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,平面向量中的最值与范围
[学生用书P32]
　　　　　　　　　　　　　　
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值．
类型一　向量数量积的最值与范围
　在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．[0，1]
类型二　向量模的最值与范围
　(1)已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是________．
(2)向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________．
类型三　向量夹角的最值与范围
　已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
类型四　向量线性运算中的最值与范围
　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值．
1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
2．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为(　　)
A．5 B．5
C．3 D．
3.
如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．9
4．已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈(0，π)，且函数f(x)＝·＋||的最小值为，求实数m的值．
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培优点1　平面向量中的最值与范围
第六章　平面向量及其应用
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值．
√
[3，17]
√

1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
解析：因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a>0，所以0√
√
√
√
(－7，1)∪(1，7)
2
1
D
C
M
-1
A
E
B
2
X
-1
D
C
P
A
B
A
B
D
C
B
N
A
0
M C
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平面向量中的最值与范围
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值．
类型一　向量数量积的最值与范围
　在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．[0，1]
【解析】　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，
设E(x，0)，0≤x≤1.
则M，C，
所以＝，
＝(1－x，1)，
所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.
因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范围是.
【答案】　C
类型二　向量模的最值与范围
　(1)已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是________．
(2)向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________．
【解析】　(1)|||－|||≤||≤||＋||，
即|10－7|≤||≤10＋7，
即3≤||≤17.
(2)|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2
＝|b2|－|b|＋1＝＋≥，
所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值．
【答案】　(1)[3，17]　(2)
类型三　向量夹角的最值与范围
　已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]
≥2[(－)2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夹角的最小值为.
【答案】　C
类型四　向量线性运算中的最值与范围
　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值．
【解】　因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，
所以＝m＋n＝m＋n＝＋n，
由P，B，C三点共线得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝＝＋＋
≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时取等号)，
即＋的最小值为.
1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
解析：选C.因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a>0，所以02．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为(　　)
A．5 B．5
C．3 D．
解析：选D.由题意可得＝(4，3)，＝(1，2)，
则|＋t|＝|(4，3)＋t(1，2)|＝|(4＋t，3＋2t)|＝＝＝，
结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，|＋t|min＝.
3.
如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．9
解析：选D.由图可知x，y均为正，且x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当＝，
即x＝，y＝时等号成立，
则＋的最小值为9.
4．已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.取AC的中点O，连接OB，以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，B，N.
设M(x，0)，－≤x≤，
则＝，＝，
所以·＝－x2－x－＝－－.
因为－≤x≤，
所以当x＝时，·取最小值－，
当x＝－时，·取最大值－，
所以·的取值范围是.故选A.
5．已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析：a＋b＝(5＋λ，6)，a－b＝(5－λ，4)，由题意得，(a＋b)·(a－b)>0，且a＋b与a－b不共线，所以
解得－7<λ<7，且λ≠1，
所以λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7).
答案：(－7，1)∪(1，7)
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈(0，π)，且函数f(x)＝·＋||的最小值为，求实数m的值．
解：因为A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，
所以＝＋＝，
所以·＝1＋sin x＋sin2x.
又＝(sinx，0)，所以||＝sin x，
所以f(x)＝·＋||
＝sin2x＋2m sinx＋1.
设sin x＝t，因为x∈(0，π)，
所以t∈(0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝(t＋m)2＋1－m2.
①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0<－m≤1，即－1≤m<0时，
当t＝－m时，ymin＝1－m2＝，所以m＝－；
③当－m>1，即m<－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，所以m＝－>－1，不合题意．
综上可知，m＝－.
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