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县第一中学
高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式
第一课时　基本不等式
课标要求　1.熟练掌握基本不等式≤(a>0，b>0).
2.用基本不等式解决简单的最值问题.
素养要求　通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点提升数学运算、逻辑推理素养.
一、基本不等式
1.问题　若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab的大小关系如何？在本题结论中，“＝”何时成立？
2.问题　当a>0，b>0时，用，分别代替“上面”问题中的a，b可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？
3.思考　结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？
提示　
4.填空　(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当 时，等号成立.
(2)其中 叫做正数a，b的算术平均数 叫做正数a，b的几何平均数，两个正数的算术平均数不 它们的几何平均数.
5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)≥对任意实数a，b都成立.( )
(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.( )
　利用基本不等式直接求最值
例1 (1)已知x>0，求x＋ 的最小值；
(2)当x<0时，求x＋ 的最大值；
训练1（1）当x>1时，求x+1/x-1的最小值。
（2）已知0例2 已知x，y都为正数，则：
(1)如果积xy等于定值P，求x＋y的最小值，
(2)如果和x＋y等于定值S，求xy的最大值；
训练2 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)
A.16 B.25
C.9 D.36
一、基础达标
1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)
A.a＝4 B.a＝
C.a＝－ D.a＝±
2.下列结论正确的是(　　)
A.当x>0且x≠1时，x＋≥2 B.当x>0时，＋≥2
C.当x≠0，x＋的最小值为2 D.当x>0时，x＋的最小值为2
3.已知0A.a2＋b2 B.2
C.2ab D.a＋b
4.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　)
A.400 B.100
C.40 D.20
能力提升
1.已知x>3，求＋x的最小值.
2.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.
C.4 D.8
思维升华　在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；
二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；
三是考虑等号成立的条件是否具备.

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