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第1讲 二次型及其矩阵表示
第6章 二次型
01 二次型的定义
02 二次型及其对称矩阵
本 讲 内 容
3
定义6.1
含有n个变量 x1 , x2 , … , xn 的二次齐次多项式
称为n元二次型.
只含有平方项的二次型，即
在标准形中，完全平方项的系数为 1， – 1，0，
称为二次型的规范形.
称为二次型的标准形.
即
01 二次型的定义
01 二次型的定义
02 二次型及其对称矩阵
本 讲 内 容
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二次型的矩阵表示式
二次型的矩阵
-实对称矩阵
设二次型
则称实对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩.
02 二次型及其对称矩阵
6
例1
解
已知对称矩阵 ，确定其二次型.
02 二次型及其对称矩阵
7
例2
解
将二次型
表示为矩阵形式，写出其对称矩阵，并求出二次型的秩.
设 ，其中
02 二次型及其对称矩阵
8
02 二次型及其对称矩阵
9
02 二次型及其对称矩阵
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二次型的秩为4.
02 二次型及其对称矩阵
11
例3
解
已知对称矩阵 ，确定其二次型.
02 二次型及其对称矩阵
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例4
解
A的秩为2.
求 二次型的秩.
02 二次型及其对称矩阵
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称为线性变换
则变换表示为Y = CX
若C可逆，则线性变换为可逆线性变换；
若C正交，则称线性变换为正交线性变换.
记
02 二次型及其对称矩阵
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结论
二次型 经可逆线性变换X = CY
变成新变元二次型 f = Y T BY，它的矩阵 B = C T AC 且
作可逆变换 X = CY，
02 二次型及其对称矩阵
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例5
解
证明：矩阵 与 合同.
取矩阵 ，则 ，
故矩阵 与 合同.
02 二次型及其对称矩阵
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