不对
4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为( )
A. B. C. D.
5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是 .
①sinx＜x＜tgx ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中终边相同的是（ ）
A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（ ）
A.  B.－  C.－ D.－
9．函数y= 的定义域是______,值域是______.
10．若点P在第一象限，则在［０，2］内的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：；商数关系：；倒数关系：
同角三角函数的基本关系式可用图表示
（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；
（2）对角为倒数关系；
（3）每个三角函数为相邻两函数的积.
2．诱导公式()
角 函数
正弦
余弦
记忆口诀
函数名不变
符号看象限
－
－
－
－
－
函数名不变
符号看象限
－
－
－
诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
“1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
[例1]已知__________
错解：两边同时平方，由得
∴解得：
或解得：
错因：没有注意到条件时，由于
所以的值为正而导致错误.
正解：
两边同时平方，有
求出∴
[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
错解：由得tan A=tan B
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示
正解：由 ①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1
∴cos2B= ∴sin2B= ∴tan 2B=
∵B为锐角 ∴tan B=
得tan A=tan B=
[例3]（05年高考重庆卷）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.
点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
[例4] （05年高考北京卷）已知=2，求
（1）的值； （2）的值．
解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
所以=；
（2）由(I), tanα=－, 所以==.
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.
[例5]化简：
错解：原式
错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.
正解：原式
（1）当，时
原式+
=0
（2）当，时
原式+
+=0
[例6]（05年高考江苏卷）若，则=（ ）
A． B． C． D．
错解：===1—2=
错因：诱导公式应用符号错.
正解：=
=—=—1+2=—.故选A.
[例7]．（05年高考福建卷）已知.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值.
解法一：（1）由
即
又 故
（2）

解法二：（1）联立方程
由①得将其代入②，整理得
故
（2）
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
[例8] (1)化简： ＋+cos2αcsc2α
(2)设sin(α+)=－,且sin2α＞0
求sinα,tanα
解：原式=＋ +cos2αcsc2α
=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α
=1+cot2α
=csc2α
(2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
kπ＜α∵cosα=- ＜0 ∴α为第三角限角
sinα=-＝ tan α= = 
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.
[例9] 求函数的定义域.
解：由题意有

当时，；
当时，；
当时，
函数的定义域是
点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.
[例10] （05年高考天津卷）
已知.
解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得
由
由于，
故在第二象限，于是.
从而（以下同解法一）.
点评：，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.
四、典型习题导练
1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( )
A. B. C. D.
2．（05年高考全国卷Ⅰ）在中，已知，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是
A．①③ 　B.②④ C.①④ D.②③
3．（05年全国卷Ⅲ）设,且,则
A. B. C. D.
4．函数
A. 增函数 B. 减函数
C. 偶函数 D. 奇函数
5．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依
次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．
7．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．
(1) 求f()的值； (2) 设∈(0，)，f()＝，求sin的值．
8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，
sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
9．（06年高考安徽卷）已知
（1）求的值；
（2）求的值。
3.3三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
两角和与差的三角函数公式



二倍角公式


半角公式
， ，

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.
二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、
，等，注意到倍角的相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

三、典型例题导讲
[例1] 在(ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则(C的大小应为( )
A． B． C．或 D．或
错解：C
错因：求角C有两解后未代入检验.
正解：A
[例2] 已知tan( tan(是方程x2+3x+4=0的两根，若(，(((-)，则(+(=（ ）
A． B．或- C．-或 D．-
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围.
正解：D.
[例3] 若，则对任意实数的取值为（ ）
A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定
错解：C
错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.
正解：解法一　设点，则此点满足

解得或
即

选A
解法二：用赋值法，
令
同样有
选A
[例4] △ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）
A. B. C.或 D.
错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.
正解：A
[例5] 已知，（），则（　　）
A、 B、 C、 D、
错解：A
错因：是忽略，而解不出
正解：C
[例6]求值：=_______________
解：答
解法一　
原式


解法二


[例7] 已知是第三象限的角，若等于（ ）
A. B. 　　　　C. D.
解：选A.
解析：




[例8]
分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少.
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.
解法一：（复角→单角，从“角”入手）
原式




解法二：　（从“名”入手，异名化同名）





解法三　（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）


解法四　（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）





点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=，N=则MUN等于（　　）
A．M B.N C.ф D.
2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( 　 )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )
A.或- B.- C. D.以上都不对
4.已知θ=,则= .
5.计算sinsin= .
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（　　）
A． B． C． D．
7．求值：__________
8.函数的最小值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
9．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定
10.已知向量
（1）求的值；
（2）若的值.
3.4三角函数的图像与性质
一、知识导学
1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图像
（1）四种图像
（2）函数的图像
①“五点作图法”
②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性
二、疑难知识导析
1.+中，及，对正弦函数图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.
如：向右平移个单位，应得，而不是
2.用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.
3.的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各个参数.
4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.
6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围.若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.
7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲
[例1] 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
错解：A
错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
正解：B
[例2] 函数的最小正周期为( )
A B C D
错解：A
错因：将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.
正解：B
[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
错解：B
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.
正解：D
[例4]函数为增函数的区间是 ( )
A. B. C. D.
错解：B
错因：不注意内函数的单调性.
正解： C
[例5]函数的最大值为__________.
解：

[例6] 函数的部分图像是（ ）
解：选D.
提示：显然

[例7] 当
A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为
C. 最大值为2，最小值为 D. 最大值为2，最小值为
解：选D
解析：，而


