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2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明及计算
1．如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
2．如图，在中，四边形为圆内接四边形，为直径，过作交延长线于，．
(1)求证：为切线；
(2)若，，求的半径长．
3．如图，为等腰三角形，点O是底边的中点，腰与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
4．如图，直线经过上的点，并且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)过点作的切线，点为切点（与点不重合）．若，的半径为5，求的长．
5．如图，为的直径，点D为圆上任意一点，过点D作的切线交直径的延长线于点C，过点O作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
6．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与相交于点D，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧的长．
7．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值．
8．如图，为的直径，C为上一点，的弦与直线交于点D，且，平分．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若，，求出的半径．
9．如图，在中，，的平分线交于，过点作交于，以为直径作．
(1)求证：点在上；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的面积．
10．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
11．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
12．如图，在中，内接，连接，作交延长线于点D．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
13．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，．求的长．
14．如图，的直径垂直于弦，过点C的切线与直径的延长线相交于点P，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
15．如图，为的直径，为上一点，，．
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求的长．
16．如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)若于点，交于点，且，，求的长．
17．如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．

(1)求证：是的切线．
(2)若，．求的长．
18．如图，是直角三角形，，点是边上一点，以为直径作交边于点，连接，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的长．
19．如图，在中，，以边为直径作交于点D，过点D作交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，且，则的长为 ．
20．如图，在中，，为的平分线，交于点，的外接圆与边相交于点，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
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参考答案：
1．
【分析】（1）连接，证明，求出，证明，得出是的切线；
（2）设，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
2．(1)见解析
(2)的半径长为5．
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到为的切线；
（2）过作于，根据垂径定理得到，求得，根据矩形的性质得到，于是得到的半径长为5．
【详解】（1）证明：连接，如图，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
∴，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：过作于，
，
，
，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径长为5．
3．(1)证明见详解；
(2)；
【分析】（1）本题考查切线证明，等腰三角形的性质及三角形全等的判定，连接，过作于，证明，即可得到证明；
（2）本题考查等腰三角形的性质及利用扇形的面积公式求不规则图形的性质，根据等腰三角形的性质求出，结合扇形面积及四边形的面积求解即可得到答案；
【详解】（1）解：连接，过作于，
∵为等腰三角形，点O是底边的中点，
∴，，，
∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键．
（1）连接，如图，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由切线长定理得到，在中，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出即可，
【详解】（1）证明：连接，如图，
，，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：直线，是的切线，
，
，，
，
，
，
在中，
，
．
5．(1)证明详见解析
(2)6
【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．
（1）连接，证明，可得证，得出，即可得出是的切线；
（2）设的半径长为r，则，，在中，由勾股定理得，代入即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
（2）设的半径长为r，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即的半径长为6．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查的是切线的判定、锐角三角函数及弧长公式的运用，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）连接．由等腰三角形的性质及圆的性质可得，．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
则，；
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
7．(1)见解析
(2)在边上存在一点使有最小值．的最小值为．
【分析】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，过点作是解题的关键．
（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论；
（2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论．
【详解】（1）证明：过点作与点，如图，
，，
平分，
，，
，
是圆的半径，
是圆的半径，
这样，经过半径的外端，且垂直于半径，
是的切线；
（2）解：在边上存在一点使有最小值．
延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小，
连接，过点作于点，如图，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，，
，，
，
，
在边上存在一点使有最小值．的最小值为．
8．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）本题考查切线的判定，利用“连半径，证垂直”即可证明，连接，根据角平分线性质和等腰三角形性质，证明，再利用得出，即可解题．
（2）本题连接，利用圆周角定理证明，利用勾股定理解出，最后利用相似的性质即可解题．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
为的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
有，解得，
，
故的半径为．
【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰三角形性质、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的性质和判定、熟练掌握相关的性质即可解题．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
（1）连接，由为直角三角形斜边上的中线，得到，可得出点在圆上；
（2）由为角平分线，得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，根据两直线平行同位角相等即可得到为直角，即与垂直，即可确定出为圆的切线；
（3）过作垂直于，由与平行，得到与相似，设，表示出，由相似得比例列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，进而确定出的长，再由与相似，由相似得比例求出的长，以为底，为高，求出面积即可．
【详解】（1）证明：连接，
是直角三角形，，
，
点在上；
（2）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（3）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
设，则，
，，
，，
解得：，
，，
，即，
，
过作，
，
，
，
，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由垂径定理得出，平分，证出，即可得出是的切线；
（2）由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，由圆周角定理得出，求出，得出、、，求出的长，再由三角函数的定义即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵D是的中点，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）连接，则，推出，结合平分可得，推出，结合可得，即可证明直线是的切线；
（2）根据线段是的直径，可得，结合，可得，根据等角对等边可得；
（3）先证是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据可得，再证，可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）证明：∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合运用上述知识点，逐步推导论证是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据角的和差求出，则，根据切线的判定定理即可得解；
（2）延长交于E，连接．根据“两角对应相等的两个三角形相似”推出，根据相似三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据锐角三角函数求出，设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接．

∵为所对圆周角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又为半径，
∴为切线；
（2）解：延长BO交于E，连接．

∵与为同弧所对圆周角，
∴．
又，
∴．
设，则．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，
，，
解得．
∴．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据直径所对的圆周角是直角得，再根据角平分线得，进而得，又由，从而根据平行线的性质得，于是，得，根据切线的判定即可证明结论成立；
（2）如图，过点作于点，先证明．再根据勾股定理得，根据直角三角形的性质得，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明，如图，连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线．
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，
．
在中，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．
14．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接，根据证明，得出，根据切线的判定推出即可；
（2）求出，根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
【详解】（1）连接，

∵是的切线，
∴，
∵是直径，
∴= ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握切线的判定和性质是解答本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键.
（1）连接,由,,得,则,所以， 即可证明为的切线；
（2）由为的直径，得，则，而，所以，则，可求得，由勾股定理得.
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
（2）解：为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．
（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解；
（2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到的长．
【详解】（1）证明：连结
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
又，
∴，
即的长为．
17．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理：熟练的利用以上知识解题是关键.
（1）连接，推出，可得，从而推出，进而得到，再根据切线判定推出即可；
（2）连接，根据锐角三函数可得的长，即可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接．

是的中点，
，
．
，
，
，
．
，
，
是的切线．
（2）解：如图，连接．

为的直径，
．
，
．
，
，
．
18．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、正切函数的定义．
（1）连接，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得，即可得到结论；
（2）利用等角的余角相等推出，即，证明，推出，设，则，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
解得
∴的长为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，根据，得到，进而得到，得到，进而推出，即可得证；
（2）设，分别解，，用含的代数式表示，利用，求出的值，进而得到的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，
设，则：，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，以及锐角三角函数的定义，是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定定理、正切的定义、平行线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等边对等角可得，结合角平分线的定义推出，从而推出，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）由平行线的性质可得，由圆周角定理得出，从而得出，利用三角函数的定义得出，设的半径为，则，由此即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
，即，
设的半径为，则，
解得：，
的半径长为6．
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