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5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标：
探索并了解等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相关性质.
一、情境导入
等腰三角形是生活中常见的图形.
要点探究
知识点一：等腰三角形的性质
(1) 等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
(4) 沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.
【归纳总结】
想一想
等边三角形有几条对称轴？
(2) 你能发现它的哪些特征？
练一练
判断下列说法的正误：
1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.
2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.
3. 钝角三角形不可能是等腰三角形.
4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.
5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.
【典例精析】
例1 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的底角的大小是 (　　)
A．65° 或 50° B．80° 或 40°
C．65° 或 80° D．50° 或 80°
例2 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求∠A和∠C的度数.
【针对训练】
1. 填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 .
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是______.
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于____________ .
（4）△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，则∠B = ____°，∠C = ____°.
（5）△ABC中，AB = AC，∠B = 36°，则∠A = ____°，∠C = ____°.
2. 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
3. 如图，∠O = 15°，且OA = AB = BC = CD. 求∠1.
二、课堂小结
1. (株洲·中考) 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 ( )
A.等边三形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2. (淄博·期中) 等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为 ( )
A. 22厘米 B. 17 厘米
C. 13厘米 D. 17 厘米或 22 厘米
3. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，点D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE. 求∠DAE的度数.
参考答案
合作探究
一、要点探究
知识点一：等腰三角形的性质
练一练
判断下列说法的正误：
1. 等腰三角形的顶角一定是锐角. ×
2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角. ×
3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. ×
4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边. √
5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. ×
6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. √
典例精析
例1等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的底角的大小是 (　A　)
A．65° 或 50° B．80° 或 40°
C．65° 或 80° D．50° 或 80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
例2 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求∠A和∠C的度数.
解：因为AB = AC，BD = BC = AD，
所以∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.
设∠A=x°，即∠A =∠ABD = x°.
因为∠A +∠ABD +∠ADB= 180°，
∠BDC+∠ADB= 180°.
所以∠BDC = 2x°.
所以∠ABC =∠C =∠BDC = 2x°
所以x+ 2x+ 2x = 180.
解得x = 36.
所以∠A=36°，∠C= 72°.
针对训练
1. 填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 45° .
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是 100° .
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于 20°或 50° .
（4）△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，则∠B = 72 °，∠C = 72 °.
（5）△ABC中，AB = AC，∠B = 36°，则∠A = 108 °，∠C = 36 °.
方法总结：等腰三角形的两底角相等.
2. 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
3. 如图，∠O = 15°，且OA = AB = BC = CD. 求∠1.
解：因为OA = AB，
所以∠ABO =∠O = 15°. 所以∠BAO =150°.
所以∠BAC =180°－∠ABO = 30°.
因为 AB = BC，
所以∠ACB =∠BAC = 30°.
所以∠CBO = 135°.
所以∠CBD =180°－∠CBO = 45°.
因为BC=CD，所以∠D =∠CBD = 45°.
所以∠BCD = 90°.
所以∠1 = 180°－∠BCD－∠ACB = 60°.
当堂检测
1. (株洲·中考) 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 ( D )
A.等边三形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2. (淄博·期中) 等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为 ( A )
A. 22厘米 B. 17 厘米
C. 13厘米 D. 17 厘米或 22 厘米
3. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，点D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE. 求∠DAE的度数.
解：因为 AB = AC，所以∠B =∠C.
所以∠B =∠C = (180°－120°)÷2 = 30°.
又因为 BD = AD，所以∠BAD =∠B = 30°.
同理，∠CAE =∠C = 30°.
所以∠DAE =∠BAC－∠BAD－∠CAE = 120°－30°－30° = 60°.

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