[例8]已知定义在区间上的函数的图像关于直线
对称，当时，函数，
其图像如图所示.
（1）求函数在的表达式；
（2）求方程的解.
解：（1）当时，函数，观察图像易得：，即时，函数，
由函数的图像关于直线对称得，时，
函数. ∴.
（2）当时，由得，
；
当时，由得，.
∴方程的解集为
四、典型习题导练
1.函数的图像的一条对称轴方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知点是函数上的两个不同点，且，
试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①；②；③
；④.其中正确不等式的序号是 .
3.
4.若常数α满足＜1,求使函数f (x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数的α的值.
5．已知函数，
（1）当y取最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx，的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6.
求函数的最小值.
7．（06年高考浙江卷）如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的图象与y轴交于点（0，1）.
(1)求φ的值；
(2)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
3.5解三角形及三角函数的应用
一、知识导学
1.解三角形的的常用定理:
内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.
(2) 正弦定理: （指△ABC外接圆的半径）

(3) 余弦定理: 及其变形.
(4) 勾股定理:
2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
二、疑难知识导析
1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.
3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.
三、经典例题导讲
[例1]已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，
且、，则的值是_________________.
错解： 是方程的两个根
，
由===可得
错因：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.
正解： ，
是方程的两个负根
又 即
由===可得
答案: -2 .
[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若，则在R上是增函数；
②若，则ABC是；
③的最小值为；
④若，则A=B；
⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.
错解：③④⑤中未考虑.
错因：④中未检验.
正解：错误命题③⑤.
①
②.
③时最小值为.
显然.得不到最小值为.
④
或(舍) ，.
⑤
错误命题是③⑤.
[例3]函数f(x)=的值域为______________.
错解：
错因：令后忽视,从而
正解：
[例4] （06年高考江苏卷）＝　　
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
解：
＝
＝
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
[例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,
=,求证：a+
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第四章 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
[例2] 已知数列的前n项之和为① ②
求数列的通项公式。
错解： ①
②
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.
正解： ①当时，
当时，
经检验 时 也适合，
②当时，
当时，
∴
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。
错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
正解：由题意：得
代入得S40 ＝。
[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；
错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
错因：误认为
正解：
[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；
错解：由an0得n5
前5项为非负，从第6项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
Sn=
错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
正解：
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前项和的公式吗？
解：理由如下：由题设：
得：
∴
[例7]已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解：（1） ∴
（2）
当近于0时其和绝对值最小
令： 即 1024+
得：
∵ ∴
[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （）
证明：依题意
∵ ∴
∵
∴ ∴ （获证）。
四、典型习题导练
1．已知，求及。
2．设，求证：。
3.求和:
4.求和：
5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.
6.在等差数列中， ，则 （?????? ）。
A．72　　B．60　　C．48　　D．36
7. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
8.已知数列成等差数列，且，求的值。
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前n项和公式：
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.
2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。
A.等差数列　　　
B.等比数列　　
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
错解：
（常数）
为等比数列，即B。
错因：忽略了中隐含条件n＞1.
正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;
当n>1时，
（常数）
但
既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =.
错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
正解：由题意：得，
S40=.
[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解： a+a2+a3+…+an＝.
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;
当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;
当a1时， a+a2+a3+…+an＝.
[例4]设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
证明：
证法一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴非零实数成等比数列
设公比为，则，代入

∵，即，即。
证法二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
解：
∵，∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解： ①
②
两式相减：
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg）
由此可见：an= ()n(1×0.2（kg）, a5= ()5(1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
a1=(2, a3=(8
a1=5, 且2an+1=(3an
a1=5, 且
2.在等比数列，已知，，求.
3.已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中，a1=(2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列中，，求的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m;
4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；
8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。
错解：欲证
只需证＞2
即证：＞
由对数函数的单调性，只需证＜
－＝
＝－
＜
原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
只需证＞2
即证：＞
由对数函数的单调性，只需证＜
由已知数列是由正数组成的等比数列，
>0,.
若,
则－＝ ＝－＜0；
若,
－＝
＝－
＜
原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球　每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.
即＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为
＝300（米）
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.
正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，
1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，
2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，
……
17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1
＝
＝
答：取出的钱的总数为。
[例4]求数列的前n项和。
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则
当时，
当时，
[例5]求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则

