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第五章时间数列
第一节 时间数列的概述概述
第二节 时间数列水平指标水平
第三节 时间数列速度指标速度
第四节 时间数列变动因素分析因素
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第一节时间数列的概述
一、时间数列的意义和种类
1、概念：时间数列又称动态数列，它是指某社会经济现象的一系列统计指标值按时间先后顺序加以排列后形成的数列。
因此，时间数列由两部分构成，一部分是反映时间顺序变化的数列，一部分是反映各个指标值变化的数列。
Time series
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【例】
国内生产总值等指标时间数列
年份 GDP（亿元） 年末人口数（万人） 人均GDP（元/人）
1997
1998
1999
2000
2001
2002 74520
78345
82067
89442
95933
102398 123092
124219
125927
126259
127181
128045 6054
6307
6517
7084
7543
7997
时间数列的要素之一：时间t
时间数列的要素之二：变量a
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2、意义 ：
根据历史资料，编制时间数列来研究社会经济现象数量方面的发展变化过程，认识其发展规律并预见它的发展趋势，就是动态分析的方法。
因此，编制时间数列就是计算动态分析指标，以考察现象发展变化的方向和速度，预测现象发展的趋势。同时时间数列分析有助于了解过去经济活动的规律，评价当前，安排未来，所以是社会经济统计的重要分析方法。
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3、种类：
时间数列按其指标表现形式的不同分为三种： （１）绝对数数列 绝对数数列是将总量指标在不同时间上的
数值按时间先后顺序排列形成的数列。它反
映的是现象在一段时间内达到的绝对水平及
增减变化情况。由于总量指标有时期指标和
时点指标，因此，绝对数数列又可分为时期
数列和时点数列。
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所谓时期数列是指由时期指标构成的数
列，即数列中每一指标值都是反映某现象在
一段时间内发展过程的总量。
时期数列具有以下特点：
（１）数列数据资料具有连续统计的特点；
（２）数列中各个指标数值可以相加；
（３）数列中各个指标值大小与所包括的时
期长短有直接关系。
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所谓时点数列是指由时点指标构成的
数列，即数列中的每一指标值反映的是现
象在某一时刻上的总量。
时点数列具有以下特点：
（１）数列指标不具有连续统计的特点；
（２）数列中各个指标值不具有可加性；
（３）数列中每个指标值的大小与其时间
间隔长短没有直接联系。
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（２）相对数数列 相对数数列是将一系列同类相对指标值按
时间先后顺序排列而形成的数列。它反映的
是社会经济现象之间相互联系的发展过程。 （３）平均数数列
平均数数列是将一系列平均指标值按时间
先后顺序排列而形成的数列。它反映的是社
会经济现象总体各单位某标志一般水平的发
展变动程度。
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动态数列的种类
总量指标动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
连续时点数列
间断时点数列
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例如：
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二、时间数列的编制原则 （一）时期长短应该相等 （二）总体范围应该一致 （三）指标的经济内容应该相同 （四）指标计算方法和计量单位应该一致
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第二节时间数列水平指标
一、发展水平
1、概念：
发展水平它反映社会经济现象在各个时
期所达到的规模和发展的程度。又称发展
量。发展水平既可以表现为总量指标，也
可表现为相对指标或平均指标。发展水平
实际就是动态数列中的每一项具体数值。
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2.发展水平的表示：
若以：a0、a1、a2、a3、… 、an-1、an 分
别代表动态数列中的每一个数值，则：
a0、a1、a2、a3、… 、an-1、an为数列中的发
展水平，其中a0为第一年的发展水平； a1为
第二年的发展水平；an为第n+1年的发展水
平。根据数列中a值所在的不同位置，其值
分别被称为最初水平、中间水平和最末水平。
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报告期水平和基期水平。研究的时期
水平为报告期水平，用以对比的时期水平
为基期水平。 a0 为基期水平；a1为报告期
水平。 发展水平的表述：发展水平在文字
上习惯用“增加到”、“增加为”、“降
低到” 、“降低为”表示。
处在第一位的a0值为最初水平，a1、a2、
a3、 a4 、… 、an-1 项为中间水平，an
为最末水平。
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平均发展水平又称序时平均数（动态平均数）。它是动态数列中各项发展水平的平均数，反映现象在一段时期中发展的一般水平。
序时平均数与一般平均数既有共同之处又有区别，其共同点是：它们都是将各个变量值差异抽象化。
二、平均发展水平
