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概率论与数理统计（慕课版）
第2讲 古典概率与几何概率
第1章 随机事件与概率
01 古典概率
02 几何概率
本 讲 内 容
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最
抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰
3
01 古典概率
例1
简单的问题是等可能摡型，在这类问题中，样本空间
中每个样本点出现的可能性是相等的.
子，这类随机试验，它们都有如下的两个特点：
基本事件的个数有限.
4
01 古典概率
有限性等可能性.
注
结论
具有上述特点的随机试验E 称为古典(等可能)概型.
每个基本事件等可能性发生.
则
设随机试验E为古典概型，记:
对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题，
5
01 古典概率
古典概率
概率的古典定义.
注
该问题通常可以借助排列组合公式以及加法和乘法原
理等进行计算.
样本空间S中所包含的基本事件的个数.
事件A中所包含的基本事件的个数.
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01 古典概率
加法原理
乘法原理
设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有ni 种方法，
则完成这件事共有:n1+n2+ +nm 种不同的方法.
设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni 种方法，
则完成这件事共有: n1×n2×…×nm 种不同的方法.
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01 古典概率
排列公式
组合公式
从n个不同元素中任取k个的不同排列总数.
从n个不同元素中任取k个的不同组合总数.
设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰有k件次品的概率.
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01 古典概率
例2
解
令A=
超几何公式.
注
{恰有k件次品}
口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只
快充
普充
(1)有放回抽取：
9
01 古典概率
例3
解
(2)不放回抽取：
一只抽取，求第k次摸得黑球的概率．
无放回和有放回答案相同！
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01 古典概率
注
简单理解是“抽签理论或排队理论”：
电器含3个快充，每次抽中快充的概率都是3/10，
与次序无关！
如10个充
例4
把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总
口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取，
(2)不放回抽取.
求第k次摸得黑球的概率．
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01 古典概率
解法1
数就是a +b个球的全排列数 (a +b)!
事件A相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，
对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放法,故事件A包含的
每种放法又
样本点数为a(a+b－1)!
只考虑前k个位置
共a +b个次序，总数:从a +b个次序里边挑a
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01 古典概率
解法2
解法3
个给黑球.
下a +b-1个位置，挑a-1个给黑球：
事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩
.
.
.
（1）作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）；
（2）作不放回抽样（抽取后不再放回）；
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01 古典概率
例5
箱中放有a+b个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中a个充电器具有快充功能，其余b个没有快充功能，k(k≤a+b) 个人依次在箱中取一个充电器，
（3）求第i(i=1,2, ,k)人取到具有快充功能的充电器（记
为事件A ）的概率.
（1）放回抽样的情况下，每个人都有a+b 种抽取
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01 古典概率
解
法，
古典概率的定义:
（抽到具有快充功能的充电器）包含a种抽取方法，
由于其中a个充电器具有快充功能，因此事件A
由
.
于事件A 要求第i 人抽到具有快充功能的充电器，
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01 古典概率
（2）在不放回抽样的情况下，k个人依次抽取，根据乘
法原理，完成抽取后样本空间共有
个基本结果.
由
第i 人有a 种取法，其余k-1 人从剩余的a+b-1 个充电
种取法，
器中任选k-1 个，有
种基本结果，由古典概率的定义：
A 共包含
根据乘法原理事件
因而
.
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01 古典概率
从该例可以看出，无论是放回抽样还是不放回抽样，
抽到具有快充功能充电器的概率都和抽取顺序无关.
此问题和抽签问题类似，因此从概率意义上，抽签
是公平的，不必争先恐后.
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01 古典概率
例6
解
货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地. 现从货架上随机抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率.
A1 表示“两件商品都来自甲产地”，A2 表示“两
件商品都来自乙产地”.
即样本空间中有105个样本点.
有
从15件商品中取出两件，共
事件A1 要求两件商品都来自甲产地，因而事件A1 共包
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01 古典概率
含
个样本点，
本点.
而事件A=“两件上商品来自同一产地”可以表示
A1∪A2 ，且事件A1 和事件A2 互斥，
k=k1+k2=69个样本点，所以这两件上商品来自同一产地
的概率：
个样
同理事件包含
因而事件A包含
.
假设接待站的接待时间是没有规定, 而各来访者在
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例7
解
某接待站在某一周曾接待过12次来访, 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的, 问是否可以推断接待时间是有规定的
01 古典概率
一周的任一天中去接待站是等可能的.
访者都在周二、周四的概率为：
12次接待来
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人们在长期实践中总结得到“概率很小的事件在一次试
验中实际上几乎是不发生的”（实际推断原理）,
概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理
现在
由怀疑假设的正确性,
待来访者, 即认为其接待时间是有规定的.
从而推断接待站不是每天都接
01 古典概率
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例8
某福利彩票游戏规则：购买者从01-35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.
奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）； 二等奖：选7中6； 三等奖：选7中5+1；四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1； 六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1. 试计算单注中奖概率.
01 古典概率
这一类型彩票游戏可以看作不放回摸球问题：
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解
袋中有35个(同类型)球，其中6个红球1个黄球，28个白
一个
球.
现不放回从袋中取7个球，求7个球中恰有i个
红球和j个黄球的概率，i=
0，1，…6；
j=
0，1.
记 表示“恰有i个红球j个黄球”，则有：
因此中一等奖的概率
01 古典概率
23
类似可求得单注中k等奖的概率pk，k＝
2，……7，它们
分别为：
01 古典概率
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单注中奖概率为：
通过以上可以看出单注中奖的概率不到2%，而中头奖的概率仅有百万分之一点五左右，根据实际推断原理，偶尔买一次彩票就中大奖几乎是不可能的.
01 古典概率
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例9
解
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球（ ）.
（3）恰有 k 个盒子中各有一球.
01 古典概率
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球
（3）恰有 k 个盒子中各有一球
（每个盒子至多一球）
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )
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01 古典概率
注
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
例10“分房模型”的应用
下一讲揭晓.
恰有 k 个盒子中各有一球
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01 古典概率
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
解
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能
(1)设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);
S
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01 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
概率模型，但等可能概型还有其它类型，
一线段、平面或空间区域等，
概型，思路如下：
如样本空间为
这类等可能概型称为几何
该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域
(2)向区域S上随机投掷一点，
“随机投掷一点”的含义是:
S
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01 古典概率
的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.
设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为
S
A
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01 古典概率
31
01 古典概率
确定，只不过把 理解
(3)假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用
为长度或体积即可.
01 古典概率
02 几何概率
本 讲 内 容
33
几何概率
率为:
设样本空间为有限区域 S,
若样本点落入S内任何区域 A
中的概率与区域A的测度成正比,
则样本点落入A内的概
02 几何概率
.


