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概率论与数理统计（慕课版）
第4讲 随机变量的独立性
第3章 多维随机变量及其分布
2
第一章介绍了两个事件相互独立的概念,
由此可以引出
两个随机变量相互独立的概念.
有了边缘分布,
我们就可以很方便的判断随机变量 X
和 Y 之间的独立性.
第4讲 随机变量的独立性
01 两个随机变量的独立定义
02 随机变量的独立性
本 讲 内 容
如何判断
两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量,
若对任意的x,y,
有
则称X,Y相互独立 .
两事件A, B独立定义
若 P(AB)= P(A)P(B) 则称事件A, B独立 .
4
01 两个随机变量的独立定义
结论
用分布函数表示,
即
设 X,Y 是两个随机变量,
则称 X, Y 相互独立 .
若对任意的x, y, 有
它表明,
两个随机变量相互独立时,
两联合分布函数等于
两个边缘分布函数的乘积 .
5
01 两个随机变量的独立定义
即
离散型
X 与Y 独立
对一切 i , j 有
6
01 两个随机变量的独立定义
连续型
X 与Y 独立
对一切 x , y 有
二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立,
完全确定联合分布
则边缘分布,
7
01 两个随机变量的独立定义
01 两个随机变量的独立定义
02 随机变量的独立性
本 讲 内 容
判断
应用
随机变量的独立性
9
02 随机变量的独立性
判断
第一讲例题
讨论X ,Y 是否独立？
故 X ,Y 相互独立
10
02 随机变量的独立性
0.50
0.30
不独立
判断
第二讲例题
1
100
100
0.20
0.20
0.15
0
200
250
0.10
0.05
0.50
0.50
0.25
0.25
11
02 随机变量的独立性
( ， )的联合与边缘分布律
讨论X ,Y 是否独立？
故 X ,Y 不独立
1
1
0
2
x
y
判断
12
第三讲例题
02 随机变量的独立性
设随机变量( ， ) 服从区域G上的均匀分布．
其他
其他
其他
应用
例1
13
02 随机变量的独立性
设二维离散型随机变量( ， )的联合分布律为
试确定常数( ， )使得随机变量 与 相互独立．
14
解
由表，
可得随机变量 与 的边缘分布律为
如果随机变量 与 相互独立，
则有
02 随机变量的独立性
15
由此得
由此得
结论

02 随机变量的独立性

16
例2
设随机变量X与Y相互独立, 且分别服从参数为1与参数为
4的指数分布, 求
解
02 随机变量的独立性
其他
证
对任何 x,y 有
取
相互独立
17
命题
02 随机变量的独立性
故
将
代入
即得
18
02 随机变量的独立性
设二维随机变量
服从正态分布
求
19
例3
解
02 随机变量的独立性
~ (1,1), ~ (0,1)且独立
在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为X，
20
X Y 0 1 2
0 1 2 3 4 5 0.025 0.015 0.010
0.050 0.030 0.020
0.125 0.075 0.050
0.150 0.090 0.060
0.100 0.060 0.040
0.050 0.030 0.020
问随机变量X和Y是否相互独立？
由边缘分布律的定义可得X的分布律为：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.050 0.100 0.250 0.300 0.200 0.100
公交车数量
例4
且( , )的联合分布见下表：
记为 ，
与 都是随机变量，
解
02 随机变量的独立性
Y的分布律为：
21
故随机变量X和Y是相互独立的.
Y 0 1 2
P 0.500 0.300 0.200
可以验证，随机变量( , )的任意一点都满足
02 随机变量的独立性
22
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到
更多维.
随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥
重要的作用.
要求掌握概念和定理,
会判断随机变量的独立性,
利用独立性求概率.
以及
第4讲 随机变量的独立性
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）

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