资源简介

(共26张PPT)
第4讲 正定二次型
第6章 二次型
01 正定二次型的定义
02 霍尔维茨定理
本 讲 内 容
3
定理6.2
设有二次型 ，且它的秩为 r，
若有两个实的可逆线性变换X =PY，X =QZ，使二次型化为
则 λ1 , λ2 , … , λr 和 p1 , p2 , … , pr 中正数的个数相等，均为m，
称m为二次型的正惯性指数；
负数的个数也相等，
均为r – m，
称r – m为二次型的负惯性指数；
称正惯性指数与负惯性指数
之差为2r – m为符号差.
01 正定二次型的定义
4
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
其中 p 为正惯性指数，
q 为负惯性指数，
p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范形式唯一的.
01 正定二次型的定义
5
定义6.3
实二次型
若对任意 ，
恒有
则称 二次型是正定二次
对应矩阵 A 称为正定矩阵.
型，
01 正定二次型的定义
6
正定性判定
实二次型 f = X T AX 正定的充要条件是的正惯性指数等于 n .
实二次型 f =X T AX 正定的充要条件f 的矩阵A的特征值为正.
定理6.3
结论
01 正定二次型的定义
7
例1
解
二次型
的正负惯性指数为 1、2，则 .
A. a > 1
B. a < -2
C. -2 < a < 1
D. a = 1 或 a = -2
故A的特征值为
因为正负惯性指数为1、2，所以a + 2 > 0，a – 1 < 0，
故– 2 < a < 1.
C
01 正定二次型的定义
8
例2
解
判定下列二次型的正定性：
（1）由于
01 正定二次型的定义
9
由推论1可知，
为正定二次型.
（2）二次型的矩阵为
得矩阵A的特征值为1，1，5.
01 正定二次型的定义
10
得矩阵A的特征值为
因为
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
由
01 正定二次型的定义
11
例3
解
已知A为n阶正定矩阵，
E为n阶单位矩阵，
证明
设A的特征值为
由A为正定矩阵知
A + E 的特征值为
故
01 正定二次型的定义
12
例4
解
设矩阵 ，矩阵 B = ( kE + A)2，其中k为实数，
E为单位矩阵，
并求出k为
使得B与 相似，
求对角矩阵
何值时，
B为正定矩阵.
得
01 正定二次型的定义
13
因A是实对称矩阵，故
即B也是实对称矩阵.
B的特征值为
B与 相似.
当k ≠ -2且k ≠ 0时，
B的特征值都大于零，
此时B为正定矩阵.
01 正定二次型的定义
01 正定二次型的定义
02 霍尔维茨定理
本 讲 内 容
15
例5
解
方程 表示何种二次曲面.
因为
是一个二次型，
其矩阵
由 得
原方程可化为 ，它表示椭圆柱面.
02 霍尔维茨定理
16
定理6.3
定义6.4
位于n阶矩阵A的左上角的1，2，…，n阶子式
称为矩阵A的1，2，…，n阶顺序子式.
实二次型 f = X T AX 正定的充要条件是A 的各阶顺序主子
式全大于零.
霍尔维茨定理
02 霍尔维茨定理
17
例6
解
判定下列二次型的正定性：
02 霍尔维茨定理
18
该二次型是正定二次型.
显然该二次型不是正定二次型.
02 霍尔维茨定理
19
例7
解
在实数域上讨论函数
的凹凸性并求其
极值.
设
其中
由于矩阵A的各阶顺序主子式分别是
02 霍尔维茨定理
20
所以A是正定矩阵.
又因为
的赫斯矩阵
显然
的各阶顺序主子式均大于0，
所以 为凹函数。
02 霍尔维茨定理
21
由
得驻点
故
在
取得极小值
02 霍尔维茨定理
22
例8
解
已知二次型
其中k为参数，
求 的矩阵和使用此二次型为正定
得k的范围.
由f 是正定的充要条件知
02 霍尔维茨定理
23
由 A2 > 0 推出
由 A2 > 0 推出
从而 k > 2 或 -1 < k < 0
综上，使A1 > 0，A2 > 0，A3 > 0同时成立的k的范围是：
02 霍尔维茨定理
24
正定矩阵的性质
(1)若A为正定矩阵, 则| A |>0;
(2)若A为正定矩阵, 则A的主对角线元素
(3)若A为正定矩阵, 则A-1，kA(k > 0为实数)均为正定矩阵;
(4)若A为正定矩阵, 则A*, Am均为正定矩阵, 其中m为正整数;
(5)若A, B为n阶正定矩阵, 则A + B 为正定矩阵.
02 霍尔维茨定理
25
例9
解
设A，B为n阶正定矩阵，证明A + B为正定矩阵.
A，B为n阶正定阶矩阵
为实对称矩阵，
即AT = A，BT = B
故A + B为实对称矩阵.
对任意n维实向量
且
故
所以f = X T(A+B) X是正定二次型，故A+B是正定矩阵.
02 霍尔维茨定理
学海无涯，祝你成功！
线性代数（慕课版）

展开更多......

收起↑