[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
解：取n =1，则
又由 可得：
[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则
当n为奇数时，取 S达到最小值
当n为偶数时，取 S达到最大值
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
3．已知数列中，是它的前项和，并且，
（1） 设，求证数列是等比数列；
（2） 设，求证数列是等差数列。
4.在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.
第五章　不等式
§5.1不等式的解法
一、知识导学
1. 一元一次不等式ax>b
(1)当a>0时，解为；
(2)当a＜0时，解为；
(3)当a＝0，b≥0时无解；当a＝0，b＜0时，解为R．
2. 一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1＜x2
　类型
解集
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c＜0
ax2+bx+c≤0
Δ＞0
{x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≤x1或x≥x2}
{x｜x1＜x＜x2
｛x｜x1≤x≤x2｝
Δ＝0
{x｜x≠-，xR}
R
Ф
｛x｜x=-｝
Δ＜0
R
R
Φ
Φ
3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：
　　①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
　　②将f(x)分解为若干个一次因式的积；
　　③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
　　④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
4.分式不等式：先整理成＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：
　　＞0f(x)·g(x)＞0
　　≥0
　　然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
二、疑难知识导析
1.不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.
3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类.
三、经典例题导讲
[例1] 如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿.
A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 　C. －1错解：由题意：
解得：－1错因：将kx2+2kx－(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k＝0的情况.
正解：当k＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立， k＝0符合题意.
当k0时，由题意：
解得：－1 ，故选C.
[例2] 命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
A. B. C. D.
错解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，
又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,
A是B的充分不必要条件,
x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a
－a>4故选D.
错因：忽略了a＝－4时，x|－2＜x＜4＝x|－2＜x＜－a，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.
正解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，
又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,
A是B的充分不必要条件,
x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a
－a>4故选C.
[例3]已知f(x) = ax + ，若求的范围.
错解： 由条件得
②×2－①
①×2－②得
+得
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
正解： 由题意有,
解得：
把和的范围代入得
[例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x－2)
错解：（x+2）2
原不等式可化为：(x+3)(x－2)
原不等式的解集为｛x| x －3或x｝
错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.
正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x－2) ①或（x+2）2(x+3)(x－2)②，
解①得：x=－3或x＝－2或x＝2
解②得：x＜ －3或x＞2
原不等式的解集为｛x| x －3或x或x｝
[例5] 解关于x的不等式
解：将原不等式展开，整理得：
讨论：当时，
当时，若≥0时；若<0时
当时，
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.
[例6]关于x的不等式的解集为
求关于x的不等式的解集．
解：由题设知　，且是方程的两根
∴，
从而 可以变形为
即： ∴
点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.
[例7]（06年高考江苏卷）不等式的解集为　　
解：∵，∴0＜，∴
∴
解得
反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
四、典型习题导练
1.解不等式
2. 解不等式
3.解不等式
4. 解不等式
5.解不等式
6.k为何值时，下式恒成立：
7. 解不等式
8. 解不等式
§5.2简单的线性规划
一、知识导学
1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
三、经典例题导讲
[例1] ．画出不等式组表示的平面区域.
错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.
错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.
正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.
[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.
错解：由于　1x－y2　　①,
2x+y4　　　②,
①+② 得32x6 ③
①×(－1)+② 得：02y3 ④.
③×2+④×(－1)得. 34x－2y12
错因：可行域范围扩大了.
正解：线性约束条件是：
令z＝4x－2y，
画出可行域如右图所示，
由得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.
54x－2y10

[例3] 已知,求x2+y2的最值.
错解：不等式组表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界），
令z= x2+y2
由得A点坐标（4，1），
此时z＝x2+y2＝42+12＝17，
由得B点坐标（－1，－6），
此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由得C点坐标（－3，2），
此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.
错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.
正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），
令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.
由得A点坐标（4，1），
此时z＝x2+y2＝42+12＝17，
由得B点坐标（－1，－6），
此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由得C点坐标（－3，2），
此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
而在原点处，，此时z＝x2+y2＝02+02＝0，
当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.
[例4]某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？
分析： 数据分析列表
书桌
书橱
资源限制
木料（m3）
0．1
0．2
90
五合板（m2）
2
1
600
利润（元/张）
80
120
计划生产（张）
x
y
设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为

2x+y-600=0
A(100,400)
x+2y-900=0
2x+3y=0
目标函数z=80x+120y
作出上可行域：
作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为
zmax=80×100+400×120=56000(元)
若只生产书桌，得0z=80×300=24000（元）
若只生产书橱，得0z=120×450=54000（元）
答：略
[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
需求
12
15
27
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则
目标函数z=x+2y
作出可行域如图
作一组平行直线x+2y=t，

2x+y=15
x+y=12 x+3y=27
x+2y=0
由
可得交点，
但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，
且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);
若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).
它们都比zmin大，因此都不行.
答：略
[例6]设，式中满足条件，求的最大值和最小值.
解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，
当经过点时，对应最小，∴，．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.
四、典型习题导练
1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域.
2．画出不等式组表示的平面区域
3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
6．（06年高考广东）在约束条件下，当时，目标函数
的最大值的变化范围是
A.[6,15] B.[7,15]
C.[6,8] D.[7,8]
§5.3 基本不等式的证明
一、知识导学
1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.
2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.
3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.
5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.
二、疑难知识导析
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.
4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.
5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.　　
三、经典例题导讲
[例1] 已知a>b(ab),比较与的大小.
错解： a>b(ab)，<.
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：，又 a>b(ab)，
(1)当a、b同号时，即a>b>0或b0,b－a<0, ,<.
(2)当a、b异号时，则a>0,b<0, >0,<0>.
[例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
错解：所以选B.
错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.
正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当ab时，a+b>2,两端同乘以，可得（a+b）·＞2ab, ＜，因此选D.
[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.
错解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.
正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是.
[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小.
解法一：

