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第三章 统计数据描述
安徽大学经济学院统计学系
《统计学原理与应用》
《统计学原理与应用》编写组
*
提纲 (Outline)
3.1 问题的提出
3.2 总量指标
3.3 相对指标
3.4 平均指标
3.5 标志变异指标
3.6 分布的偏态和峰度
3.1 引言
我们在上一章研究了数据的搜集和整理方法，
而统计工作的继续还需要进一步研究数据的特征。
例如：
（1）这些数据总量特征如何？
（2）相关数据的相对关系怎么样？
（3）这些数据的集中趋势如何？
（4）它们的离散程度多大？
3.2 总量指标
一、总量指标的概念
总量指标是用来反映社会经济现象在一定条件下的
总规模、总水平或工作总量的统计指标。
总量指标用绝对数表示，是一种最基本的统计指标。
3.2 总量指标
二、总量指标的种类
（一）按其说明总体的内容不同分为
1. 总体单位总量：用来反映统计总体内包含总体单位
个数多少的总量指标。
2. 总体标志总量：统计总体各单位某一方面数量标志值的综合。
3.2 总量指标
二、总量指标的种类
（二）按其反映总体的时间状况不同分为
1. 时期指标：反映社会经济现象在一段时间上发展变
化结果的总量。
2. 时点指标：统计总体各单位某一方面数量标志值的综合。
时期指标
①具有可加性
②指标数值的大小与所属时期的长短直接相关
③必须连续登记而得
时点指标
①不具有可加性
②数值大小与时间点的间隔长短无直接关系
③指标数值是间断计数
3.2 总量指标
3.2 总量指标
三、总量指标的计量单位
（一）
（二）价值单位：也叫货币单位。常见的价值单位有人民币、美元等。
（三）劳动单位：如“工时”、“工日”。
3.3 相对指标
一、相对指标的概念和作用
（一）相对指标的概念
相对指标是用两个有联系的指标进行对比的比值来
反映社会经济现象数量特征和数量关系的综合指标。
无名数
复名数
抽象化的数值，多以系数、倍数、成数、百分数或千分数等表示，无计量单位
表明事物的密度、强度等，有计量单位，如“千克/人”
3.3 相对指标
一、相对指标的概念和作用
（二）相对指标的作用
①表明事物的相关程度、发展程度，弥补总量指标的不足。
②把现象的绝对差异抽象化，使原来无法直接对比的指标变得可以比较。
③说明总体内在的结构特征，为深入分析事物的性质提供依据。
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
随着统计分析目的的不同，两个相互联系的指标数值对比可以采取不同的比较标准，而对比所起的作用也有所不同，从而形成不同的相对指标。
计划完成程度相对指标
结构相对指标
比例相对指标
比较相对指标
强度相对指标
动态相对指标
相
对
指
标
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（一）计划完成程度相对指标
·概念
计划完成程度相对指标是社会经济现象在某时期内实际完成数值与计划任务数值对比的结果，一般用百分数表示。
计划完成程度指标=
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
·计算方法
（1）计划数为绝对数和平均数
可直接使用上述公式。
（2）计划数为相对数
计算公式为：
计划完成程
度相对指标
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（二）结构相对指标
·概念
结构相对指标就是在分组的基础上以各组（或部分）的单位数与总体单位总数对比。一般用百分数、成数或系数表示。
结构相对数=
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（三）比例相对指标
·概念
比例相对指标是反映总体中各个组成部分之间的比例关系和均衡状况。
比例相对数=
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（四）比较相对指标
·概念
比较相对指标就是将不同地区、单位或企业之间的同类指标数值作静态对比而得出的综合指标，表明同类事物在不同空间条件下的差异程度或相对状态。
比较相对数=
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（五）强度相对指标
·概念
强度相对指标就是在同一地区或单位内，两个性质不同而有一定联系的总量指标数值对比得出的相对数，是用来分析不同事物之间的数量对比关系，表明现象的强度、密度和普遍程度的综合指标。
强度相对数=
3.3 相对指标
二、相对指标的种类及其计算方法
（六）动态相对指标
·概念
动态指标就是将同一现象在不同时期的两个数值进行动态对比而得出的相对数，借以表明现象在时间上发展变动的程度，也称为发展速度。
强度相对数=
3.3 相对指标
三、正确运用相对指标的原则
01
04
02
03
可比性
定量分析与定性
分析相结合
相对指标和总量
指标结合运用
各种相对指标
综合运用
3.4 平均指标
平均指标也称为平均数，是用来说明社会经济现象总体各单位在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平。
平均指标反映的是总体内各位数据的集中趋势，是总体各单位数据的代表值。
3.4 平均指标
一、算术平均数
（一）算术平均数的概念
算术平均数也称为平均数，其含义是：观察值的总和除以观察值个数的商。算术平均数，是集中趋势测度中最重要的一种，它是所有平均数中应用最广泛的平均数。
3.4 平均指标
（二）算术平均数的种类
算术平均数的具体计算方法可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。
① 简单算术平均数
根据未经分组整理的原始数据计算的均值。设一组数据为 ，则简单算术平均数的计算公式如右：
一、算术平均数
3.4 平均指标
② 加权算术平均数
根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为：
