资源简介

(共25张PPT)
概率论与数理统计（慕课版）
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
第1章 随机事件与概率
2
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
3
全概率公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥.
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0.
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
4
设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.
例1
解
分别表示产品由甲、乙、丙厂生产
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
5
完备事件组
全概率公式
两两互斥
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
B表示产品为次品
01 全概率公式
02 贝叶斯公式
本 讲 内 容
7
O
F
(
x
)
x
1
)
O
f
(
x
x
01 全概率公式
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
8
全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,
则对任一事
件B，有
01 全概率公式
加法公式
乘法公式
B
9
证明
两两互不相容，
得
也两两互不相容；
01 全概率公式
某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是：
每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.
P(BAi)=
10
全概率公式的关键
数学模型
完备事件组
P(Ai)P(B |Ai).
01 全概率公式
设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.
例2
11
解
分别表示邮件来自账户1、2、3
完备事件组
B表示邮件为垃圾邮件
全概率公式
01 全概率公式
甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？
例3
12
解
实际中还有另一类问题：已知结果求原因
乙厂生产的可能性最大
贝叶斯公式
01 全概率公式
有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少
例4
13
解
对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求
出这一概率为
01 全概率公式
14
若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3 表示“产品分别来自一、二、三厂”，
则上式可以表示为：
其中B1，B2，B3 正是样本空间的一个划分.
01 全概率公式
01 全概率公式
02 贝叶斯公式
本 讲 内 容
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
设A1,A2,…,An是完备事件组，则对任一事件B，有
16
贝叶斯公式
02 贝叶斯公式
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.
——后验概率
在B已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.
P( Ai ) ——先验概率
17
02 贝叶斯公式
它是由以往的经验得到的，是事件 B的原因.
（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP 检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.
例5
18
解
记A=
{肝病患者}，
{经"AFP" 检测呈阳性} ,
B=
02 贝叶斯公式
由贝叶斯公式
经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.
19
02 贝叶斯公式
对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.
例6
20
解
A1=
B=
显然A1∪A2=
“机器未调整良好”，
“机器调整良好”，
A2=
“产品是合格品”，
S，
由题意，
A1 A2=
，
02 贝叶斯公式
21
由贝叶斯公式，有
即机器调整良好的概率为97%.
02 贝叶斯公式
某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？
例7
22
解
设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式
02 贝叶斯公式
23
由贝叶斯公式
故应从C元件开始检查.
同理
02 贝叶斯公式
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
24
这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝
叶斯公式.
家需要牢记，并会熟练运用.
在概率的计算中，经常用到这两个公式，大
知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）

展开更多......

收起↑