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第四节 时间数列变动因素分析
一、时间数列变动的影响因素分解
时间数列中各项发展水平的发展变化，
是由许多复杂因素共同作用的结果，各种
因素的性质不同，其作用也不同。为了观
察和分析时间数列发展变动的规律，通常
假定，影响时间数列变动的因素大体有四
种：长期趋势、季节变动、循环变动和不
规则变动。　　　
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※长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动的概念
第四节 时间数列变动因素分析
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循环变动C（Cyclical）
不规则变动I（Irregular）
季节变动S（Seasonal）
长期趋势T（Trend）
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第四节时间数列变动因素分析
１、长期趋势
长期趋势是指现象在一段较长的时间内，
由于普遍的、持续的、决定性的基本因素
的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐
向上或向下变动的趋势。认识和掌握事物
的长期趋势，可以把握事物发展变化的基
本特点。
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第四节 时间数列变动因素分析
２、季节变动
季节变动是指现象受季节的影响而发生
的变动。即现象在一年内或更短的时间内
随着时序的更换，呈现周期重复的变化。
季节变动的原因，既有自然因素又有社会
因素。
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第四节 时间数列变动因素分析
３、循环变动
循环变动（或称周期性变动）是指现象
发生的周期比较长的、近乎规律性的周而
复始的涨落起伏变动。它不是朝同一方向
持续发展，且周期长度不等、波动程度也
不同，它是由多种原因引起的。多指经济
发展兴衰相替的变动。
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第四节 时间数列变动因素分析
4、不规则变动
不规则变动是指除了上述各种变动以
外，现象因临时的、偶然的因素而引起的
随机变动，这种变动无规则可循，例如地
震、水灾、旱灾等所引起的变动。从长期
来看有些偶然因素的个别影响可以相互抵
消一部分。
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第四节 时间数列变动因素分析
上述四种因素的变动，可用加法模式或
乘法模式来描述时间数列的实际变动。
加法模式：四种因素相互独立时，时间
数列Y是各因素相加的总和。即：
Y=T＋S ＋ C ＋ I
乘法模式：四种因素相互影响或交叉作
用时，时间数列Y是各因素相乘的积。即
Y=T × S × C×I
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第四节 时间数列变动因素分析
式中：Y、T是总量指标，用原始单位表
示；S、C、I则为比率，用百分数表示。T、
S一般称为常态变动，C、I称为剩余变动。
变动分析的任务就是将各因素对时间数
列变动的影响测定出来，研究它们的规律
为预测未来及进行决策提供依据。实际应
用中多采用乘法模式，以下的测定方法以
乘法模式为基础。
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二、长期趋势测定
就是对数列的变动情况和特点进行理论分析，并采用相应的方法对数列进行修匀，消除其他因素的影响，揭示现象发展变化的趋势，把握其规律。
年份
资料
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1、时距扩大法
时距扩大法的基本思想是通过对原有数
列中各期指标值按较长的时距加以归并，形
成新的时间数列，以消除偶然因素和季节
变动的影响，显示出长期趋势。
计算表： 1999—2002年某地工业增加值
要消除 I、S 的影响，应选择多大的时距？
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1. 时期数列指标值可以直接加或求
其序时平均数
2.时点数列则需计算其序时平均数
1.时距大小的选择依据数列的特点
2.信息量损失较大
3.不易进行外推预测
特点
注意
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移动平均法的基本思想是对原数列中的
指标值按一定时间跨度移动，计算出一系列
新的序时平均数，形成时间数列，以消除偶
然因素和季节变动的影响，从而显示出长期
