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第2讲 最大似然估计法
第6章 参数估计
2
上一讲介绍了矩估计，这一讲介绍点估计的另外一种方
它首先是由数学家高斯在1821年提出的，费歇在1922年
我们先来看一个实例
用的一种参数估计方法 .
法——最大似然估计法，
它是在总体类型已知条件下使
到广泛应用.
从而得
并研究了它的一些性质，
重新发现了这一方法，
第2讲 最大似然估计法
3
黑球白球9:1，不知哪种多？有放回抽三次，两次白球，
哪种多？
白球多！
最大
这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就
——生活经验：
例
一次黑球.
原理
一次实验就出现得事件有较大得概率
方法
是最大似然法的基本思想 .
第2讲 最大似然估计法
01 最大似然估计法
02 典型例题
本 讲 内 容
5
(1) 构造似然函数
似然函数
似然函数
设 是来自X的样本, 是其中一组样本值,
若总体X属离散型,其分布律
若总体X属连续型,其概率密度
01 求最大似然估计的一般步骤
6
(2) 求似然函数 的最大值点
挑选 使达到最大的参数 ,作为 的估计
即
称为参数 的最大似然估计值
称为参数 的最大似然估计量
一般, 可由下式求得
似然方程
或
01 求最大似然估计的一般步骤
7
未知参数可以不止一个, 如 1, … , k
似然方程组
用上述方法求参数的最大似然估计值有时行不通，这时
设X 的密度(或分布律)为
则似然函数为
解方程组求得 的最大似然估计
注1
无驻点
不可导
注2
要用最大似然原则来求.
01 求最大似然估计的一般步骤
01 最大似然估计法
02 典型例题
本 讲 内 容
似然函数
的最大似然估计
设总体X的概率密度为
是总体X的一个简单样本，
例1
解
是未知参数，
的最大似然估计.
求
解得
02 典型例题
9
10
试求参数p与EX 的最大似然估计.
故似然函数为
如何求EX的
最大似然估计？
设 是来自X的一个样本值，
例2
解
X的分布律为：
解得p的最大似然估计
令
02 典型例题
11
最大似然估计不变性
如何求EX 的
最大似然估计？
P的最大似然估计
因为 ，故EX的最大似然估计为
若 是 的最大似然估计，
则 也是 的最大似然估计
试求参数p与EX 的最大似然估计.
设 是来自X的一个样本值，
例2
02 典型例题
12
设总体 X ~ N ( , 2), x1, x2 , … , xn 是 X 的样本值，
似然
方程
组为
例3
求 , 2 的最大似然估计.
解
02 典型例题
13
例4
设某种元件使用寿命 X 的概率密度为
其中 是未知参数.设 是样本观测值，
求 的最大似然估计.
解
似然函数为
取对数得
因为 ，所以 单调增加，而
故 的最大似然估计为
02 典型例题
14
设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中
（1）因为每件产品有两种可能：要么是一级品，要么
例5
（2）接着再抽5件产品都不是一级的概率的最大似然估计.
（1）p的最大似然估计；
其中有3件为一级品，求：
一级品率为p，如果从生产线上抽取了20件产品，发现其
20件产品中有3件为一级品，相当于样本观测值
中有3个为1，17个为0，故似然函数为
不是一级品，所以总体X服从（0-1）分布，其分布律为
解
02 典型例题
15
取对数
（2）因为一级品率为p，所以再抽5件产品都不是一级品
既然20件产品中有3件为一级品，此时得到的p最大似然
对p求导数
解得p的最大似然估计为
那么 的最大似然估计为
的概率应该为 .
估计为 .
02 典型例题
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