式中：f代表各组变量值出现的频数。
一、算术平均数
3.4 平均指标
（三）算术平均数的性质
各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即
各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即
一、算术平均数
3.4 平均指标
二、调和平均数
（一）调和平均数计算方法
调和平均数也有简单的和加权的两种形式。
①简单调和平均数：
式中：x为变量值
3.4 平均指标
②加权调和平均数：
式中：m为权数，k为组数，x为组中值
二、调和平均数
3.4 平均指标
（二）调和平均数的特点
① 调和平均数易受极端值的影响。
② 只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。
二、调和平均数
3.4 平均指标
三、几何平均数
（一）简单几何平均数
直接将n项变量连乘，然后对其连乘积开n次方根所得的平均数即为简单几何平均数。计算公式为：
式中： x是变量值， 代表连乘符号
几何平均数也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根。分为简单几何平均数和加权几何平均数。
3.4 平均指标
（二）加权几何平均数
与算术平均数一样，当资料中的某些变量值重复出现时，简单几何平均数就变成了加权几何平均数。计算公式为：
式中： 代表各个变量值出现的次数。
三、几何平均数
3.4 平均指标
（三）几何平均数的特点
① 几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。
② 如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负
数或虚数。
③ 它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
④ 几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
三、几何平均数
3.4 平均指标
四、众数
（一）众数计算
对于品质数列和单项式变量数列，出现次数最多的就是众数。
对于组距式数列，我们有固定的计算公式：
下限公式：
上限公式：
式中：L：众数所在组下限；U：众数所在组上限；Δ1：众数所在组次数与比其小的那一组次数之差；Δ2：众数所在组次数与比其大的那一组次数之差；d：众数所在组组距。
3.4 平均指标
（二）众数特点
① 具有较强的代表性
② 当分组数列中没有明显的集中趋势，而是近似于均匀分布时，则该次数分配数列无众数。若将重新分组，可能又会使分配数列再现出明显的集中趋势无众数的分布数列。
③ 如果与众数组相比邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；如果与众数组比邻的上一组的次数较多，而下一组的次数较少，则众数在众数组内会偏向该组下限；反之，则众数在众数组内会偏向该组上限。
四、众数
3.4 平均指标
五、中位数
（一）中位数的计算
① 对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为：
则中位数
3.4 平均指标
② 由分组资料确定中位数
我们按下限公式或上限公式确定中位数。
式中：d:中位数所在组的组距； :中位数所在组以下的累计次数（累计次数从小到大）； :中位数所在组以上的累计次数（累计次数从大到小）
五、中位数
3.4 平均指标
（二）中位数特点
① 中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。
② 有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。
五、中位数
3.4 平均指标
六、众数、中位数和算术平均数的关系
图3.1 正态分布
图3.2 右偏分布
图3.3 左偏分布
3.5 标志变异指标
一、变异指标的概念
平均指标说明总体各单位标志值的集中趋
势，变异指标则说明标志值的分散程度或离中趋
势。
变异指标是反映总体各单位标志值的差别大
小程度的综合指标，又称标志变动度。
3.5 标志变异指标
二、全距
由于极差易受极端值影响，因而它往往不能
充分反映社会经济现象的离散程度。
全距也称为极差，是指总体各单位的两个极
端标志值之差。即：
R=最大标志值 - 最小标志值
3.5 标志变异指标
三、平均差
计算公式：
A.D.（资料未分组）=
A.D.（资料已分组）=
平均差是总体各单位标志对其算术平均数的
离差绝对值的算术平均数。它综合反映了总体各
单位标志值的变动程度。
3.5 标志变异指标
四、标准差与方差
标准差是各个数据与其算术平均数的离差平方的平均数的算术平方根，又称均方差。标准差的平方称为方差。
（一）总体标准差方差
1.标准差的计算公式
未分组数据： 分组数据：
3.5 标志变异指标
四、标准差与方差
（一）总体标准差和方差
2.总体方差计算公式
对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：
对于分组数据，方差的计算公式为：
3.5 标志变异指标
四、标准差与方差
根据未分组数据和分组数据计算样本标准差和方差的公式分别为：
未分组数据： 分组数据：
未分组数据： 分组数据：
3.5 标志变异指标
五、变异系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：
式中：Vσ和Vs分别表示总体离散系数和样本离散系数。
一般来说，平均水平相同时，标准差（或方差）越大，平均水平的代表性越差；平均水平不同时，离散系数越大，平均水平代表性越差。
3.6 分布的偏态和峰度
一、偏态
偏态是对分布偏斜方向和程度的测度。
计算公式：
3.6 分布的偏态和峰度
二、峰度
峰度是衡量分布集中趋势高峰的形状的一种指标
计算公式：
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