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概率论与数理统计（慕课版）
第6讲 随机变量的分布
第2章 随机变量及其分布
在实际中，
求截面面积
例如，
第6讲 随机变量函数的分布
2
问题的提出
的分布.
人们常常对随机变量的函数更感兴趣.
已知圆轴截面直径 d 的分布，
将与Y有关的事件转化成X的事件.
设随机变量X的分布已知，
第6讲 随机变量函数的分布
3
如何由X的分布求出Y的分布？
Y=g(X)(设g是连续函数)，
离散型随机变量的分布
本章内容
01 离散型随机变量的分布
02 连续型随机变量的分布
5
离散型随机变量的分布
例1
设X是离散型随机变量，其分布列为
则
的可能取值为
也是离散型，
其分布
Y=g(X)
注
应把他们适当合并.
当某些g (xi)相等时，
01 离散型随机变量函数的分布
已知 X 的分布律
6
例2
则Y=3X+2 的分布律为
Y的取值为-4,2,5,7
01 离散型随机变量函数的分布
7
已知 X 的分布律
例3
则Y=X 2+1 的分布律为
Y的取值为1,2,5
Z
注
注意合并.
01 离散型随机变量函数的分布
8
设随机变量X表示某品牌手表的日走时误差
X -1 0 1 2
P 0.2 0.4 0.3 0.1
Y可能的取值为0,1,4.
从而Y的分布律为：
Y 0 1 4
P 0.3 0.5 0.2
例4
(单位:s)，
求Y=(X -1) 2 分布律.
解
其分布律为：
由于
01 离散型随机变量函数的分布
本章内容
01 离散型随机变量的分布
02 连续型随机变量的分布
（1）分布函数法
（2）公式法
10
连续型随机变量的分布
设X是连续型随机变量，
求Y=g(X)的分布函数FY(y)或密度fY(y).
知其分布函数FX(x)或密度fX(x)，
方法
02 连续型随机变量函数的分布
用公式
从分布函数出发
11
方法一
方法二
单调可导
反函数
可导
02 连续型随机变量函数的分布
设 X ~ N ( , 2)，则Y = aX +b ~ N (a +b, a2 2)
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) ，则
公式法
标准化
12
例5
解
02 连续型随机变量函数的分布
公式法
设随机变量X表示某服务行业一位顾客的服务时间，
求
反函数为
13
X服从指数分布，
例6
解
的概率密度．
02 连续型随机变量函数的分布
不严格单调！
分布函数法
14
解
例7
设随机变量X ~ N(0,1) ,求
的概率密度．
02 连续型随机变量函数的分布
15
求Y的分布律.
所以Y的分布律为
Y -1/2 1/2
P 1/4 3/4
设随机变量服从均匀分布U(-1,3)，记
例8
解
因为
02 连续型随机变量函数的分布
16
由题意知，T的概率密度为
解
例9
某仪器设备内的温度T是随机变量，
已知
试求M的分布.
M的分布函数记为FM(y)则有
且T ~ N(100,4)
02 连续型随机变量函数的分布
17
将上式关于y求导，
即M ~ N(45,1).
可得M的概率密度为
02 连续型随机变量函数的分布
18
例7
设随机变量X ~ N(0,1) ,求
的概率密度．
对于
解
对于
因此，Y的概率密度为：
02 连续型随机变量函数的分布
第4讲 连续型随机变量及其分布
知识点解读—随机变量函数的分布
19
重点：
会求离散型随机变量函数的分布，
机变量的简单函数的分布.
会求连续型随
学海无涯，祝你成功！
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