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其区别是：
① 两者所说明的问题不同：序时平均数是从动态上表明同类社会经济现象在不同时间的一般水平；一般平均数是从静态上表明同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。
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②所需资料不同：序时平均数是根据时间数列计算的，而一般平均数是根据变量数列计算的。
③计算方法不同：序时平均数是根据不同时期的指标数值和时期项数计算的；一般平均数是根据同一时期的标志总量和总体单位总量计算的。
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平均发展水平的计算有以下几种方法：
(1)由绝对数数列计算序时平均数
由于总量指标动态数列分为时期数列和
时点数列， 而形成以下几种计算方法：
①由时期数列计算：
计算公式
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例： 我国1996－2001年彩色电视机产量单位：万台
求1996－2001年彩电的平均产量。
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001
产量 2538
a1 2711
a2 3497
a3 4262
a4 3936
a5 3967
a6
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②由时点数列计算
时点数列有连续时点数列和间断时点数
列之分，其计算方法也不相同。
连续时点数列：即按日（天）登记的资料
间隔不相等的连续时点数列计算公式
间隔相等的连续时点数列计算同时期数列
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某商店2011年6月下旬营业员人数资料：
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
人数 76 79 80 78 80 77 81 84 83 82
该店的平均营业员人数为：
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某企业2011年6月职工人数资料如下表：
日期 1日 9日 14日 25日
人数 1200 1240 1220 1230
该企业的平均职工人数为：
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在间断时点数列的条件下计算又有两种情况：若间断的间隔相等，即间隔相等的间断时点数列，先计算相邻两个时点之间的序时平均数，然后根据这些平均数，再用简单算术平均法计算整个研究时间的序时平均数采用“首末折半法”计算。公式为：
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若间断的间隔不等，先计算相邻两个时点之间的序时平均数，然后根据这些平均数，再用间隔长度加权后求和，然后除以总的间隔长度。公式为：
二、平均发展水平
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[计算公式小结]
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（2）由相对数数列或平均数数列计算序时平均数　
由于相对数数列或平均数数列一般是
由两个联系密切的绝对数时间数列相应项
对比而形成的。由于各个相对数的分母不
同，不能直接相加来计算序时平均数，因
此其计算序时平均数的方法也是由总量指
标计算序时平均数的方法派生出来的。
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具体方法为：先根据资料分别计
算出所对比的两个数列分子和分母
的序时平均数，然后将两个序时平
均数进行对比，从而得到相对指标
或平均指标动态数列的序时平均。
基本公式为：
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式中： 代表相对指标或平均指标动态数列 的序时平均数；
代表分子a数列的序时平均数；
代表分母b数列的序时平均数；
ａ数列和ｂ数列既可以是时期数列也可以是时点数列，不同的情况使用的具体方法也有所不同。
二、平均发展水平
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具体计算的类型如下：
① a数列和b数列都是时期数列
【例】某厂第二季度有关资料如下。试据此求该厂第二季度平均的计划完成程度。
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②a数列和b数列都是时点数列
所用的基本计算公式仍是：
由于时点数列可分为如下两大类四小类，因此理论上可以推导出十六种具体的计算方法。如：a和b都是1、 a和b都是2、 a和b都是3、
a和b都是4、 a是1，b是2、 a是1，b是3等等。
时间数列
连续时点数列
间断时点数列
间隔相等的——1
间隔不等的——4
间隔不等的——2
间隔相等的——3
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在以上十几种情况种中，有的常用到，有的不常用到，下面我们选择几种来看看是怎么计算的。 第一种： a和b都是3【例】某企业职工人数的资料如下
试计算该企业第一季度生产工人数占全部职工人数的平均比重。
日期 1月1日 2月1日 3月1日 4月1日
生产工人人数(a) 942 948 991 1025
全部职工人数(b) 1256 1264 1270 1281
生产工人占全部职工(%)(c) 75 75 78 80
先计算 生产工人的序时平均数：
再计算 全部职工数的序时平均数：
则该企业第一季度生产工人数占全部职工人数的平均比重 为：
由以上的计算过程，我们可以推导出此种情况下更简便的计算公式：
显然应用这个公式时不必单独计算 和