趋 势。
2、移动平均法
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（1）简单移动平均法:
它是直接用简单算术平均数作为移动平
均趋势值的一种方法。
设移动间隔为K，则移动平均数列可写为：
式中，为移动平均趋势值；K为大于1小于n的正整数。
工业增加值移动平均结果
1500.1
1583.0
1571.0
1532.8
1574.8
1553.6
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移动结果比较图
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（2）加权移动平均预测法：
是在简单移动平均法的基础上给近期
数据以较大的权数，给远期的数据以较小
的权数，计算加权移动平均数作为移动
平均趋势值的一种方法。公式为：
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例如上例中：k=3，分别给权数1、2、3。
则计算的趋势值为：
（1382.4×1+1584.2 ×2+1533.7 ×3）÷6
= 9151.9 ÷ 6 = 1525.3，其余类推。
简单平均数为1500.1
由此可见二者的区别。
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1、移动平均的项数越多，对数列的修匀作用越大
2、平均项数为奇数，只需一次平均；平均项数为偶数，需进行二次平均才能正对原数列
3、数列中包含有周期变动，移动平均的项数必须与周期长度相同
4、移动平均后，新数列项数比原数列项数少：
奇数平均，首尾各少 （n-1）/2项
偶数平均，首尾各少 n/2 项
特点
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由于首尾都损失若干信息量，
只可用于观察趋势，但不利于直
接向外进行延伸预测。
缺点
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指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种方法，实质上是一种特殊的加权移动平均法。它一般适用于时间序列长期趋势变动和水平变动事物的预测。指数平滑法是依据时间序列的有关数据和计算出来的指数平滑值，来确定预测结果的方法。
3、指数平滑法
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指数平滑法包括一次指数平滑法、二次指数平滑法和多次（三次以上）指数平滑法，一次指数平滑法适用于水平型变动的时间序列预测，二次指数平滑法适用于线性趋势型变动的时间序列的预测，多次指数平滑法适用于非线性趋势变动的时间序列预测。本课主要阐述一次指数平滑法。
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一次指数平滑法是以计算出来的最后一个一次指数平滑值为基础,确定预测值的方法。若 分别为时间序列中观察值的数据,当观察期的时间t=1,2,3,….n,则 为时间t观察值的一次指数平滑值；a为时间序列的平滑系数,且 0 a 1。
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那么时间序列各观察值的一次指数平滑公式为： 　　
式中： 下一期的预测值；
　　 本期实际观察值（本期实际发生值）；
　　 本期预测值；a 平滑系数即权数。
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上面的公式还可以整理为： 　　
用语言表述：下期预测值=
本期预测值＋平滑系数（本期实际值
　　　　　　　　　　　　－本期预测值）
可以看出，下期预测值等于本期预测值加上平滑系数（即加权因子）乘以本期预测误差。
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当ａ＝０时，　　　　　，即下期预测值等于本期预测值，也就是在进行预测时，不考虑当前实际值所反映新的影响因素的变化，认为现象变化是稳定的。
当ａ＝１时，　　　　，即下期预测值等于本期实际发生值，也就是在进行预测时，不考虑以往影响现象变化各种因素对预测对象的作用，认为现象多变，只需考虑当前的新情况。
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　在一般情况下，进行预测，既要考虑当前的新情况，又要考虑以往影响现象变化的各种因素（如以往的销售资料），所以，取值在0和1之间。由公式： 　　　　　　　　　　　
可以得出以前时间的逐期一次指数平滑值如下：
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对上述各式经过迭代后，整理后得出下式：
