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概率论与数理统计（慕课版）
第4讲 条件概率与乘法公式
第1章 随机事件与概率
01 条件概率
02 乘法公式
本 讲 内 容
在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下
世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例
P(B|A) =

3
条件概率
01 条件概率
外.
通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得
定程度的相互影响．
多．
在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一
例如，在天气状况恶劣的情况下交
求事件的概率.
概率，将此概率记作P(B|A).
P(B).
如在事件A发生的条件下求事件B发生的
在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B) ,P(B|A).
例1
4
解
由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有
（1）有放回抽样
（2）无放回抽样
独立性
如何定义？
01 条件概率
5
01 条件概率
.
设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则称
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率.
同理
6
定义
01 条件概率
条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：
7
性质
01 条件概率
在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”.
例2
2) 可用缩减样本空间法
1) 用定义计算:
P(A)>0
A发生后的缩减样本
空间所含样本点总数
在缩减样本空间中
B所含样本点个数
无放回抽样
8
计算
01 条件概率
.
在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.
例3
9
解
设A=
依题意， P(A)=
所求概率为P(B|A) .
01 条件概率
{任取一件为合格品}，
B=
{任取一件为一等品}
0.96,
0.72.
P(B)=
设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，
则
10
利用事件的关系及概率性质公式求条件概率
例4
01 条件概率
.
由条件概率的定义：
若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).
11
注
乘法公式.
01 条件概率
某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算
（1）该职工技术优秀的概率；
（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.
例5
12
解
设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:
01 条件概率
13
(1)利用古典概率有
(2)通过缩减样本空间，有
01 条件概率
.
.
例6
14
01 条件概率
某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:
试求
15
解
01 条件概率
01 条件概率
02 乘法公式
本 讲 内 容
17
乘法公式
推广
02 乘法公式
18
a
b
-
1
a
b
O
F
(
x
)
x
b
a
1
02 乘法公式
x
f
(
x
)
O
盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回地取产品, 每次1个, 求
（1）取两次，两次都取得正品的概率;
（2）取三次，第三次才取得正品的概率.
例7
19
解
令 Ai 为第 i 次取到正品
02 乘法公式
（波利亚罐子--传染病模型）
一个罐子中包含b个白球和r个红球.
b个白球, r个红球
20
乘法公式应用举例8
02 乘法公式
随机地抽取一个球，观看颜色后放
进行四次，试求第一、二次取到白
球且第三、四次取到红球的概率.
回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
这种手续
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”
设Wi=
Rj=
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
P(W1W2R3R4)
21
解
02 乘法公式
1,2,3,4
{第i次取出是白球}，
i=
j=
{第j次取出是红球}，
1,2,3,4
.
记A=
为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.
例9
22
解
02 乘法公式
报警系统至少一个有效”可表示为A∪B，由于
“两个
“系统(Ⅰ) 有效”，
B=
“系统(Ⅱ)有效”，
且A和 互斥，因此:
23
02 乘法公式
学海无涯，祝你成功！
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