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第二种： a和b都是4
计算公式为：
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例某企业职工人数的资料如下
试计算该企业该年度生产工人数占全部职工人数的平均比重。（请同学们自己计算）
日期 1月1日 5月31日 7月1日 12月31日
生产工人人数(a) 942 948 991 1025
全部职工人数(b) 1256 1264 1270 1281
生产工人占全部职工(%)(c) 75 75 78 80
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第三种： a和b都是1 计算公式为：
第四种： a和b都是2 计算公式为：
同样，我们可以推导出其他情况的公式。
③ a数列和b数列一个是时期数列一个是时点数列
所用的基本计算公式仍是：
四种时点数列加上时期数列，理论上具体的计算方法多达二十多种，分析过程同上述讲过的内容。
例：某企业总产值和职工人数的资料如下：
月份
3
4
5
6
月总产值（万元）
1150
1170
1200
1370
月末职工人数（千人）
6.5
6.7
6.9
7.1
试计算该企业第二季度平均每月全员劳动生产率
解:根据公式
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(万元)
(千人)
第二季度月平均全员劳动生产率为：
(万元/千人)
=1833.3(元/人)
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根据平均数时间数列计算序时平均数：
①由静态平均数时间数列计算序时平均数
静态平均数时间数列是由两个绝对数时
间数列相应项对比形成的，分子数列是标
志总量数列，分母数列是总体单位总量数
列，因此此种时间数列序时平均数的计算
方法与相对数时间数列的序时平均数计算
方法是一样的。
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②由序时平均数时间数列计算序时平均数
计算方法：一般是直接将各项序时平均数相加而除以项数即可。
计算公式为：
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例：某商店如下资料：
计算平均每季度的平均储存额。
解：由公式
一季度 二季度 三季度 四季度
平均商品
储存额(万元) 100 120 150 230
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由以上可以看出：根据平均数时间数
列计算序时平均数实际上是在多个短
期平均数基础上求得的一个较长时期
内的平均数，是在计算一次平均数的
基础上再求得的二次平均数。
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平均发展水平
序时平均方法 总量指标 时期数列 简单算术平均
时点数列 连续时点 间隔相等 简单算术平均
间隔不等 加权算术平均
间断时点 间隔相等 两次简单平均
间隔不等 先简单后加权
相对指标、平均指标 视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等
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三、增长量
1、增长量的含义
增长量是说明社会经济现象在一定时期内
所增长的绝对数量，它是报告期水平与基期水
平之差，反映报告期比基期增长的水平。
计算公式为：
增长量＝报告期水平－基期水平
增长量的计算结果可能是正数，也可能是
负数。正数表示增加或增长，负数表示减少或
降低。
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2、逐期增长量和累积增长量
计算增长量时，根据采用的基期不同，可
以将其分为逐期增长量和累积增长量
⑴逐期增长量是指报告期水平与前一期水
平之差，它表明本期比上一期增长的绝对量，
即逐期增加的数量。
如果用符号a0、a1、a2、 a3、... an-1 、an
表示时间数列，则逐期增长量指标表示如下：
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⑵累积增长量是指报告期水平与某一固定
时期(作为基期)水平之差，它表明本期比某
一固定时期增长的绝对数量，也即说明在某
一段较长时期内总的增长量。
如果用符号a0、a1、a2、... an-1 、an表
示一个时间数列，则累积增长量指标可用公
式表示如下：
公式中a0既是最初水平又是固定的基期。
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⑶逐期增长量和累积增长量的关系：
二者的关系是：逐期增长量之和等于
累积增长量，连续的累积增长量之差等
于相应的逐期增长量。公式表示为：
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3、年距增长量
在实际工作中，为消除季节变动的
影响，还经常计算年距增长量指标，它
是本期水平与上年同期水平之差。用公
式可表示如下：
年距增长量＝本期水平－去年同期水平
例：某地今年第一季度对外贸易进出
口总额为360万美元，去年第一季度为
300万美元，则：
年距增长量＝360－300＝60万美元
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四、平均增长量
平均增长量是说明社会经济现象在一定时
期内平均每期增长的数量，从广义上说，它也
是一种序时平均数，即是逐期增长量时间数列
的序时平均数。
其计算公式为：
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例：1996－2000年某产品产量资料如下，试计算增长量和平均增长量指标。
年 份 1996 1997 1998 1999 2000
水泥产量 49119
a0 51174
a1 53600
a2 57300
a3 59700