∵0 < 1 ( x2 < 1, ∴
∴
解法二：

∵0 < 1 ( x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ( x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴左 ( 右 =
∵0 < 1 ( x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
[例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证：证法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
证法二（综合法）xy =
≥
证法三（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin(, b = xcos(
y2 = c2 + d2 c = ysin(, d = ycos(
∴ac + bd = xysin(sin( + xycos(cos( = xycos(( ( ()≤xy
[例6] 已知x > 0，求证：
证：构造函数 则， 设2≤(<(
由
显然 ∵2≤(<( ∴( ( ( > 0, (( ( 1 > 0, (( > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增，∴左边
四、典型习题导练
1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
2.已知a,b,c,d都是正数，求证：
3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
4.若，求证：
5.若x > 1，y > 1，求证：
6．证明：若a > 0，则
§5.4不等式的应用
一、基础知识导学
1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.
2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.
二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”
为模型的新的形式.
三　经典例题导讲
[例1]求y=的最小值.
错解： y=＝2
y的最小值为2.
错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.
正解：令t=,则t,于是y=
由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.
[例2]m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有两个正根.
错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.
正解：由题意：
因此当时，原方程有两个正根.
[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．
解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
因，则，即，所以的最大值为.
[例4]?已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则
y=abc，2ab+2bc+2ac=S．
而
y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）
当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值
答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.
说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.
四、典型习题导练
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相
交，试证明对一切R都有.
5．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5 推理与证明
一、基础知识导学
推理一般包括合情推理和演绎推理.
合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.
归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.
直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.
分析法：从原因推导到结果的思维方法.
综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.
反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.
应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.
数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.
数学归纳法的步骤：
??? （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；
??? （2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.
三、经典例题导讲
[例1] {}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)写出数列{}的前3项;
(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);
错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2. (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
由题意,有
将代入，化简得
解得.∴
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.　
正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2. (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
由题意,有
将代入，化简得
解得.由∴
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
[例2]　用数学归纳法证明对于任意自然数，
??? 　　
错解：证明：假设当（N）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　可知等式对任意N成立．
错因在于推理不严密，没有证明当的情况 ．
正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．
　　　　　（2）假设当（）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　　由（1）、（2），可知等式对任意N成立．
[例3]　是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
　分析　本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．
解：，
　　　　　　，
　　　　　　，
　　　　……
　　　　猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：
　　　　（1）当时，，能被36整除．
　　　　（2）假设当，（N）时，能被36整除．
　　　　那么，当时，
????????? 　　　　　　　　　　　　　　
????????? 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　由归纳假设，能被36整除，
　　　　当为自然数时，为偶数，则能被36整除．
　　　　∴ 能被36整除，
　　　　这就是说当时命题成立．
　　　　由（1）、（2）对任意，都能被36整除．
　　　　当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．
　[例4] 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．
　分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．
解：解法一　 与（，）联立，解得
　　直线的方程为，　令，得，所以点
　直线的方程为与联立，消元得（），解得，　所以点（，）．
直线的方程为，
　令，得，所以点　同样可求得点（，0）
　　　　　　……
　　由此推测（，0），即
　　　用数学归纳法证明
　　　（1）当时，由点的坐标为（，0），
　　　　即，所以命题成立．
　　　（2）假设当时命题成立，
　　　　　即，0），则当时，
　　　　　由于直线的方程为，
　　　　　把它与（，）联立，
　　　　　消去可得（），
　　　　　∴
　　　　　于是
　　　　　　即点的坐标为（，）．
　　　　　　∴ 直线的方程为
　　　　　　令得，
　　　　　　即点的坐标为（，0）
　　　　　　∴ 当时，命题成立．
　　解法二　设点，的坐标分别为（，0）、（，0），
　　　　　　建立与的递推关系，即，
　　　　　　由数列是等差数列，且，公差
　　　　　　可求得（），．
用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
[例5] 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．
证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2
又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立
②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个
部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆
交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k
个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平
面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2
即n＝k＋1时命题成立．
由①②可知对任何n∈N命题均成立．
说明:? 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．
[例6] 已知n≥2，n∈N
②假设n=k时，原不等式成立．
由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．
四、典型习题导练
1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，
当=1时，左边应为____________.
2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.
3.已知数列
证明.
4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.
5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.
不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，
这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.

