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2024年九年级中考数学专题复习：锐角三角函数及其应用训练
一、单选题
1．如图，在中，，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
2．在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且、相交于点O，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一块直角三角尺按如图放置，顶点A的坐标为，直角顶点C的坐标为，，反比例函数过点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若的顶点都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，则的面积等于（ ）
A．12 B．30 C．37.5 D．24
8．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点O为的边上的一点，经过点B且恰好与边相切于点C，若，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），在河的彼岸选择一点A，在点C测得为，点D处测得为，若，则河宽为 m（结果保留根号）．
11．有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，则的值等于 ．
12．今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米．
13．已知点、、、在上，，，．且，则线段的长为 ．
14．如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段、于点M、N，大于的长为半径画弧交于点D，使点A与点D重合，折痕交线段、于点E、F，若，，则 ．
15．如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，．则 ．
16．如图，和两幢楼在同一水平面上．楼高30米．从楼的顶部A测得楼的底部C的俯角为，顶部D的仰角为，则楼的高度是 米．

三、解答题
17．在中，已知，求的长．
18．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点B处测得楼顶A的仰角为，他正对城楼前进31米到达C处，再登上2米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为．求城门大楼的高度；（结果保留整数）（参考数据：，，）
19．如图，为了测量某校教学楼的高，数学兴趣小组的甲同学在处看到楼顶的仰角为，同时乙同学在斜坡上的处看见楼顶的仰角为，若斜坡的坡比，铅锤高度米（点、、在同一水平线上）．求：
(1)________米，________度；
(2)教学楼的高（参考数据：，结果精确到个位）．
20．如图，为的直径，点A、E是上两点，，连接、、、，点B是延长线上一点，连接，．
(1)求证：与相切于点A；
(2)若，求．
(3)在（2）的条件下，若半径为6，求弦的长度．
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参考答案：
1．A
【分析】此题考查三角函数，正确掌握余弦值是解题的关键．
【详解】解：在中，，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，，证明是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，利用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】如图，连接，，
根据题意，得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选B．
3．D
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．过点作轴于点，根据锐角三角函数得到，证明，得到，求出，进而求出点的坐标，即可．解题的关键是求出点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，则：，
∵顶点A的坐标为，直角顶点C的坐标为，
∴，
∵直角三角尺，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数过点B，
∴；
故选D．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数等知识，先证明是直角三角形，再利用正弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故选：B．
5．A
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理得出的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵在中，，，，如图：
∴
∴．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：如图，，，，
，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查平行四边形性质，三角函数．根据题意先画出简图，过点作，利用三角函数值求出的长，即可求出本题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵，，
∴，即：，
∵，
∴的面积为：，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；
根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；
【详解】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质求出，可求出，根据切线的性质得出，然后解直角三角形求出，最后根据求解即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵与边相切，
∴，即，
∴，
∴
．
故选：D．
10．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用用仰角俯角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．
先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】解：∵，
在中，
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程即可得到答案．熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设他下降的高度为米，
∵一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，
∴他滑行的是水平距离为米，
∴，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
13．2或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．分点在劣弧和优弧上两种情况分类讨论，过点作、于点、，连接、，证明，，得到，，利用解直角三角形解题即可．
【详解】解：如图，当点在劣弧上，过点作、于点、，连接、，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
；
如图，当点在优弧上，过点作、于点、，连接、，

，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：2或．
14．
【详解】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，含有30°角的直角三角形的三边关系，熟知翻折的性质是解题的关键．
由题意得为的角平分线，故可得，根据折叠的性质得到，，解直角三角形，即可解答．
【解答】解：如图，设与的交点为G，
由题意，可得为的角平分线，
∴，
∵折叠，使点A与点D重合，
∴，，
∵，
∴，
在中，
．
15．/
【分析】本题考查菱形的性质，求角的正切值，直角三角形的性质，勾股定理．由菱形的性质得到，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由锐角的正切求出．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
【详解】解：如图，过点A作于点E，则四边形是矩形，

∴米，
∴（米），
∵，
∴（米），
∴米，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值．先作于点D，根据直角三角形的性质和锐角三角形函数，即可得到，，进而得出答案．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，
∴，，，
∴．
18．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作垂足为，交于点，根据题意可得：米，，然后设米, 则米,在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】如图: 过点作，垂足为，交于点，
由题意得:米，，，
设米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴(米),
在中, ,
∴米,
∵，
∴，解得：，
(米)，
∴城门大楼的高度约为米．
19．(1)，；
(2)米．
【分析】（）利用坡比的定义可求出；先求出和，再利用角的和差关系即可求出；
（）设， 则，解直角三角形求出，进而得到，由列出方程，解方程即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，作于点，
∵斜坡的坡比，铅锤高度 米，
∴米，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴教学楼的高为米．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证明即可．
（2）根据，结合，得到，得到，结合，，计算即可．
（3）过点O作于点G，连接，交于点F，利用垂径定理及其推论，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切于点A．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
（3）∵，为的直径，，
∴，
解得，，
过点O作于点G，
∴
∵为的直径，
∴是的中位线，
∴，
连接，交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式，熟练掌握垂径定理，勾股定理；中位线定理是解题的关键．
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