当ｔ很大时，式中的最后一项接近于０，可略去，可表示为：
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指数平滑法是对时间数列所有数据施以不同的权数。权数之间按首项为a，公比为1-a的等比级由近至远减少。所以它是一种特殊加权移动平均法。同时，考虑数列中所有数据对预测对象的影响，因此其预测结果更为科学。
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应用一次指数平滑法进行预测，平滑系数a选择很关键，a取值不同，预测结果就不同。
一般原则是：①对于有较明显趋势变动的时间数列，a应取较大值，即a 0.6，主要是为了突出近期数据对预测值的影响。
②对水平型的时间数列，a应取较小值，即：a 0.3，因为水平型的数据，变动趋势不明显，随机因素多。
③对于介于上述两者之间的时间数列，a应取中间值，即0.3 ≤ a ≤ 0.6。
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应用一次指数平滑法，必须确定初始平滑值 ，它不能从公式中求得。当时间数列的数据资料较多时，如n≥10，初始值对以后预测值的影响甚小，可直接选用第一期实际观察值作为初始值；反之，如果时间数列的数据资料较少，如n 10，则因初始值对以后预测值的影响较大，这时一般采用最初几期的实际值的算术平均数作为初始值。
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［例］某企业近10个季度销售洗发露资料如下表所示，请用一次指数平滑法预测下季度洗发露销售量。
季度
销售量
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50 52 51 50 57 64 68 67 69 75
50.0 50.0 50.2 50.3 50.3 51.0 52.3 56.8 57.8 58.9 60.5
50.0 50.0 51.2 51.1 50.4 54.4 60.2 64.9 66.0 67.9 72.1
0 2 0.8 0.3 6.7 13 15.7 10.2 11.2 16.1
0 2 0.2 1.1 6.6 9.6 7.8 2.1 2.9 7.1
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具体步骤如下：　
①确定平滑系数a，本例取0.1和0.6；
②确定初始平滑值。由于本例n=10，故
③依此计算一次指数平滑值；
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　　当 时，
　　
　　　　
……　
　　
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当 时，
　
　　　
……
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④比较 和 时，预测误差大小：当 时，绝对误差有
　　
　　　　……
平均绝对误差 　　　　
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同样计算出a=0.6时的平均绝对误差，并与a=0.1的比较，a=0.6平均绝对误差小。所以，选择a=0.6。
⑤计算下一季度预测值：
　　
应用一次指数平滑法预测，取值一般应从0.1开始，0.2，0.3等 逐个计算其预测值，分析预测误差，从中确定预测误差最小的a值，并以此确定最后预测值。
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从计算中可以发现，计算每一个平滑值时，只需用一个实际观察值和一个上期的平滑值就可以，不需要贮存过多数据，计算过程简便，计算工作量不会过大。
但其也有明显不足：它只能预测未来一期现象的表现，有其局限性。此外，指数平滑预测模型中的第一个平滑值和平滑系数，只是根据经验确定，尚无严格的数学理论加以证明。
一次指数平滑法无明显趋势变动的现象进行预测是适合的，但对于有趋势变动的现象则不适合。当现象存在明显趋势时，不论值取多大，其平滑值也会滞后于实际观察值。
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该方法的基本思想是对时间数列运用理
论知识、实际经验进行判断，在确定其性质
和特点的基础上，构造一个数学方程来描述
长期趋势。
线性（直线）模型
非线性（曲线）模型
4、数学模型法
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（1）确定趋势方程的形式：利用散点图判断数列，大致呈直线趋势，则可以建立直线趋势方程。
线性（直线）模型
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Yc 时间数列的趋势值
a、b 直线趋势方程的截距、斜率