a4
增长量 逐期 － 2055 2426 3700 2400
累积 － 2055 4481 8181 10581
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第三节 时间数列的速度指标
一、发展速度
1、发展速度指标的含义
发展速度是反映社会经济现象发展程度的
相对数，是两个不同时期发展水平对比的结
果，用来说明报告期水平已发展到基期水平
的若干倍或百分之几。计算公式为：
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2、定基发展速度和环比发展速度
定基发展速度和环比发展速度之分是由
于计算发展速度指标时所采用的基期不同。
⑴定基发展速度是报告期水平与某一固
定基期水平（通常为最初水平）之比，表明
某种社会经济现象在较长时期内总的发展速
度。用公式表示为：
*
*
如果用符号a0、a1、a2、... an-1 、an
表示一个时间数列，那么定基发展速度
用符号可表示如下：
第三节 时间数列的速度指标
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⑵环比发展速度是报告期水平与前一时期
水平之比，表明现象逐期的发展速度
用公式表示为：
如果用符号a0、a1、a2、... an-1 、an表示一个时间数列，那么环比发展速度用符号可表示如下：
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⑶二者的关系
①定基发展速度等于环比发展速度的连
乘积。用符号表示为：
②两个相邻时期的定基发展速度之比，等于它们的环比发展速度，即：
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例：有以下资料
根据上述资料观察定基和环比发展速度的算法，并提取相关数据验证二者的关系。
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3、同比发展速度
简单地说，同比发展速度的“同比”指的是同时期相比，也就是本年（报告期年份）的某季度某月或指定的某个时间的发展水平与去年相同的这个时间的发展水平之比。有时也称为“年距发展速度”。
计算公式：
*
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计算同比发展速度主要也是为了消除季节性因素的影响。见下例：
例：某地今年第一季度对外贸易进出口
总额为360万美元，去年第一季度为300万美元，则：
同比（年距）发展速度 = 360/300=120％
第三节 时间数列的速度指标
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二、增长速度
1、增长速度指标的含义
增长速度是表明社会经济现象增长程度
的相对指标，它是增长量与基期水平对比的
结果。 计算公式为：
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发展速度说明的是报告期水平为基期水
平的多少倍或百分之几，增长速度说明的
是报告期水平比基期水平增加了多少倍或
减少了百分之几。发展速度总是正的，而
增长速度则有正有负，分别表示正增（增
长程度），和负增长（降低程度）。
第三节 时间数列的速度指标
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2、定基增长速度、环比增长速度和同比增长
速度
由前面发展速度的分类，相应可以得到以
上三种增长速度。
①定基增长速度是累积增长量与某一固定
基期水平之比的相对数，反映的是现象在较长
时期内总的增长程度。
*
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定基增长速度是各报告期增长水平
同某一固定基期水平对比，说明现象
在较长时期内发展的总速度。
第三节 时间数列的速度指标
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②环比增长速度是逐期增长量与前一期发展
水平之比的相对数，表明现象逐期增长的程度。
计算公式为：
第三节 时间数列的速度指标
*
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③同比增长速度是同期（年距）增长量与去
年同期发展水平相对比的相对数。
计算公式为：
例：某地今年第一季度对外贸易进出口总额为360万美元，去年第一季度为300万美元，则：
同比（年距）增长速度＝360/300＝120％－1＝20％
第三节 时间数列的速度指标
*
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（三）增长速度指标与增长量指标的联合
分析——增长百分之一的绝对值：
主要是分析增长速度变化±1％时，相对
应的增减量的变化值是多少，计算这样一个
数据主要是为了解决水平指标和速度指标在
分析现象发展中可能会出现的矛盾和不全面
的问题。
第三节 时间数列的速度指标
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第三节 时间数列的速度指标
注：增减1％也叫做增减一个百分点，因此增加5.6％叫做增加5.6个百分点。
环比增减百分点
计算公式为：
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三、平均发展速度
平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度。平均速度是各个时期环比速度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。
（1）平均发展速度指标的含义
平均发展速度是对各期环比发展速度求平均的结果，表示现象逐期发展的平均速度；从广义上来说，它也是一种序时平均数。
第三节 时间数列的速度指标
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第三节 时间数列的速度指标