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第六章 立体几何初步
§6.1 两条直线之间的位置关系
一、知识导学
平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.
反证法.会用反证法证明一些简单的问题.
二、疑难知识导析
1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.
2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.
3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，
4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.
5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.
三、经典例题导讲
[例1]在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( ).
A .是AC和MN的公垂线. B .垂直于AC但不垂直于MN.
C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .与AC、MN都不垂直.
错解:B.
错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.
正解：A.
[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.
错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,
∥BD,EF=BD,
又, GH∥BD,GH=BD,
四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
,F分别是AD.AC与FH交于一点.
直线EG,FH,AC相交于一点
正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,
∥BD,EF=BD,
又,
GH∥BD,GH=BD,
四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
平面ABC,FH平面ACD,
T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,
,直线EG,FH,AC相交于一点T.
[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.
错解：认为正确.
错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.
正解：假命题．
[例4] 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．??分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．??证明 ∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．?又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，??即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．?点?评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．? 分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．
证明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，?∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．?∴ AB，CD必定相交于一点，?设 AB ∩CD＝M．?又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．?∴ M∈α∩β．?又∵ α∩β＝，∴ M∈，?即 AB，CD，共点．
?点?评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．
[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．? 分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点?A?? ∴ 直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵ 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
点?评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
[例7] 在立方体ABCD－A1B1C1D1中，　　（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；　　（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？　　（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？
解：(1)连结BD, 交AC于点O .
(2)BD1和AC是异面直线.
(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.
不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.
[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵　PA ⊥平面ABC∴　PA⊥BA　　又∵　BA⊥AC ∴　BA⊥平面PAC　　∴　AD是BD在平面PAC内的射影　　又∵　BD⊥PC ∴　AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练
1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为 　．
3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是 ，它们的距离是 .
4.长方体中，
则所成角的大小为_ ___.
5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）. 
6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，
求证：BH⊥CD
7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合．
求证：EF和DH是异面直线．
§6.2直线与平面之间的位置关系
一、知识导学
掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.
直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是，当直线与平面垂直时所成的角是9，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.
掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.
直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.
直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.
三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短.
二、疑难知识导析
1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.
2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.
3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.
4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.
三、经典例题导讲
[例1]已知平面∥平面，直线平面,点P直线,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到的距离为9的点的轨迹是（ ）
A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点
错解：A.
错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.
正解：B.
[例2] a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ).
A．有且只有一个 B．一个面或无数个
C．可能不存在 D．可能有无数个
错解：A.
错因：过a与b垂直的平面条件不清.
正解：C.
[例3]由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为⊿ABC的外心，求证：.
错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.
错因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.
正解：取BC的中点D，连PD、OD，
[例4]如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N,
求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC和NC的长；
（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
错因：（1）不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解,不会找 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.
正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
(2)如图，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1 ，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线.
设PC＝，则P1C＝，
在
(3)连接PP1（如图），则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理的逆定理得，.
[例5] P是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：PC∥ 平面BDQ ．
　　分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．
证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，
∵四边形ABCD 是平行四边形.
∴AO=CO ，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是 的中位线，∴PC∥OQ ．
∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．
点?评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行.
[例6] 在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BB1O．
证明?： 如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．
∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD
∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，
又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线，
∴AC⊥平面BB1O(线面垂直判定定理)
∵AC∥EF，
∴ EF⊥平面BB1O．
[例7]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE 平面ACD1 ．
分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 内找两条相交直线与OE 垂直．
证明：连结B1D 、A!D 、BD ，在△B1BD 中，
　　∵E,O 分别是B1B 和DB 的中点，
　　∴EO∥B1D ．
　　∵B1A1 面AA1D1D ，
　　∴DA1 为DB1 在面AA1D1D 内的射影．
　　又∵AD1A1D ，
　　∴AD1DB1 ．
　　同理可证B1DD1C ．
　　又∵AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，
　　∴B1D 平面ACD1 ．
　　∵B1D∥OE ，
　　∴OE 平面ACD1 ．
　　点?评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．
[例8]．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上, 点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.
证明：
证法一.如图,作ME∥BC,交BB1于E,作NF∥AD,交AB于F,连EF则EF平面AA1B1B.
ME=NF
又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN为平行四边形,
MN∥EF. MN∥平面AA1B1B.
证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连B1P,则B1P平面AA1B1B.
∽,
又CM=DN,B1C=BD,
∥B1P.
B1P平面AA1B1B, MN∥平面AA1B1B.
证法三.如图,作MP∥BB1,交BC于点P,连NP.
MP∥BB1,
BD=B1C,DN=CM,
NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA1B1B.
MN∥平面AA1B1B.
?四、典型习题导练
1．设a ，b 是空间两条垂直的直线，且b∥平面 ．则在“a∥平面 ”、“a ”、“a与相交”这三种情况中，能够出现的情况有（???? ）．
　A．0个　　B．1　　C．2个　　D．3个
2．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是（???）．
　A．梯形　　B．任意四边形　　C．平行四边形　　D．菱形
3．若一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（??? ）．
　　A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．平行、相交或异面
4．空间四边形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是E 、F 、G 、H ，若两条对角线BD 、AC 的长分别为2和4，则EG2+HF2 的值（???? ）．
A．5　　B．10?????? C．20?????? D．40
5．点P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形ABCD 四边的中点，则：当AC 时，四边形PQRS 是______形；当AC=BD 时，四边形PQRS 是____形．
6．已知两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，M 、N 分别在它们的对角线AC ，BF 上，且CM=BN ，
求证：MN∥ 平面BCE ．
7.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且
证明C1C;
当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.
§6.3平面与平面之间的位置关系
一、基础知识导学
1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.
2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.
3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.
4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).
二、疑难知识导析
1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.
2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.
3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.
4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.
5．注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.
三、经典例题导讲
[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）.
A.α+β<900 B.α+β≤900 C.α+β>900 D.α+β≥900
错解:A.
错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.
正解：B.
[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）.
A．90° 　B．60° 　 　C．50° 　D．45°
错解:A.
正解：C
[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_____.
错解：.用面积射影公式求解：S底=S截=.
错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.
正解：.
[例4]点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．
（1）求的大小；
（2）求二面角的大小．
错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.
正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．
因为二面角D－AC－B为直二面角，

又在中，，
．
．
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴就是二面角的平面角．
在RtEGM中，，，，
∴．∴．
所以，二面角的大小为
[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝ ，BC＝ .
解:作′⊥α，
∵　α∥β∥γ，∴　′与β、γ也垂直，
′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.
因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平面间的距离，A1C1是α与γ之间的距离.　　
∴　A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12
AB= ， ，BC= .
答：AB= ，BC＝ .
[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE
又∵α∥β，∴　AF∥BE
同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补
由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=　
由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=　
又∵△ACF的面积为72，即 ＝72
S=
=,
答：△BDE的面积为84平方单位.
[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.
（1）求证：平面MNG∥平面ACD
（2）求S：S
解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H
∵　M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
则有：
连结PF、FH、PH有MN∥PF
又PF 平面ACD
∴　MN∥平面ACD
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M
∴　平面MNG∥平面ACD.
（2）由（1）可知：
∴MG=，又PH=
∴MG=　 ，
同理：NG= ，
∴　△MNG∽△ACD，其相似比为1：3
∴S：S=　1：9
[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：EFGH是矩形.
(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.
(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF
同理HG∥CD.∴EF∥HG
同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形
由CD∥EF，HE∥AB
∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，
又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.
(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n
∴
由HE∥AB
∴
又∵四边形EFGH为矩形
∴S矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab
∵m＋n≥2，∴（m＋n）2≥４mn
∴≤，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,
S矩形EFGH=ab≤ab，
矩形EFGH的面积最大为ab.
点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.
四、典型习题导练
1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．
2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．
3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．
4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，
且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.
? 求证：平面ABC⊥平面BSC.???????????
5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.
§6.4空间角和距离
一、知识导学
1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.
2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.
二、疑难知识导析
1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.
2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.
3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得
4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.
5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.
三、经典例题导讲
[例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.
错解：.
错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.
正解： .
[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.
错解：4个.
错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.
正解：7个.
[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D.
错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.
正解：D.
当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多
最多可盛原来水得1－
[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.
错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.
正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab
[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.
解?: 本题应分两种情况讨论：
（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是.
根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.
在Rt△ABF中，AF=
过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故
CD=
(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=
点?评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.
[例6] （06年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.
并证明你的结论.
解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为
PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.
（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由知，为平面的一个法向量。
设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。
（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。
[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，
求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；
（2）D点到平面PBC的距离．
解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE
又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．
∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．
由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．
（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，
因此平面PDC⊥平面PBC，
作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．
在Rt△PDC中，，DC=2，，．
平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.
[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的
球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．
分析?： 转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．
由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．
取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为
所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=
点评： 本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．
四、典型习题导练
1．在平面角为600的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱的距离为____________.
2．异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a ,b 所成的角均为，这样的直线有 条.
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面EFB1D1的距离为
4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．
5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．
6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的 距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α- -β的大小.
7.如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
§6.5空间几何体及投影
一、知识导学
了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.
了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投　射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.
注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.
二、疑难知识导析
1．三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.
2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.
三、经典例题导讲
[例1]如图，该物体的俯视图是（　）.
错解：B.
错因：投影方向不对.
正解：C.
[例2] 如图所示的正方体中，E、F分别是AA1,D1C1的中点，G是正方形BDB1D1的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）
A B C D
错解：C.
正解：D
[例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形 　D. 任意三角形
错解：B.
错因：不熟悉斜二侧画法的规则.
正解:C.
[例4] 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）.
A. B. C. D.
错解：A.
错因：对正方体和球的关系理解不清.
正解:B.正方体的对角线就是球的直径.
[例5]（06年江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
A.S1(S2　　B.S1(S2　　　　C.S1=S2　　　　　　D.S1，S2的大小关系不能确定
解：连OA、OB、OC、OD
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
[例6]正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.
解：解法一　　如图，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，过A1，D1分别作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.
因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A1D1=a.
所以? A1E=O1O=D1F=FD=b-= (b-a).
AE=(b-a).
所以? tan∠A1AE=.
解法二　如图，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.
所以? 在RtΔSOD中，SO=OD，
因为? AO=2·OD，所以? tan∠SAO=.
点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.
[例7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：
（1）这个下料斗的体积；
（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？
分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S侧＝（c＋c＇）h＇.
解：（1）因为S上＝4402mm2，S下＝802 mm2，h＝200 mm

