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第3讲 点估计的评价标准
第6章 参数估计
2
在前两讲中我们介绍了两种点估计法，发现了点估计的
应该选用哪一种估计量
这一讲我们介绍
常用
标准
无偏性
有效性
一致性
估计量可能不同，于是提出问题:
不唯一性，
用何标准来评价一个估计量的好坏
即对于同一个未知参数，不同的方法得到的
第3讲 点估计的评价标准
01 无偏性
02 有效性
03 一致性（相和性）
本 讲 内 容
4
估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估
则称 为 的无偏估计.
设
是未知参数 的估计量，若
.
真值
期望值等于未知参数的真值.这就导致无偏性这个标准.
而它的
我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，
计值.
01 无偏性
5
是总体X 的样本，证明:
不论 X 服从什么分布（但期望存在），
由于
特别地
是总体期望 E ( X ) 的
样本均值
无偏估计量
无偏估计量
设总体 X 的 k 阶矩
存在，
的无偏估计量.
是
例1
证
因而
样本二阶矩
是总体二阶矩
的
01 无偏性
6
设总体X 的期望与方差存在，X 的样本为
(1) 不是 D ( X ) 的无偏估计;
(2) 是 D ( X ) 的无偏估计.
原样本方差
样本方差
是 D ( X )的渐进无偏估计
例2
01 无偏性
7
例3
设总体X 的概率密度为
其中 是未知参数，
是来自总体X 的简单随机
所以
因为
样本，
若 是 的无偏估计，则常数 c =____.
事实上， 是 的无偏估计
令
可得
01 无偏性
8
例4
已知
由第5章性质5.1可知，
都是总体方差 的估计量，问哪个估计量更好？
故样本方差 是 的无偏估计
所以
不是 的无偏估计
而
解
01 无偏性
本 讲 内 容
01 无偏性
02 有效性
03 一致性（相和性）
10
无偏估计以方差小者为好，这就引进了有效性的概念
由于
一个参数往往有不止一个无偏估计，若
都是参数
的大小来决定谁更优.
我们可以比较
和
的无偏估计量，
02 有效性
11
则称 为 的最小方差无偏估计.
是 的任一无偏估计.
若
设
和
都是参数 的
则称 较 有效.
无偏估计量，若有
D ( )< D ( )
02 有效性
12
都是 的无偏估计量
最有效
X ~ N ( , 2 ) ,样本是
推广
例5
是 的无偏估计量
当 时
最有效
中
02 有效性
13
问哪一个最优？
例6
设某种产品的寿命 X 服从指数分布，其概率密度为
设有 的估计量
其中 为未知参数， 是来自总体的样本
02 有效性
14
解
因为 X 服从指数分布，所以
又
故 和 为 的无偏估计
则 较为有效.
由于
02 有效性
本 讲 内 容
01 无偏性
02 有效性
03 一致性（相和性）
即 ，
一致性估计量仅在样本容量
n足够大时,才显示其优越性.
若n 时， 依概率收敛于 ，
则称
是参数 的一致(或相合)估计量.
设 是总体参数
的估计量.
定义
03 一致性（相和性）
16
若
样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量
由大数定律可证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量
为方便鉴别有效性，引进定理：
关于一致性的常用结论
定理
则 是 的一个相合估计量.
设 是未知参数 的估计量，
03 一致性（相和性）
17
18
例7
由大数定律可知，当 时
设 是总体 X 的样本均值，则当 作为总体期望
E(X)的估计量时， 是E(X)的相合估计量.
所以 是E(X)的相合估计量.
证
03 一致性（相和性）
19
设总体 ，其中未知参数 ，
是 X 的样本.
证明 是 的相合估计量.
例8
解
是 的相合估计量.
03 一致性（相和性）
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