(约会问题)在区间(0, 1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.
例11
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解法1
利用几何概型计算
解法2
利用均匀分布计算（第三章）.
A
1/2
1
O
y
x

02 几何概率
某人午觉醒来，发觉表停了, 他打开收音机，想听电台报时, 设电台每正点时报时一次, 求他等待时间短于10分钟的概率.
例12
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解
以分钟为单位, 记上一次报时时刻为0，
时刻为 60, 因此这个人打开收音机的时间必在区间(0,60)
内,
则有:
下一次报时
记 “等待 时间短于 10 分钟”为事件 A，
02 几何概率
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于是:
02 几何概率
.
(会面问题) 某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人半个小时, 过时就离开。 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率.
例13
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解
记7点为0时刻，x，y分别表示甲、乙两人到达指定
02 几何概率
地点的时刻，则样本空间为:
38
以A表示“两人能会面”，如图所示，
根据题意，这是一个几何概型，于是
02 几何概率
则有
1
1
2
1
2
1
2
1
|
x
-
y
|
＜
O
y
x
.
第2讲 古典概率与几何概率
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古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典
几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事


概型，必须学好排列组合公式.
去求样本点总数和事件包含的样本点个数.
件用正确的图形表示出来.
会利用排列组合公式
知识点解读—古典概型与几何概型
第2讲 古典概率与几何概率
40
几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常

运用积分等工具去求解.
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计

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