（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，
下底面周长c＝4×440＝1760mm，
斜高h＇＝
S正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×105（mm2）
答：这个下料斗的体积约为1.6×107mm3，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×105mm2.
点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.
四、典型习题导练
1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（　）
A．长方形、圆、矩形 B．矩形、长方形、圆
C．圆、长方形、矩形 D．长方形、矩形、圆
2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（　）
3.下列平面图中不能围成立方体的是（　）.
4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．
5. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.
第七章 平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学　
1．两点间的距离公式:不论A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是.
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
为直线的斜率
b为直线的纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
() 为直线上的已知点，为直线的斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
()，()是直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
+=1
为直线的横截距
b为直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
，，分别为斜率、横截距和纵截距
A、B不全为零
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且·≠ -1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线1∶， 2∶，有以下结论：
①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2
②1⊥2·= -1
（2）对于直线1∶，2 ∶，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：
①1∥2=≠
②1⊥212+12 = 0
③1与2相交≠
④1与2重合==
7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离d=；
（2）两平行直线1: ， 2: 之间的距离d=.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；
（2）圆的一般方程：（＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=.
二、疑难知识导析　
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一　直线：；圆：.
一元二次方程
（2）方法二　直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为
d=
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：
|O1O2|>1+2两圆外离；
|O1O2|=1+2两圆外切；
| 1-2|<|O1O2|<1+2两圆相交；
| O1O2 |=|1-2|两圆内切；
0<| O1O2|<| 1-2|两圆内含.
三、经典例题导讲　
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：直线方程的截距式: 的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,
∴直线方程为y=x
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .
［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3
化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 .
当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
当x＜0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
(x-)2+(y-3)2 =  ① 和 (x+)2+(y-3)2 = -  ②
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
正解：　接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？
错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
A=C≠0且＜0.
正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.
当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).
　　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
　　即
　　整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝　　L′的方程为y+3＝(x+3)
　　即4x-3y+3＝0　　因L和L′关于x轴对称
　　故L的方程为4x+3y+3＝0.
错因：漏解
正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，　于是L′过A(-3，-3).
　　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
　　已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
　　因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
　　即
　　整理得12k2-25k+12＝0
　　解得k＝或k＝
　　L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。
　　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
　　因L和L′关于x轴对称
　　故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
过原点；（2）有最小面积.
解：设所求圆的方程是：
即：
（1）因为圆过原点，所以，即
故所求圆的方程为：.
将圆系方程化为标准式，有：
当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.
故满足条件的圆的方程是.
点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A()，B()（≠0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.
解：（1）证明　∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，
　整理得：＝0　　∴＋＝0
设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0
即　＋＝0
整理得：
故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（），则
∵，
∴
又∵＋＝0　，＝－
∴－
∵≠0，∴≠0
∴＝－4
　＝
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线的距离为ｄ，则
＝
当＝时，ｄ有最小值，由题设得＝
∴＝2.
四、典型习题导练　
1．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 （ ）
A. B. C. D.
2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，则的最大值为： .
4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为.
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；
（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.
5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).
（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.
§7.2圆锥曲线
一、知识导学　
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：， （）
3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
4．椭圆的准线方程
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
5.焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6椭圆的参数方程
7．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中与b的大小关系:可以为
9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
10．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2, 叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
11． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．
12．双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
抛物线
图形
方程
焦点
准线
13 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
二、疑难知识导析　
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
3．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
4．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
19抛物线的焦半径公式：
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
三、经典例题导讲　
[例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率.
错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而
剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：
或.
［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.
错解：因 ∴，得：，同理得：，故 ∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.
［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.
错解一： 故所求的双曲线方程为
错解二： 由焦点知
故所求的双曲线方程为
错因：　这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.
解法一： 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得
解法二： 依题意，设双曲线的中心为,
则 解得 ,所以
故所求双曲线方程为
［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.
错解：依题意可设椭圆方程为
则 ，
所以 ，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则

