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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
第六章　平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1.逻辑推理：正、余弦定理及三角形的面积公式的简单推导．
2.数学运算：利用正、余弦定理求解三角形的边、角等问题．
3.数学建模、数学运算：利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题．
01
必备知识　落实
知识点一　余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的_____，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的__________________
符号语言 a2＝______________________
b2＝______________________
c2＝______________________
平方
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C

余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．
3

已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
√
1或2
知识点二　余弦定理的推论
1．推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝
cos B＝_______________，
cos C＝_______________．
2．解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
元素
√
√

已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题．
√
02
关键能力　提升
判断三角形形状的基本思想和两条思路


　　 　　 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.
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03
课堂巩固　自测
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04
课后达标　检测
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8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：因为b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac，所以a2＋c2＋ac－b2＝0.
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13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，则△ABC的形状一定是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
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解析：在△ABC中，因为A＝60°，2a＝b＋c，
所以(b＋c)2＝b2＋2bc＋c2＝4a2.
又b2＋c2－a2＝2bc cos A，
所以3a2－2bc＝2bc cos A＝bc，
所以a2＝bc，所以(b－c)2＝0，
则b＝c，所以a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．
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16中小学教育资源及组卷应用平台
6．4.3　余弦定理、正弦定理
学习指导 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1.逻辑推理：正、余弦定理及三角形的面积公式的简单推导． 2.数学运算：利用正、余弦定理求解三角形的边、角等问题． 3.数学建模、数学运算：利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题．
第1课时　余弦定理
知识点一　余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A
b2＝a2＋c2－2ac__cos__B
c2＝a2＋b2－2ab__cos__C
余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．
　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝________．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．
　(变条件)将本例(2)中的条件a＝，c＝2，cos A＝改为a＝2，c＝2，cos A＝，求b为何值？
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　)
A． B．6
C．7 D．8
2．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝________．
知识点二　余弦定理的推论
1．推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，
cos C＝．
2．解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B．
C． D．
考点　判断三角形的形状
　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
判断三角形形状的基本思想和两条思路
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
1.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　)
A． B．8
C．10 D．7
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，则△ABC是(　　)
A.等腰直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
4．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形．
[A　基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c＝(　　)
A．4 B．
C．3 D．
3．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
5．在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　)
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________．
8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
[B　能力提升]
11．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，则△ABC的形状一定是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
14．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
[C　拓展冲刺]
15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．(，1) D．[，1)
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
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6．4.3　余弦定理、正弦定理
学习指导 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1.逻辑推理：正、余弦定理及三角形的面积公式的简单推导． 2.数学运算：利用正、余弦定理求解三角形的边、角等问题． 3.数学建模、数学运算：利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题．
第1课时　余弦定理
知识点一　余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A
b2＝a2＋c2－2ac__cos__B
c2＝a2＋b2－2ab__cos__C
余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．
　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝________．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．
【解析】　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，
因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3.
【答案】　(1)　(2)3
　(变条件)将本例(2)中的条件a＝，c＝2，cos A＝改为a＝2，c＝2，cos A＝，求b为何值？
解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.
所以b的值为2或4.
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　)
A． B．6
C．7 D．8
解析：选A.因为A＋C＝，
所以B＝π－(A＋C)＝.
因为a＝3，c＝2，
所以由余弦定理可得b＝
＝＝.
2．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝________．
解析：因为AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得1＝b2＋3－3b，
解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2.
答案：1或2
知识点二　余弦定理的推论
1．推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，
cos C＝．
2．解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)因为a＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.
(2)根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k>0，且最大角为C，所以cos C＝＝＝.故选A.
【答案】　(1)C　(2)A
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.因为c所以最小角为角C.
所以cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，
所以C＝.故选B.
考点　判断三角形的形状
　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
【解】　由a cos B＋a cos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，
所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
判断三角形形状的基本思想和两条思路
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选D.在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.
1.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝＝＝，
又A为△ABC的内角，
所以A＝60°.
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　)
A． B．8
C．10 D．7
解析：选D.由余弦定理得c＝
＝＝7.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，则△ABC是(　　)
A.等腰直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为a＝1，b＝2，C＝，
由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×＝3.
因为a2＋c2＝b2，则△ABC为直角三角形．故选D.
4．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形．
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
因为0°所以A＝120°，
故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时，cos A＝＝，
因为0°所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.　
[A　基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
解析：选B.由余弦定理，得cos A＝＝＝，又0°2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c＝(　　)
A．4 B．
C．3 D．
解析：选D.cos C＝－cos (A＋B)＝－.
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝.
3．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C.b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
解析：选A.因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理，得cos B＝＝＝，
又0°5．在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选A.cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
6．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　)
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
解析：选AB.由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________．
解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
答案：1
8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：因为b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac，所以a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝.
答案：
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
解：因为sin C＝，且0所以C＝或C＝.
当C＝时，cos C＝，
此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c＝2.
当C＝时，cos C＝－，
此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所以c＝2.
综上所述，c的值为2或2.
[B　能力提升]
11．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，
由b12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
解析：选A.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
所以ab＝.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，则△ABC的形状一定是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.在△ABC中，因为A＝60°，2a＝b＋c，
所以(b＋c)2＝b2＋2bc＋c2＝4a2.
又b2＋c2－a2＝2bc cos A，
所以3a2－2bc＝2bc cos A＝bc，
所以a2＝bc，所以(b－c)2＝0，
则b＝c，所以a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．
14．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，
又0°(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A.
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
[C　拓展冲刺]
15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．(，1) D．[，1)
解析：选D.由cos C＋cos A＝1及余弦定理，得×＋×＝＝1，所以b2＝ac，所以cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，又B为三角形的内角，所以≤cos B<1.故选D.
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
解：(1)因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以2cos A＝1，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，
所以()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.　①
又因为b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
所以所以b＝c＝，
所以△ABC为等边三角形．
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