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概率论与数理统计（慕课版）
第8讲 二维连续型变量函数的分布2
第3章 多维随机变量及其分布
01 二维连续随机变量函数的分布
02 积的分布和商的分布
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
本 讲 内 容
(2) 再求Z的密度函数:
已知随机变量( X ,Y )的分布,
(1) 先求Z 的分布函数：
3
二维连续随机变量函数的分布
问题
方法
求Z=g ( X , Y )的密度函数.
01 二维连续随机变量函数的分布
01 二维连续随机变量函数的分布
02 积的分布和商的分布
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
本 讲 内 容
5
*积的分布和商的分布
02 积的分布和商的分布


问：独立？
（公式法）
6
设X与Y相互独立，都服从区间(0，1)上的均匀分布，
求 = 的密度函数．
例1
解1
02 积的分布和商的分布
其它
其它
7
02 积的分布和商的分布
其它
（分布函数法）
当z < 0 时,
1
y
x
1
当0 z < 1 时,
当1 z 时,
z
8
解2
02 积的分布和商的分布
其它
9
例2

解

02 积的分布和商的分布
求 = / 的概率密度.
即
时，
设随机变量 与 独立同分布，其概率密度为
因
其它
其它
10



所以，
02 积的分布和商的分布
由公式
其它
01 二维连续随机变量函数的分布
02 积的分布和商的分布
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
本 讲 内 容
12
问题
设连续型随机变量X 、Y 相互独立, X、Y 的分布函数
分别为 FX (x)、 FY (y).
求M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布函数.
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
13
结论
对于连续型随机变量,
求出最大值、最小值的分布函数后,
再对分布函数求导,
就可以求出其概率密度函数.
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
14
推广
设n个随机变量
相互独立,
其分布函数为
则
和
的分布函数分别为
和
特别地,
当随机变量
独立同分布时,
分布函数均为F(x),
则M和N的分布函数为
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
15
例3
设系统 是由3个相互独立的同种元件连接而成,

其概率密度为
分别求 在串联和并联方式下系统寿命的概率密度．

03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
其它
其它
(1) 串联的情况
因为有一个损坏时,
则N 的分布函数
于是, 得N的密度函数
16
解
系统 L就停止工作,
所以 L的寿命为
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
其它
其它
(2) 并联的情况
因为当且仅当都损坏时,
M的分布函数
M的密度函数
17
解
系统 L 才停止工作,
所以L的寿命为
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
18
例4
解
当系统并联时，

最大的；
当系统串联时，

中寿命最小的.
系统 中有三个同种型号的半导体元件，
寿命的概率密度为

其中 >0.
求在并联与串联两种情况下系统寿命的概率密度.
1,2,3.
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
其它
19
由题意知，

且分布函数均为
则 为并联时系统的寿命，
令
03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布
其它
其它
20


03 M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布

其它
其它

其它
21
我们在近两讲介绍了二维连续型随机变量函数的分布,
重点是掌握一般方法,
对于几种常见类型也可以使用公式.
除此以外, 有考研打算的同学还需要关注一种特殊类型
——混合型.
第8讲 二维连续型变量函数的分布2
学海无涯，祝你成功！
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