所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以 ，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论.
正解：若，则当时，（从而）有最大值.
于是从而解得.
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
于是所求椭圆的方程为
［例5］从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程
解：本题可用待定系数法求解
∵b=c, =c，可设椭圆方程为
∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，
代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根据弦长公式，得,
又点F1到PQ的距离d=c
∴ ,由
故所求椭圆方程为
［例6］已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）
由题意知：与联立消去y得：
设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，
，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
点评：也可利用“焦半径”公式计算
［例7］（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求｜PQ｜的最大值.
解： 依题意可设P（0,1），Q（），则｜PQ｜＝，又因为Q在椭圆上，所以，，｜PQ｜2＝＝
＝.
因为≤1，＞1，若≥，则≤1，当时，｜PQ｜取最大值；若1＜＜，则当时，｜PQ｜取最大值2.
［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程
解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-2
则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0
设M（x1,y1）,N(x2,y2),则，

解得　，
故所求双曲线方程为：
点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握
四、典型习题导练　
1. 设双曲线两焦点为F1、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是　　（ ）
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.
2．已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点 的距离是5，则p= .
3.平面内有两定点上，求一点P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知椭圆的离心率为.（1）若圆（x-2）2+(y-1)2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600，求的值.
5.已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
6.线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线
（1）求抛物线方程；
（2）若的取值范围
§7.3 点、直线和圆锥曲线
一、知识导学　
点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
已知（a＞b＞0）的焦点为F1、F2, （a＞0,b＞0）
的焦点为F1、F2，(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线∶Ax＋B＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,（若a≠0时），
△＞0相交 △＜0相离 △= 0相切
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
二、疑难知识导析　
1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加.
2．双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： ；
过右焦点与右支交于两点时：。
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：；
过右焦点与右支交于两点时：。
4．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 .
5．直线和抛物线
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.
联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；
当，则
若，两个公共点（交点）；
，一个公共点（切点）；
，无公共点 （相离）.
（2）相交弦长：
弦长公式：.
（3）焦点弦公式：
抛物线， .
抛物线， .
抛物线， .
抛物线，.
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：.
（5）常用结论：
和
和.
三、经典例题导讲　
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.
错解： 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
正解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.
错解：曲线C：可化为①，联立，得：
，由Δ＝0,得.
错因：方程①与原方程并不等价，应加上.
正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.
注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.
[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.
错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.
（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：
∴，又∵ ∴
解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.
正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.
[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.
解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),
设 P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),
由A、C、P三点共线得 ①
由D、B、P三点共线得 ②
①×② 得 ③
又 , ∴， 代入③得 ，
即点P在双曲线上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、
F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).
[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.
解：设所求椭圆的方程为=1.
　　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：
　　
　　将②代入①，整理得
　　 ， ③
设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为
P(,+1)，Q(,+1)
　　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得
　　
　　整理得
　　
　　解这个方程组，得
或
　　根据根与系数的关系，由③式得
　　 (1) 或 (2)
　　解方程组(1)、(2)得
　 　 或
　　故所求椭圆方程为
　=1 ， 或 =1.
[例6]（06年高考湖南）已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB⊥轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若＝，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.
解：（1）当AB⊥轴时，点A、B关于轴对称，所以＝0，直线AB的方程为＝1，
　从而点A的坐标为（1，）或（1，－），
　因为点A在抛物线上，所以，＝.
　此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
(2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为　.
　由消去得　　　　①
设A、B的坐标分别为　（）、（）.
则，是方程①的两根，＋＝.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，
所以｜AB｜＝（2－）＋（2－）＝4－，且
｜AB｜＝（）＋（）＝＝.
从而＝4－
所以，即
解得.
因为C2的焦点F、（）在直线上，所以，
即
当时直线AB的方程为；
当时直线AB的方程为.
四、典型习题导练　
1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为，则抛物线方程为
2.直线m：y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为
3．
试求m的取值范围.

