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概率论与数理统计（慕课版）
第5讲 常见的连续型随机变量
第2章 随机变量及其分布
1.均匀分布
2.指数分布
3.正态分布
第5讲 常见的连续型随机变量
2
常见的连续型随机变量
本章内容
01 指数分布
02 正态分布
若 X 的密度为
则称 X 服从参数为 的指数分布,
记作
X 的分布函数为
> 0 为常数
4
指数分布
01 指数分布
5
O
f
(x)
x
6
O
F
(x)
1
x
用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
动物的寿命
指数分布
常作为各种“寿命”
分布的近似
7
应用场合
01 指数分布
若X ~ E( ), 则
指数分布的“无记忆性”
若 表示某仪器的寿命(小时),
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它能再使用 小时的概率与 无关.
用 小时,
上式说明:若该仪器已
01 指数分布
设修理某机器所用的时间 服从参数 =0.5( )的
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例1
指数分布，
时的概率.
修理时间不超过一小
求当机器出故障时，
解
因为X ~ E (0.5），
所求概率为
或
故X的密度函数为
01 指数分布
设随机变量X表示某餐馆从开门营业起到第一个
10
求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.
例2
顾客到达的等待时间(单位：min)，
其概率密度为
则X服从指数分布，
解
由题意知X的分布函数为
则
01 指数分布
本章内容
01 指数分布
02 正态分布
12
正态分布（高斯分布）
如果连续型随机变量X的密度函数
其中 , 为常数，
, 的正态分布，
记为
则称随机变量X服从参数
且 >0，
正态分布的分布函数为
02 正态分布
13
正态分布N ( , 2)的图形特点
f(x)的特点：
变化则左右平移；
在x= 处达到极大值
关于x= 对称；
变化则陡峭程度变化
02 正态分布
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习题：
设X ~ N(3,5)，求常数c，使
02 正态分布
各种测量的误差； 人体的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
15
正态分布应用广泛
02 正态分布
正态分布是概率论中最重要的分布，以下情形说明：
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正态分布应用广泛
(1)正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，
从或近似服从正态分布．
则该随机指标一定服
任何一个因素都不起决定性作用，
但其中
如果一个随机指标受到诸多因素的影响，
证明，
可以
大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．
02 正态分布
17
(3)正态分布可以作为许多分布的近似分布．
(2)正态分布有许多良好的性质，
分布所不具备的．
这些性质是其它许多
02 正态分布
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，
标准正态分布
下面我们介绍一种最重要的正态分布
18
如何进行正态分布的概率计算
时，
是不同的正态分布.
当μ和σ不同
02 正态分布
是偶函数，分布函数记为
其值有专门的表供查.
密度函数
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标准正态分布N (0,1)
02 正态分布
20
02 正态分布
标准正态分布的重要性在于，
根据定理，
,则
~N(0,1)
设
21
都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
任何一个一般的正态分布
可以解决一般正态分布的概率计算问题.
就
只要将标准正态分布的分布函数制成表，
02 正态分布
对一般的正态分布 ：
其分布函数
作变量代换
22
X ~ N ( , 2)
02 正态分布
查表
23
设随机变量X ~ N(0,1) ，试求：
例3
解
(1)
(2)
02 正态分布
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
查表
24
例4
解
02 正态分布
25
汽车驾驶员在减速时，
求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？
例5
其中
从正态分布，
驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服
驾
有研究表明，
时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要。
对信号灯做出反应所需的
=1.25秒， =0.46秒.
制动反应时间超过这个值的概率是多少？
那么实际的制动反
如果2秒是一个非常长的反应时间，
02 正态分布
26
解
设随机变量X表示汽车驾驶员的制动反应时间，
则X ~ N (1.25 ,0.462)
所求概率为
根据标准化定理可得
02 正态分布
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因此，
因此，制动反应时间超过2秒的概率约为0.0516.
概率约为0.5675。
驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概
02 正态分布
28
根据标准化定理可得
例6
设某工司制造绳索的抗断程度服从正态分布，
其中 =300千克，
小于95%的概率大于a.
求常数a使抗断程度以不
=24千克，
解
由题意知
02 正态分布
29
由标准正态分布的对称性得
通过逆向查表得到
故
解得
所以，a的最大取值为260.
02 正态分布
第4讲 连续型随机变量及其分布
知识点解读—随机变量函数的分布
30
重点：
掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用.
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）

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