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5.3 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质
学习目标：
1.理解线段垂直平分线的性质和判定．
2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.
一、情境导入
什么样的图形叫做轴对称图形？
线段是轴对称图形吗？
要点探究
知识点一：线段垂直平分线的性质
在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O. 你发现了什么？
【归纳总结】
议一议
如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？
改变点C的位置，结论还成立吗？
【归纳总结】
【典例精析】
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
做一做
利用尺规作如图所示的△ABC的重心.
【典例精析】
例2 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为 (　　)
A．22 厘米 B．16 厘米
C．26 厘米 D．25 厘米
例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？
【针对训练】
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA = 5，则线段PB的长为 ( )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
2. 如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =_____cm，DA =_____cm.
3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交 AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长.
二、课堂小结
1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 cm.
2. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？
3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.
参考答案
合作探究
一、要点探究
知识点一：知识点一：三角形的中线
典例精析
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2. 作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线.
做一做
利用尺规作如图所示的△ABC的重心.
典例精析
例2 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为 (　A　)
A．22 厘米 B．16 厘米
C．26 厘米 D．25 厘米
解析：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为
DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC
＝AB＋BC＝12＋10＝22 (厘米).
例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？
解析：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交 AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等.
所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
针对训练
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA = 5，则线段PB的长为 ( B )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
2. 如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =__4__cm，DA =__6__cm.
3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交 AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长.
解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线，
所以EB = EA.
所以△AEC的周长为
AC + CE + EA = AC + CE + EB = AC + BC = 4 + 5 = 9.
当堂检测
1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 10 cm.
2. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？
解：因为AD⊥BC，BD = DC,
所以AD是BC的垂直平分线.
所以AB= AC.
因为点C在AE的垂直平分线上，
所以AC= CE.所以AB= AC= CE.
所以AB+BD=CE+DC，即AB+BD=DE.
3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.
提示：连接 AB，AC，分别作 AB，AC 的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点 P.

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