资源简介

锐角三角函数及其实际应用
1. 如图为东西流向且河岸平行的一段河道，A，B分别为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河道AB的宽为(　　)
A. a tan 55°米 B. 米 C. 米 D. 米
第1题图
　　　　
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝30°，则sin A＝________，cos A＝________；
(2)若sin B＝，则∠A＝________；
(3)若AC＝12，BC＝5，则tan A＝________；
(4)若sin A＝，BC＝3，则AB的长为________．
3. 为方便行人横过马路，打算修建一座高6 m的过街天桥．如图所示，已知天桥的斜面AB的坡度为1∶1.5，则斜坡AB的长度为________m．(结果保留根号)
第3题图
知识逐点过
考点1 　锐角三角函数
图示 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角
正弦 sin A＝①________
余弦 cos A＝②________
正切 tan A＝③________
考点2 　特殊角的三角函数值
30° 45° 60° 　　　
sin α ④____ ⑤____
cos α ⑥____ ⑦____
tan α ⑧____ 1
考点3 　解直角三角形
概念 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形
直角三角形的边、角关系 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，三边长分别为a，b，c.1. 两锐角关系：∠A＋∠B＝⑨________°；2. 三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；3. 边角关系：sin A＝cos B＝⑩______，cos A＝sin B＝ ______，tan A＝ ______，tan B＝ ______
考点4 　锐角三角函数的实际应用
仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角，如图
坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫坡角，i＝tan α＝，如图
方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)x度，如图，A点位于O点的 ________，B点位于O点的 ________，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
真题演练
命题点1 特殊角的三角函数值
1.sin 30°＝________．
命题点2 锐角三角函数的实际应用
2. 如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是________米(结果保留根号)．
第2题图
3. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
　第3题图
拓展训练
4. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示．
(1)如图②，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β；
(2)如图③，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20 m，求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
　第4题图
基础过关
1. sin 45°＋的值等于(　　)
A. 1 B. C. D. 2
2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的(　　)
A. 南偏西70°方向 B. 南偏东20°方向 C. 北偏西20°方向 D. 北偏东70°方向
第2题图
3.如图，某施工队准备改造某路段的坡度，原坡长AC为40米，原坡度为1∶2，改造后的坡角∠D＝20°，则改造后的坡长AD为(　　)
A. 米 B. 40sin 20°米 C. 米 D. 40sin 20°米
第3题图
4. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C三点都在格点上，则sin ∠ABC＝__________．
第4题图
5. 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约__________m(结果取整数).(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第5题图
6. 如图①是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图②，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18 m．求“龙”字雕塑CD的高度．(B，C，D三点共线，BD⊥AB.结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
图①
　　
图②
第6题图
综合提升
7. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)
　
第7题图
8. 图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图②，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm.
(1)身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别；
(2)身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)
图①
　　
图②
　　
图③
第8题图
锐角三角函数及其实际应用
1. D　【解析】如解图，连接AB，BC，由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan ∠ABC＝tan 55°＝，∴AB＝＝米．
第1题解图
2. (1)，；【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴sin A＝sin 30°＝，cos A＝cos 30°＝.
(2)45°；【解析】∵∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝45°，∴∠A＝90°－45°＝45°.
(3)；【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴tan A＝＝.
(4)5.【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，BC＝3，∴AB＝5.
3. 3　【解析】如解图，过点B作地面的垂线，垂足为C，∵i＝1∶1.5，BC＝6 m，∴＝，∴AC＝9 m，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝3 m，故斜坡AB的长度为3 m.
第3题解图
知识逐点过
①　②　③　④　⑤
⑥　⑦　⑧　⑨90　⑩
　 　 　 北偏东30°方向　 南偏东60°方向
真题演练
1.
2. (15＋15)　【解析】如解图，过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米，可得CE＝BE·tan 45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米，可得AE＝BE·tan 30°＝15米．故教学楼AC的高度为(15＋15)米．
第2题解图
3. 解：如解图，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD是AB边上的中线，也是∠ACB的平分线，
∴AB＝2AD，∠ACD＝∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，AC＝10 m，∠ACD＝50°，sin ∠ACD＝，
∴sin 50°＝，
∴AD＝10sin 50°≈10×0.766＝7.66，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3.
答：A，B两点间的距离约为15.3 m．
　第3题解图
4. 解：(1)β＝90°－α；
【解法提示】由题意知，α与β是直角三角形的两个锐角，∴β＝90°－α.
(2)设气球A离地面的高度是h米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
则DC＝AD＝h,
在Rt△ABD中，∠ABD＝37°，tan ∠ABD＝，
∴BD＝≈＝h.
∴BC＝BD－CD＝h－h＝20，解得h＝60(m).
答：气球A离地面的高度AD约为60 m.
基础过关
1. B　【解析】 sin 45°＋＝＋＝.
2. D　【解析】∵分别以淇淇家和西柏坡为中心的南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．
3. A　【解析】 在Rt△ABC中，AC＝40米，＝，则AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋(2AB)2＝AC2，∴AB＝40米．在Rt△ABD中，∠D＝20°，则sin D＝sin 20°＝＝，∴AD＝米．
4. 　【解析】 如解图，连接AC.由勾股定理得AB2＝22＋42＝20，BC2＝12＋32＝10，AC2＝12＋32＝10，则BC2＋AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.
第4题解图
5. 21　【解析】在Rt△ACD中，∠ADC＝90° , CD＝3 m，∠CAD＝37°，得sin 37°＝＝≈0.6，tan 37°＝＝≈0.75，∴AC≈5 m，AD≈4 m，∴共需钢材约5×2＋4×2＋3＝21(m).
6. 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝38°，∴tan ∠BAC＝，
∴BC＝AB·tan 38°≈18×0.78＝14.04 m.
在Rt△ABD中，∠BAD＝53°，
∴tan ∠BAD＝，
∴BD＝AB·tan 53°≈18×1.33＝23.94 m.
∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9 m.
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m.
7. 解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形．
由题可知，∠BAG＝16°，AB＝5 m，在Rt△ABG中，GB＝AB·sin ∠BAG＝5·sin 16°≈5×0.28＝1.4(m)，AG＝AB·cos 16°≈5×0.96＝4.8(m)，则CF＝AG≈4.8 m.
∵BC＝4 m，
∴AF＝CG＝BC－BG≈4－1.4＝2.6 m．
在Rt△ADF中，
∵∠ADF＝45°，
∴DF＝AF≈2.6 m，
∴CD＝CF－DF≈4.8－2.6＝2.2 m．
答：阴影CD的长约为2.2 m.
第7题解图
8. 解：(1)如解图①，过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
第8题解图①
在Rt△AEF中，tan ∠EAF＝，
∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm).
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF.
∴EF＝DF≈35.1(cm).
∴CE＝CF＋EF≈160＋35.1＝195.1(cm)，
ED＝2EF≈35.1×2＝70.2 cm>26 cm，
∴小杜下蹲的最小距离为208－195.1＝12.9(cm).
(2)能，理由如下：
如解图②，过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P.
第8题解图②
在Rt△APM中，tan ∠MAP＝，
∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)，
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP.
∴PN＝MP≈54.0(cm)，
∴BN＝BP－PN≈160－54.0＝106.0(cm).
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm).
∴小若头顶超出点N的高度123－106.0＝17.0(cm)>15(cm).
∴小若踮起脚尖后能被识别．

展开更多......

收起↑