t 时间标号
（2）半数平均法（分段平均法）：将数列分为两个部分，分别计算其时间和变量值的平均数，得到（T1，Y1）（T2，Y2）两个坐标，代入直线两点式方程，则得到直线趋势方程。
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由
求导数可得
3、确定趋势方程的参数 ——最小二乘法
条件
举例
趋势方程计算表
简捷法
若数列为奇数项，设中间序号t=0，则数列的时间序号分别为 ……-3，-2，-1，0, 1, 2, 3,…
若数列为偶数项，时间序号为 … -5，-3，-1 1，3，5，…
若使 t=0，则可以得到 a、b 的简算公式：
表15 增加值资料
如何设置时间序号才能保证 t=0
表16 增加值资料
如何设置时间序号才能保证 t=0
简捷法计算
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2003年，t=7，原点为1997年
yc = 80.23+5.32 7=117.47(万元)
2003年，t=7，原点在1999年与2000年中间
yc= 98.85+2.66 7=117.47(万元)
（3）利用趋势方程预测
如要预测2003年的增加值，则根据前面的方程可得：
预测的结果完全一致
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非线性（曲线）模型
（一）指数趋势线的拟合
Yc＝abt
首先将上式转换为直线方程，取对数
lnY=lna+tlnb，令
即可转化为直线方程Y’=a’+b’t然后利用最小平方法求解参数。见下例：
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t2
Y
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
3.97
4.23
4.56
4.86
5.14
5.45
21
91
––
28.26
－
53
72
96
129
171
232
3.97
8.55
13.69
19.47
25.71
32.68
序号t
1995
1996
1997
1998
1999
2000
53.79
71.89
96.07
128.39
171.59
229.32
年份
合计
指数趋势函数计算表 （单位万件）
104.04
趋势值Yc
某单位产品产量如上表所示，试预测2001年的产量：
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则得到：a=40.246，b=1.3364
Yc ＝ abt = 40.246×1.3364t
预测2001年的产值为：
40.246 ×1.33647 = 306.39（万件）
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（二）二次曲线趋势的拟合
Yc＝a+bt+ct2
同样利用最小平方法的条件，
求导数可以得出下面的方程：
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为了简便运算，同样可以假设：
则方程简化为：
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例题：某产品需求量的抛物线方程计算表： 单位：万件
年份 t y ty t2 t2 y t4
2003 -3 150 -450 9 1350 81
2004 -2 170 -340 4 680 16
2005 -1 194 -194 1 194 1
2006 0 222 0 0 0 0
2007 1 255 255 1 255 1
2008 2 292 584 4 1168 16
2009 3 333 999 9 2997 81
合计 0 1616 854 28 6644 196
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由上表可知：
用消元法解得：a=222.9，b=30.50，c=2.14
代入方程可得： Yc＝222.9+30.5t+2.14t2
代入简化方程，即可以计算未知参数。
如果将这条趋势线向外延伸，可以预测2010年的需求量：即当t=4时，
Yc＝222.9+30.5×4+2.14×42=378.53（万件）
小结
根据资料分析数列的趋势线：
1、直线趋势：数列各值的逐期增长量大致相等时。Yt=a+bt，Yt-1=a+b（t-1）
Yt—Yt-1=b
2、指数曲线趋势：数列的环比发展速度大致相等时。利用公式Yc ＝ abt 可知：
Yt/Yt-1 = abt/abt-1 = b
3、二次曲线趋势：数列的二次增长量（即逐期增长量的逐期增长量）大致相等时。
（也可以通过散点图确定）
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t yi 一阶差分yi - yi-1
1
2
3
4

