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5.3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
学习目标：
1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；
2探索并证明角的平分线的性质；
3.能用角的平分线的性质解决简单问题.
一、情境导入
你发现了什么图形？
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
要点探究
知识点一：角的轴对称性
如图，将∠AOB对折，你发现了什么？
知识点二：角平分线的性质
做一做
(1) 在一张纸上任意画∠AOB ，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
(2) 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？
思考：你能验证这个结论吗？
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
试说明：PD = PE.
【归纳总结】
【典例精析】
例1 典例精析
例1利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
想一想
如图所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E. DE与DC相等吗？为什么？
变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14.
(1) 则点P到AB的距离为_____；
(2) 求△APB的面积.
【归纳总结】
【针对训练】
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，则点D到AB的距离是 .
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
二、课堂小结
1. 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 试说明：CE＝CF.
参考答案
合作探究
一、要点探究
知识点一：角的轴对称性
知识点二：角平分线的性质
典例精析
例1利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M、点N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3)作射线OC. 射线OC即为所求.
想一想
如图所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E. DE与DC相等吗？为什么？
解：DE与DC相等.
因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长，
所以 DE = DC.
变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14.
(1) 则点P到AB的距离为__4__；
(2) 求△APB的面积.
解：由角平分线的性质知PD = PC = 4，
故 AB·PD = 28.
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
针对训练
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = 60 °，BE = BF .
2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，则点D到AB的距离是 3 .
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC的依据是（ A ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　D　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，
因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
所以DF＝DE＝2.
S△ABC＝×4×2 + ·AC×2＝7，解得AC＝3.
当堂检测
1. 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 试说明：CE＝CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF，∠ECD =∠FCD，∠DEC =∠DFC = 90°.
在△CDE和△CDF中，
因为∠DEC =∠DFC，∠ECD =∠FCD，DE = DF，
所以△CDE≌△CDF. 所以CE＝CF.

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