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概率论与数理统计（慕课版）
第7讲 二维连续型变量函数的分布1
第3章 多维随机变量及其分布
2
回忆：一维连续型随机变量函数的分布
一般方法 从分布函数出发
二维类似
问题



第7讲 二维连续型变量函数的分布1
01 二维连续型随机变量函数的分布
02 和的分布：Z = X + Y 型
本 讲 内 容
4
(2)再求Z的密度函数:
已知随机变量( X ,Y )的密度函数,
(1) 先求Z 的分布函数：
二维连续型随机变量函数的分布
问题
方法
求Z=g (X , Y)的密度函数.
01 二维连续型随机变量函数的分布
01 二维连续型随机变量函数的分布
02 和的分布：Z = X + Y 型
本 讲 内 容

z

z
x +y= z
和的分布：Z = X + Y 型
设( X ,Y )的联合密度为 f (x,y),
则
或
6
02 和的分布：Z = X + Y 型
特别地,
或
或
称之为函数 f X (z) 与 f Y (z)的卷积
若X ,Y 相互独立,
则
7
02 和的分布：Z = X + Y 型
（卷积公式法）
设 与 相互独立，都服从区间(0，1)上的均匀分布，
其他
例1
解1
由题意, 可知

8
02 和的分布：Z = X + Y 型
其他
求 = + 的密度函数.
9
02 和的分布：Z = X + Y 型
其他
若
或
若
若
的密度函数为
x+y = z
1
y
x
1
解2
分布函数法
当z < 0 时,
10
02 和的分布：Z = X + Y 型
y
x
1
1
x+y = z

z

z
当 0 z < 1 时,
11
02 和的分布：Z = X + Y 型
x+y = z
z-1
1
y
x
1

z

z
当 1 z < 2 时,
12
02 和的分布：Z = X + Y 型
1
y
x
1
x+y = z
2
2
当 2 z 时,
13
02 和的分布：Z = X + Y 型
或
正态分布的可加性



14
02 和的分布：Z = X + Y 型
如果随机变量X 与Y 相互独立,
一般地,
为实常数,
如果随机变量
相互独立,
且独立
15
02 和的分布：Z = X + Y 型
设相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布
和
则
Z = X + Y 型
Z = aX +bY 型
特别地, 若X ,Y 相互独立, 则
16
02 和的分布：Z = X + Y 型
例2
解
根据公式
其中



17
02 和的分布：Z = X + Y 型
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
其他
求Z=X+Y的概率密度fz(z)
18
因此， 的概率密度为
02 和的分布：Z = X + Y 型
其他
19
Z = X Y 型
Z = X / Y 型
M=max( X,Y )型
N=min( X,Y )型
……
本讲我们介绍了一般方法, 以及Z = X +Y 型.
下一讲再见
第7讲 二维连续型变量函数的分布1
学海无涯，祝你成功！
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