4． 设过原点的直线l与抛物线y2=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，
（1）求直线l的方程；
（2）求|AB|的长.
5． 如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.
9．设曲线C的方程是y＝x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1.
　　(1)写出曲线C1的方程；
　　(2)证明曲线C与C1关于点A()对称；
　　(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝且t≠0.
§7.4轨迹问题
一、知识导学　
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
2.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；
点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
3.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆
当e=1时，轨迹为抛物线
当e＞1时，轨迹为双曲线
4.坐标变换
（1）坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.
（2）坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则
(1) 或 (2)
公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
二、疑难知识导析　
1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：
(1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；
(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；
(3)注意挖掘题目中的隐含条件；
(4)注意反馈和检验.
2.求轨迹方程的基本方法有：
(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理.
(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.
(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.
(4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程.
(5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程.
另外,还有交轨法、几何法等.
3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：
(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；
(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；
(3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.
三、经典例题导讲　
[例1]如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
[例2]某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.
建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则
|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
=1 ①
同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为
(x－)2+y2=1 ②
由①、②可解得，∴r=
故所求圆柱的直径为 cm.
[例3] 直线L：与圆O：相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程.
错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由，得：
∴，整理得：
分析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时.
[例4] 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
解：建立坐标系如图所示，
设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0).
设M(x,y）是轨迹上任意一点.
则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).
(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.点M的轨迹是以
(－，0)为圆心，为半径的圆.
[例5]若抛物线y=ax2-1上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的取值范围.
分析：若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上.
解：如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为
y=x+b
由 得
ax2-x-(b+1)=0　　 ①
令 △＞0
即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0
整理得
4ab+4a+1＞0 　②
在②的条件下，由①可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax2-1的交点A、B的中点M的坐标为
（,+b）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有
+（+b）=0 ③
即 b=- 代入②解不等式得 a＞
因此，当a＞时，抛物线y=ax2-1上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称.
四、典型习题导练　
1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
2.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
3．设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)2+y2 ＝25的直径分为两段，则其长度之比是
4.已知A、B、C是直线上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线于点A，又过B、C作⊙O′异于的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
5.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
6.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为，点F2关于的对称点为Q，F2Q交于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.
§7．5综合问题选讲
一、知识导学　
(一)直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
3．了解二元一次不等式表示平面区域.
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用.
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
(二)圆锥曲线方程
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4．了解圆锥曲线的初步应用.
（三）目标
1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握、b、、、之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二、疑难知识导析　
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度.当斜率存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为=（∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，、b分别是直线在轴、轴上的截距，因为≠0，b≠0，所以当直线平行于轴、平行于轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在轴上还是轴上，还是两种都存在.
⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行、b、、间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.
⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个和（＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
三、经典例题导讲
[例1]已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=(0<<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线的方程；
（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
解: (1 ) 显然, 于是 直线的方程为；
（2）由方程组 解出 、；
（3）, .
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
[例2]设P是圆M：(-5)2+(-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值.
解：设P(,)，则Q(18-, -)，记P点对应的复数为+，则S点对应的复数为： (+)·=-+，即S(-, )
∴
其中可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为最小值为，则
|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为.
[例4]（02年天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ.
解：（1）记P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差数列等价于
即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
（2）点P的坐标为。.
因为 0〈， 所以 .
[例4]舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.
技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.
解：取AB所在直线为轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2).
由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为－3+7=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上.
直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.
据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.
设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则,
∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.
答：方位角北偏东300，仰角30°.
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.
(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.
[例5]已知抛物线C：2=4.
(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
(2)若M(m,0)是轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.
解：由抛物线2=4,得焦点F(1,0),准线：=－1.
(1)设P(,)，则B(2－1,2),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=,又设点B到的距离为,则|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)2+(2)2=2(2－2),化简得P点轨迹方程为2=－1(＞1).
(2)设Q(,y),则
|MQ|=?
(ⅰ)当m－≤1,即m≤时，函数=[－(m－)2]+m－在(1，+∞)上递增，故无最小值，亦即|MQ|无最小值.
(ⅱ)当m－＞1,即m＞时，函数=[2－(m－)2]+m－在=m－处有最小值m－,∴|MQ|min=.
[例6]已知抛物线C的对称轴与轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.
解:设所求抛物线方程为(-)2=(-)( ∈R, ≠0) 　　 ①
由①的顶点到原点的距离为5，得=5 　②
在①中，令=0，得2-2+2+=0。设方程的二根为1,2，则
|1-2|=2.
将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为
(-h)2=(--3)
令=0，得2-2+2++3=0。设方程的二根为3,4，则
|3-4|=2.
依题意得2=·2，
即 4(+3)= ③
将抛物线①向左平移1个单位，得(-+1)2=(-),
由抛物线过原点，得(1-)2=- ④
由②③④得=1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.
∴所求抛物线方程为(-3)2=+4，或(+3)2=4(+4).
四、典型习题导练　
1．过抛物线2=4的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（1）设点P分有向线段所成的比为，证明:；
（2）设直线AB的方程是-2+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
3．直线的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
4.已知倾斜角为的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，｜AB｜＝3.
(1) 求点B的坐标；
若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为（4,1），求的值；
对于平面上任一点，当点Q在线段AB上运动时，称｜PQ｜的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.
5．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
(1)求椭圆的方程；
(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与轴交于点M. 若｜MQ｜＝2｜QF｜，求直线的斜率.
第八章 平面向量与空间向量
§8.1平面向量及其运算
一、知识导学
1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知，。在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。记作+。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知，。在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。记作-。　　　
7.实数与向量的积：
（1）定义： 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：　 ①λ的长度|λ|=|λ|·||； ②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同； 当λ＜0时，λ的方向与的方向相反； 当λ＝0时，λ= （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μ)=(λμ)  ②(λ+μ) =λ+μ ③λ(+)=λ+λ
8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。
另外，设=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则//x1y2－x2y1=0
9.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使　＝λ1＋λ2 ，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，则有 　
特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有　11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cosθ规定：零向量与任一向量的数量积是0。(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。
(3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝||cosθ　，⊥·＝0 当与同向时，·＝|||| 　当与反向时，·＝－|||| 特别地，·＝||2或||＝ cosθ＝ |·|≤||||(4)运算律： ·＝· (交换律) (λ)·＝λ(·)＝·(λ) (＋)·＝·＋·
（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则·=||·||cos90°=0x1x2+y1y2=0
12.平移公式：设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F/上对应点为P/（x/，y/），且设的坐标为（h，k），则由＝＋，得：（x/，y/）＝（x，y）+（h，k）
二、疑难知识导析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”
向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；
2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；
3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；
4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；
5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲
[例1] 和= (3,－4)平行的单位向量是_________；
错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)
错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)
点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。
错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。
正解：设D的坐标为（x，y）
当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为（-2，3）；
当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为（6，-1）；
当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。
错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）
错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。
正解：当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；
当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。
则所求点P的坐标为（）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。
[例4] 设向量 ，，，则“”是“”的
? A.充分不必要条件???????????????? B.必要不充分条件
? C.充要条件?????????????????????? D.既不充分也不必要条件
分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．
解：若，∵，则，代入坐标得：，即且 ．消去，得；
反之，若，则且，即
? 则，∴
? 故“”是“ ”的充要条件．
答案：C
点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．
[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x +y ．
分析：根据向量?

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