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概率论与数理统计（慕课版）
第3讲 二维连续型随机变量及其分布
第3章 多维随机变量及其分布
2
定义






回忆：一维连续型随机变量
第3讲 二维连续型随机变量及其分布
01 二维连续型随机变量及其分布
02 二维连续型随机变量的边缘分布
03 常用的二维连续型随机变量
本 讲 内 容


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01 二维连续型随机变量及其分布
二维连续型随机变量及其分布
定义



使得
称 ( , )为
联合概率密度函数，
简称概率密度或密度函数.
在 f (x, y)的连续点处,
f (x, y)与F(x, y)
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01 二维连续型随机变量及其分布
联合分布函数—— ( X,Y ) 落入矩形区域内的概率
联合概率密度—— ( X,Y ) 落入任意区域内的概率
优点
f (x, y) 的性质
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01 二维连续型随机变量及其分布
一家银行的服务包括人工服务和自助服务. 在一天中，
例1
（单位： ）
( , ) 的联合概率密度为
其它
求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，
即
表示接受人工服务所花费的时间， 表示自助服务所花
费的时间. 随机变量 ( , )所有可能取值的集合为
7
因此，
01 二维连续型随机变量及其分布
解
人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概
率约为0.01，
这个概率是非常小的.
01 二维连续型随机变量及其分布
02 二维连续型随机变量的边缘分布
03 常用的二维连续型随机变量
本 讲 内 容
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02 二维连续型随机变量的边缘分布
二维连续型随机变量的边缘分布
结论
已知联合密度可以求得边缘密度
设随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
y
o
y=x2
1
x
10
02 二维连续型随机变量的边缘分布
例1
其他
(1) 求常数 ；
(2)求 { ≥ }；
02 二维连续型随机变量的边缘分布
（1）由密度函数的性质，得
解


随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
11
其他
y
o
y=x
y=x2
1
x
12
02 二维连续型随机变量的边缘分布

01 二维连续型随机变量及其分布
02 二维连续型随机变量的边缘分布
03 常用的二维连续型随机变量
本 讲 内 容
设G 是平面上的有界区域,
若随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布
记作( X ,Y ) ~U ( G )
14
03 常用的二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维均匀分布
面积为 S
其他
则 D G,
若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布,
几何概型
面积之比
15
03 常用的二维连续型随机变量
设D的面积为
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03 常用的二维连续型随机变量

例2

解


其他
17
03 常用的二维连续型随机变量
面积之比
1
1
0
2
x
y


18
03 常用的二维连续型随机变量
1
1
0
2
x
y

若( X ,Y ) 的联合概率密度为
则称( X ,Y ) 服从二维正态分布
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03 常用的二维连续型随机变量
二维均匀分布
记作
常数
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03 常用的二维连续型随机变量
二维正态分布图
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03 常用的二维连续型随机变量
例3
解

试求 及 的边缘密度函数．
( ， )的联合密度函数为
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03 常用的二维连续型随机变量
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03 常用的二维连续型随机变量
设 ( , ) 服从二维正态分布，概率密度函数为
例4
解
利用极坐标变换，令

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可得：
03 常用的二维连续型随机变量
上式
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03 常用的二维连续型随机变量
结论1
二维正态分布的边缘分布是一维正态分布
结论2
上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分布中的
常数 无关


本节我们认识了二维连续型随机变量的联合概率密度
和边缘密度,
以及二维均匀分布和二维正态分布.
解它们概念和性质,
并且会求相应的概率.
要求理
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第3讲 二维连续型随机变量及其分布
学海无涯，祝你成功！
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