资源简介

一线三等角模型
一、同侧型一线三等角
模型解读
图示：
锐角一线三等角
钝角一线三等角
直角一线三等角
【特点】∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD；
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
1. 如图，在等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的长．
第1题图
【变式题】
2. 如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB上的点，连接DF，DE，且∠FDE＝60°，若BC＝6，CE＝BD＝2，求BF的长．
　第2题图
3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的长．
　第3题图
二、异侧型一线三等角
模型解读
图示：
锐角一线三等角
钝角一线三等角
直角一线三等角
【特点】点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD；
当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
4. 如图，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于点E，BD⊥AE于点D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
　第4题图
【变式题】
5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，求EF的长．
　第5题图
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F.求证：AE＝CF.
　第6题图
基础过关
1. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动__________s.
第1题图
2. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
第2题图
3.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为点B，点P在CB上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为__________度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
图①
　
图②
　
图③
第3题图
一线三等角模型
1. 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD＋∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AB＝16.
2. 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BFD＋∠FDB＝120°，
∵∠FDE＝60°，
∴∠CDE＋∠FDB＝120°，
∴∠BFD＝∠CDE.
在△FBD与△DCE中，
，
∴△FBD≌△DCE(AAS)，
∴BF＝DC＝BC－BD＝4.
3. 解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝6.
∵∠EDF＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠B＋∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴＝，
∵AE＝，BD＝BC＝2，
∴BE＝，CD＝4，
∴＝，
∴CF＝.
4. 解：∵∠BAC＝90°，AE⊥CE，BD⊥AE，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴△BAD∽△ACE，
∵AC＝2AB，
∴EC＝2AD，
∵DE＝4AD，
∴AE＝DE＋AD＝5AD，
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC＝＝AD，
∴cos ∠ABD＝cos ∠CAE＝＝.
5. 解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFA＝90°，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＋∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE＝CF＝1，AF＝BE＝4，
∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.
6. 证明：如解图，延长AF至点J，使得AJ＝BE，连接CJ，
由题意得∠BED＝∠ABE＋∠BAE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAJ，
∵∠BED＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠CAJ，
在△ABE和△CAJ中，
∴△ABE≌△CAJ(SAS)，
∴AE＝CJ，∠AEB＝∠CJA，
∵BE∥CF，
∴∠BED＝∠CFA，
∵∠AEB＋∠BED＝∠CFA＋∠CFJ＝180°，
∴∠AEB＝∠CFJ，
∴∠CFJ＝∠CJA，
∴CJ＝CF，
∴AE＝CF.
第6题解图
基础过关
1.【解析】如解图，点D落在BC边上，设点P的运动时间为x s．由题意得AP＝2x cm，BP＝AB－AP＝(6－2x)cm.∵PQ⊥AB，∴∠QPA＝90°.∵△PQD和△ABC都是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP(AAS)，∴BD＝AP＝2x cm.∵BP＝2BD，∴6－2x＝4x，解得x＝1.
第1题解图
2. (1)证明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°，∠C＋∠ABC＝90°.
∵CB⊥BE，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠C＝∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
(2)解：由(1)得△ABC∽△DEB，
∴＝.
∵AB＝8，AC＝6，DE＝4，
∴＝，∴BD＝3.
3. 解：(1)画出图形如解图①，135；
图①
　
图②
第3题解图
【解法提示】∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠ABC＝×(180°－90°)＝45°.又∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABD＝135°.
(2)PA＝PE.理由如下：
如解图②，过点P作PG∥AB交AC于点G.
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△CPG为等腰直角三角形，
∴CG＝CP，∠AGP＝∠C＋∠CPG＝135°.
∴∠PBE＝∠AGP.
又∵AC＝BC，∴AC－CG＝BC－CP，
即GA＝PB.
∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP.
在△PBE和△AGP中，
，
∴△PBE≌△AGP(ASA)，
∴PA＝PE；
【一题多解】 如解图③，连接AE.∵∠ABE＝∠APE＝90°，
∴A，P，B，E四点在以AE为直径的圆上．
∵＝，
∴∠BAE＝∠BPE.
又∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP＝∠BAE.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝45°，
∴∠BAE＋∠BAP＝45°，
即∠EAP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PA＝PE.
第3题解图③
(3)BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
理由如下：
∵点P在射线CB上移动，∴分情况讨论：
①当点P在线段CB上时，
如解图④，过点E作EH⊥CB交射线CB于点H.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBH＝45°，即BE＝HE.
由(2)可知，∠CAP＝∠BPE，PA＝PE，
在△PAC和△EPH中，
，
∴△PAC≌△EPH(AAS)，
∴CP＝HE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(BP＋CP)＝(BP＋BE)＝BP＋BE.
图④
图⑤
第3题解图
②当点P在CB的延长线上时，
如解图⑤，过点E作EI⊥CB交射线CB于点I.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBI＝45°，
即BE＝IE.
同理可证，△PAC≌△EPI，
∴CP＝IE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(CP－BP)＝(BE－BP)＝BE－BP.
综上所述，BA，BP，BE之间的数量关系为BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.

展开更多......

收起↑