n a + b
a + 2b
a + 3b
a + 4b

a + nb
b
b
b

b
*
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t yi yi / yi-1
1
2
3
4

n ab
ab2
ab3
ab4

abn
b
b
b

b
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t yi 一阶差分 二阶差分
1
2
3
4

n a + b + c
a + 2b + 4c
a + 3b + 9c
a + 4b + 16c

a + nb + n2c
b+3c
b+5c
b+7c

b+(2n-1)c 2c
2c

2c
*
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三、季节变动的测定
研究季节变动，就是为了认识这些变动的
规律性，以便更好地安排、组织社会生产与
生活。
测定季节变动的方法可分为两种；
（一）是不排除长期趋势的影响，直接根据
原时间数列来测定，
（二）是依据消除长期趋势后的时间数列来
测定。
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（一）简单平均法
计算步骤如下:
1、分别就每年各月（季）的数值计算月（季）的
平均数；
2、将各年同月（季）的数值加总，计算若干年
内同月（季）的平均数；
3、根据若干年内每个月（季）的数值，计算总
的月（季）平均数；
4、将若干年内同月（季）平均数与总的月（季）
平均数相比，即求得用百分数表示的各月（季）
的季节比率，又可以称为季节指数。
某商店某商品销售量的季节变动分析 单位：件
年份
春季
夏季
秋季
冬季
平均
1997年
3000
12000
6000
1200
5550
1998年
3500
13500
7000
1600
6400
1999年
3800
15000
8500
2100
7350
2000年
4200
17000
9300
2500
8250
2001年
4800
19500
10200
2900
9350
平均数
3860
15400
8200
2060
7380
季节指数
52.30
208.67
111.11
27.91
400.00
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在上表中，计算五年所有20个季度的总
平均数为7380，再用每个特定季度的平均
数除以7380，就可得该季度的季节指数。
从这一结果可以看到，所谓季度指数，
是指该季节的某一现象数值，与全年的平
均值相比所得的比值。为了避免偶然因素
对季度指数的干扰，要使用多个年份的资
料来进行平均处理，从而获得一个较为稳
定的指数。
*
*
（二）趋势剔除法
其核心在于充分考虑了长期趋势对于时间数列
的影响。
具体步骤为：
1、利用前面的方法，求出对应各季的趋势值；
2、以各季的实际数量与趋势值相除，获得各季
的季节变化情况；
3、将各年的同一季节情况进行平均，得各季未
修正指数；
4、进行指数修正。
*
*
仍以前一小节的案例来进行计算，
首先我们使用移动平均法，计算各季度的
趋势值。为了使计算结果中不残留季节影响，
应当使周期长度与季节变动的实际周期长度
相一致，在本例中，应使用4个季度作为移
动平均周期（如果使用月度数据，则应使用
12个月作为移动平均周期）。
根据上一节的知识，当移动平均周期为偶
数时，需要进行两次移动平均。
年份
季节
真实值
一次移动平均
二次移动平均
季节变化
1997年
春季
3000
　
　
　
夏季
12000
　
　
　
秋季
6000
5550
5612.5
106.90
冬季
1200
5675
5862.5
20.47
1998年
春季
3500
6050
6175
56.68
夏季
13500
6300
6350
212.60
秋季
7000
6400
6437.5
108.74
冬季
1600
6475
6662.5
24.02
1999年
春季
3800
6850
7037.5
54.00
夏季
15000
7225
7287.5
205.83
秋季
8500
7350
7400
114.86
冬季
2100
7450
7700
27.27
2000年
春季
4200
7950
8050
52.17
夏季
17000
8150
8200
207.32
秋季
9300
8250
8325
111.71
冬季
2500
8400
8712.5
28.69
2001年
春季
4800
9025
9137.5
52.53
夏季
19500
9250
9300
209.68
秋季
10200
9350
　
　
冬季
2900
　
　
　
*
*
真实值与趋势值进行比较，即用第三列
除以第五列，得出的结果如第六列所示。
该列数据即为各个季度的季节变动比率。
为消除个别年份的特殊情况对季度指数
的影响，我们使用若干年同一季度变动情
况的平均值作为最终的计算结果，具体计
算过程如下表。
　
1997年
1998年
1999年
2000年
2001年
未修正指数
修正后指数
春季
　
56.68
54.00
52.17
52.53
53.85
54.07
夏季
　
212.60
205.83
207.32
209.68
208.86
209.71
秋季
106.90
108.74
114.86
111.71
　
110.55
111.01
冬季
20.47
24.02
27.27
28.69
　
25.11
25.22
　
　
　
　
　
　
398.37
400.00
　
　
　
　
　
修正
系数
1.0041
　
计算表：计算平均的季节变动及指数修正
*
*
以各季度的平均值作为最终的季节指数，还需
要进行一次修正。根据各季度的平均数计算的季
节指数之和（上表阴影处）为398.37，而理论上
各季度季节指数之和应当为400。两者之间的差
异，是由于计算过程中的一些误差而造成的。
对指数进行修正的方法是先计算修正系数
再用修正系数乘以各季未修正指数，即得各季的修正后指数，该指数即为最终的季节指数。
*
*
四、循环变动和不规则变动的测定
利用剩余法测定循环变动
剩余法是利用的乘法模式，在时间数列
中一项一项地剔除掉其他因素，最后残余
下来为C。
1、用趋势剔除法求出S，在序列中除掉S
的影响；
2、求长期趋势T，在序列中剔除T；
3、用移动平均法，消除I。
*
*
本章结束

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