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平行四边形与多边形
1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
第1题图
(1)若AB∥CD，请添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形；
(2)若∠ABC＝∠ADC，请添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形；
(3)若AD＝BC，请添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形；
(4)若AO＝OC，请添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．
2. 如图，在 ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC与BD交于点O，F为BC上一点，连接AF，OF.
第2题图
(1)CD的长为______，BO的长为______；
(2)若AF平分∠BAD，∠ABC＝50°，则∠BAF的度数为________；
(3)若F为BC的中点，则OF的长为________；
(4)若AC＝6，则 ABCD的面积为________， ABCD的周长为________．
3. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，连接AE，延长CD至点G.
第3题图
(1)∠ABC的度数为________，∠EDG的度数为________；
(2)正六边形ABCDEF的对角线有________条，对称轴有________条；
(3)AE的长为________．
知识逐点过
考点1 平行四边形的性质及面积
边 两组对边分别平行，两组对边分别①________
角 两组对角分别②________
对角线 对角线互相③________
对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点(北师独有)
面积公式 S＝ah(a表示一条边长，h表示此边上的高)
【温馨提示】利用平行四边形的性质进行相关计算，一般运用平行四边形的性质转化线段或角度之间的等量关系：1. 当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线 等腰三角形”的结论得到等角、等边；2. 当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时，可利用三角形中位线的性质进行计算
考点2 　平行四边形的判定
边 1. 两组对边分别④________的四边形是平行四边形(定义)；2. 两组对边分别⑤________的四边形是平行四边形；3. 一组对边⑥________的四边形是平行四边形
角 两组对角分别⑦________的四边形是平行四边形(人教独有)
对角线 对角线⑧________的四边形是平行四边形
考点3 　多边形及其性质
1. 多边形的性质(n≥3，n为整数)
内角和定理 n边形的内角和等于⑨________
外角和定理 任意多边形的外角和等于⑩________
对角线 过n边形一个顶点可引(n－3)条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有条对角线
【温馨提示】n(n＞3)边形具有不稳定性
2. 正多边形的性质(n≥3，n为整数)
边 正n边形各条边 ________
内角 各个内角相等，正n边形的每个内角为 ________
外角 各个外角相等，正n边形的每个外角为 ________
真题演练
命题点1 与平行四边形性质有关的计算
1. 如图，在 ABCD中，一定正确的是(　　)
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
第1题图　　
2. 如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝.过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin ∠BCE＝________．
第2题图
命题点2 与多边形有关的计算
3. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
拓展训练
4. 如图，将正五边形剪掉一个角(不经过顶点)，则∠1＋∠2的度数为________．
　
第4题图
教材原题到重难考法
与平行四边形有关的证明与计算
例　
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？
　例题图
变式题
1. 过点D作AB的垂线
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，AD＝3，DO＝2，AB＝5，求DE的长．
　第1题图
2. 连接OE，求△ODE的周长
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E，连接OE，AD＝4，AB＝6，∠EDA＝30°，求△ODE的周长．
　第2题图
3. AE平分∠BAD如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°.
(1)求证：AB＝AE；
(2)若＝，AC＝4，求 ABCD的面积．
　第3题图
基础过关
1.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝(　　)
A. 45° B. 60° C. 110° D. 135°
图①　 图②
第1题图
2. 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A. AD＝BC B. AB∥DC C. AB＝DC D. ∠A＝∠C
第2题图
3. 如图，在 ABCD中AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，且分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积为(　　)
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
第3题图　　　
4. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，点E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第4题图
5.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第5题图
6. 如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝______°.
　
第6题图
7. 如图，在 ABCD中，点O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为__________．
第7题图　　
8. 如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是__________．
第8题图
9. 如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为__________．
第9题图
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
第10题图
综合提升
11. 如图，四边形ABCD为平行四边形，点M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则sin ∠DBC的值是(　　)
A. B. C. D.
第11题图　　　　
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为__________．
第12题图
平行四边形与多边形
1. (1)AD∥BC(答案不唯一)；
(2)∠BAD＝∠BCD(答案不唯一)；
(3)AB＝CD(答案不唯一)；
(4)BO＝OD(答案不唯一).
2. (1)4，5；【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴对角线AC，BD互相平分，CD＝AB＝4，∴BO＝BD＝5；
(2)65°；【解析】∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAB.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠BAF＝＝65°；
(3)2；【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点，∵F为BC的中点，∴OF为△ABC的中位线，∴OF＝AB＝2；
(4)24，8＋4.【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝5，∵AB＝4，∴AB2＋AO2＝BO2，∴△OAB为直角三角形，∠OAB＝90°，∴ ABCD的面积为AB·AC＝4×6＝24，由勾股定理得BC＝＝2，∴ ABCD的周长为2(AB＋BC)＝8＋4.
3. (1)120°，60°；【解析】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠CDE＝∠ABC＝＝120°，∴∠EDG＝180°－∠CDE＝60°；
(2)9，6；【解析】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴有＝9条对角线，6条对称轴；
(3)2.【解析】如解图，过点F作FH⊥AE于点H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝120°，AF＝EF，∴FH是AE的垂直平分线，∠HAF＝30°，∴AH＝AF·cos 30°＝2×＝，∴AE＝2AH＝2.