由于环比发展速度是动态相对数，因此
计算它的序时平均数不能用前面讲到的方
法，实际工作中，主要采用几何平均法
（水平法）和方程法（累计法）来计算。
几何平均法和方程法两种方法的数理依
据不同，具体计算和应用场合也不一样，
重点掌握前者。
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（ 2）平均发展速度指标的计算
①几何平均法（水平法）
数理依据：前面已提到过几何平均数。亦
可用式子表示如下）
n个
*
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具体计算：
由上述2式得
由定基发展速度和环比发展速度之间得关系可得
第三节 时间数列的速度指标
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第三节 时间数列的速度指标
由于 是整个时期得总速度，因此
计算平均发展速度时，根据掌握的资
料不同可选用上述3、4、5公式中任何一
个来计算。具体情况可从公式中看出。
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如何开高次方？
（用计算器、查表、对数方法）
具体应用场合：在实践中，如果用水平法
制定长期计划，则要求用几何平均法计算其
平均发展速度，因为几何平均法着重考察最
末期水平。按此平均发展速度发展，可以保
证在最后一年达到规定的水平。
第三节 时间数列的速度指标
*
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年份 国内生产总值
指数（1978年=100） 年份 国内生产总值
指数（1978年=100）
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988 107.6
116.0
122.1
133.1
147.6
170.0
192.9
210.0
234.3
260.7 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998 271.3
281.4
307.6
351.4
398.8
449.3
496.5
544.1
592.0
638.2
求：1978~1988年间国内生产总值的平均发展速度。
已知：R ，n=10
即：1978~1988年间国内生产总值的平均发展速度为110.06%。
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*
普查年份 人口数（万人）
1953
1964
1982
1990
2000 58260
69122
100397
113051
129533
中国 5 次人口普查数据
已知：an、a0、n
*
*
②方程法（累计法）
数理依据：由于
即可得下面的方程：
解此方程所得得正根就是要计算得平均发展速度。
依次为：
*
*
第三节 时间数列的速度指标
具体应用：在实践中，如果用累计法制
定长期计划，则要求用方程法计算其平均
发展速度，因为方程法着重考察累计水平。
按此平均发展速度发展，可以保证计划内
各期发展水平的累计达到计划规定的总数。
要能区分两种方法的不同。
*
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四、平均增长速度
1、平均增长速度的含义
平均增长速度是各期环比增长速度的
序时平均数，它表明现象在一定时期内逐
期平均增长变化的程度。
第三节 时间数列的速度指标
*
*
第三节 时间数列的速度指标
2、平均增长速度的计算
计算公式：
平均增长速度＝平均发展速度－１（或100％）
当平均发展速度大于或小于1时，平均增
长速度有正负，分别表示逐期平均递增程
度和平均递减程度。
*
*
例1.某地区2006—2011年粮食产量资料如下:
年 份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
粮食产量(万吨)
200





累计增长量(万吨)
-

31
40


环比发展速度(%)
-
110


105
93
*
*
要求:(1)利用指标间的关系将表中所缺
数字补齐;
(2)计算该地区2006年至2011年这五
年期间的粮食产量的年平均增长量以及按
水平法计算的年平均增长速度
第三节 时间数列的速度指标
*
*
解：（1）计算结果如下表：
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
粮食产量（万吨）
200
220
231
240
252
234.4
累计增长量（万吨）
-
20
31
40
52
34.4
环比发展速度（%）
-
110
105
103.9
105
93
(2)年平均增长量=34.4÷5=6.88(万吨)
年平均增长速度=
=0.032或3.2%
*
*
例2.某地区粮食产量2006-2008年平均发展
速度是103%，2009-2010年平均发展速度是
105%，2011年比2010年增长6%，试求2006-
2011年的平均发展速度。
解：平均发展速度 =
=
*
*
例3.已知2010年某地生产总值为14300
亿元，若以平均每年增长5%的速度发展，
到2020年国民收入生产额将达到什么水
平？
解：已知
则：
（亿元）
*
*
五、速度与水平指标的结合运用
现象发展的水平分析是现象发展速度
分析的基础，速度分析是水平分析的深入
和继续，把它们结合起来运用，就能够对
现象发展变化的规律做出更加深的分析。
(1)要把发展速度和增长速度同隐藏其
后的发展水平结合起来进行分析。
第三节 时间数列的速度指标
*
*
这种分析可采用增长１％的绝对值指标。
它是以绝对增长量除以相应的百分数表现
的增长速度，即前期水平的百分之一。
(2)要把平均速度指标与动态数列发展水
平指标结合运用。平均速度指标是环比速
度的代表值，如果动态数列中各期水平差
异大，平均速度就掩盖了它们的差别，这
时需要把各期水平和速度结合起来应用。
第三节 时间数列的速度指标

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