第3题解图
知识逐点过
①相等　②相等　③平分　④平行
⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧互相平分　⑨(n－2)·180°　⑩360°　 相等　

真题演练
1. C　【解析】四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得C选项正确．
2. 　【解析】如解图，过点B作BF⊥CE于点F，∵DE⊥AB，AD＝5，sin A＝，∴DE＝4，∴AE＝＝3，∴BE＝AB－AE＝9.在Rt△CDE中，CE＝＝4，由等面积可得S△BCE＝BE·DE＝CE·BF，∴BF＝.又∵在 ABCD中，BC＝AD＝5，∴sin ∠BCE＝＝.
第2题解图
3. B　【解析】设该多边形的边数是n，则(n－2)×180°＝540°，解得n＝5.
4. 288°　【解析】∵该多边形为正五边形，∴∠E＝＝108°，∴∠1＋∠2＝360°－(180°－∠E)＝288°.
教材原题到重难考法
例　解：OA＝OC，OB＝OD.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
1. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，DO＝2，
∴DB＝2DO＝4，
∵AD＝3，AB＝5，
∴AD2＋DB2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∵S△BAD＝ AD·DB＝AB·DE，
∴ ×3×4＝ ×5DE，
∴DE＝.
2. 解：∵DE⊥AB，∠EDA＝30°，O为BD中点，
∴AE＝AD＝2，OE＝OD＝BD，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
得DE＝＝＝2，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝＝＝2，
∴OD＝OE＝，
∴△ODE的周长为OD＋OE＋DE＝2＋2.
3. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
(2)解：∵＝，
∴AB＝BC，
由(1)知，△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∴∠AEB＝∠BAE＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝AC·tan 30°＝4，
∴S ABCD＝AB·AC＝4×4＝16.
基础过关
1. A　【解析】∵正多边形的外角和为360°，∴正八边形每个外角的度数为360°÷8＝45°，∴∠1＝45°.
2. C　【解析】此题考查了平行四边形的判定. 当AD∥BC，AD＝BC时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意；当AB∥DC，AD∥BC时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不符合题意；当AD∥BC，AB＝DC时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项符合题意；当AD∥BC，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意．
3. B　【解析】 在 ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴S△EOD＝S△FOB.如解图，过点A作AG⊥BC于点G.
在 ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∴BG＝AB＝2，∴AG＝BG＝2，∴S ABCD＝BC·AG＝6×2＝12，∴S阴影＝S△EOD＋S△COF＝S△FOB＋S△COF＝S△BOC＝×S ABCD＝×12＝3.
第3题解图
4. A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝6，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，DO＝BO，∴∠CDP＝∠APD.∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADP＝∠APD，∵AD＝4，∴AP＝AD＝4，∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.∵点E是PD的中点，∴OE是△DPB的中位线，∴OE＝BP＝1.
5. D　【解析】由题意可知，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝15°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴这个正多边形的一个外角为180°－150°＝30°，∴这个正多边形的边数为＝12.
6. 50　【解析】∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝40°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝40°.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°－40°＝50°.
7. 10　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵点O为BD的中点，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴CD－DF＝AB－BE，∴CF＝AE＝10.
8. 14　【解析】如解图，∵点D是AB边上靠近A的三等分点，∴AB＝3AD，AB＝BD.∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，∵BC＝9，∴＝，∴DF＝3.∵DE∥AC ，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∴＝，∴DE＝4.由题意知四边形DFCE为平行四边形，∴CE＝DF＝3，CF＝DE＝4，∴得到的平行四边形纸片的周长为2(DF＋DE)＝14.
第8题解图
9. 2＋　【解析】如解图，由正八边形的性质可得CF∥AB，且正八边形的每个外角为45°，∴∠CAB＝45°，同理可得∠ACD＝45°，∴AB⊥CD.过点F作FG⊥AB于点G，则四边形CFGE为矩形，FG＝GB＝AE＝AC＝，EG＝CF＝2，∴BE＝EG＋BG＝2＋.
第9题解图
10. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：设△ABE的面积为S1，△AEO的面积为S2，
由(1)，得OE＝OF，
∵BE＝EF，∴BE＝2OE，
∴＝＝2.
又∵S1＝2，∴S2＝1.
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO(SAS)，
∴△CFO的面积等于△AEO的面积，
∴△CFO的面积等于1.
11. A　【解析】 如解图，过点D作DE∥AM，交BC的延长线于点E，则四边形ADEM是平行四边形，∴DE＝AM＝9，ME＝AD＝10.∵点M是BC的中点，∴BM＝BC＝AD＝5，∴BE＝15.在△BDE中，∵BD2＋DE2＝BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE＝90°，∴sin ∠DBC＝＝＝.
第11题解图
12. 　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE∥AC，∴△AOF∽△BEF，△DAO∽△DEB，∴＝＝＝＝，∴BF＝2AF，EF＝2OF，∴S△OBF＝2S△AOF，S△AEF＝2S△AOF，S△BOC＝S△AOB，∴S四边形BCOF＝S△BOC＋S△BOF＝S△AOB＋S△BOF＝5S△AOF，∴＝＝.

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