资源简介

　矩　形
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若四边形ABCD为平行四边形，__________(请添加一个条件)，则四边形ABCD是矩形；
【判定依据】____________________________；
(2)若四边形ABCD为一般四边形，且∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝________°，则四边形ABCD是矩形；
【判定依据】____________________________．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC和BD相交于点O.
(1)若AC＝4，则BC＝________，OC＝________，BD＝________；
(2)若∠AOB＝60°，则AC＝________；
(3)若BC＝6，则矩形ABCD的面积为________．
第2题图
知识逐点过
考点1 　矩形的性质及面积
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 矩形的对角线互相平分且相等
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形，有①______条对称轴，对称中心为两条②________的交点
面积公式 S＝③________
【温馨提示】矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形
考点2 　矩形的判定
角 1. 有一个角是④________的平行四边形是矩形； 2. 有三个角是⑤________的四边形是矩形
对角线 对角线⑥________的平行四边形是矩形
教材原题到重难考法
与矩形有关的证明与计算
例　
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAO的度数．
　例题图
变式题
1. AE垂直平分BO
如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，求OD的长．
　第1题图
2. 延长AE交BC于点F，连接DF
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AF垂直平分OB，交BD于点E，交BC于点F，连接DF，若AD＝3，求DF的长．
　第2题图
真题演练
1. 如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
(1)求证：四边形ACED是矩形；
(2)连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
　第1题图
基础过关
1. 两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝(　　)
A. α－90° B. α－45°
C. 180°－α D. 270°－α
第1题图　　
2. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是(　　)
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. 对角线BD的长度减小
C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变
第2题图
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝(　　)
A. B. C. D.
第3题图
4. 如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，点F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　　)
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第4题图
5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别为BC，OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为(　　)
A. 5 B. 5 C. 5 D. 4
第5题图　　
6. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为________cm2.
7. (2023台州)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为__________．
第7题图
8. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin ∠AFB＝，则DE＝__________．
第8题图
9. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AE＝BE，AB＝2，tan ∠ACB＝，求BC的长．
第9题图
综合提升
10. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(　　)
A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
11. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝__________．
第11题图
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：
　第12题图
(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；
(2)连接AD，若AD＝5，＝，求AC的长．
矩　形
1. (1)∠ABC＝90°(答案不唯一)，
【判定依据】有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)90，
【判定依据】有三个角是直角的四边形是矩形．
2. (1)2，2，4；(2)4；(3)12.
教材原题到重难考法
例　解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴4∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，
∴∠BAO＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
1. 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝2OE，
∵AE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理可得，OA2－OE2＝(2)2，即4OE2－OE2＝12，
∴OE＝2(负值已舍去)，
∴OD＝OB＝2OE＝4.
2. 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，
∵AF垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴△OAB是等边三角形，
设AB＝x，则BD＝2x，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得，AD2＋AB2＝BD2，即32＋x2＝(2x)2，
解得x＝(负值已舍去)，
∴AB＝，BD＝2，
∴CD＝，
∵△OAB是等边三角形，AF⊥OB，
∴∠BAE＝ ∠BAO＝30°，
设BF＝y，则AF＝2y，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得，BF2＋AB2＝AF2，即y2＋()2＝(2y)2，
解得y＝1(负值已舍去)，
∴BF＝1，CF＝2，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得，CD2＋CF2＝DF2，即()2＋22＝DF2，解得DF＝，(负值已舍去)
∴DF＝.
知识逐点过
①两　②对角线　③ab　④直角　⑤直角　⑥相等
真题演练
1. (1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
(2)解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，
∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的长为2.
基础过关
1. C　【解析】如解图，根据矩形的性质知，∠2＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3.∵∠1＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°－α.
第1题解图
2. C　【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵向左扭动框架，∴BD的长度减小，故B正确；∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD的面积变小，故C错误；∵平行四边形ABCD的四条边长度不变，∴四边形ABCD的周长不变，故D正确．
3. D　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∴＝tan ∠ACB＝tan 30°＝.
4. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵点F是CE的中点，∴BF＝CF＝EF＝CE＝5.由题意得BG＝BF＝5，∴AG＝＝＝3.
5. B　【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠OBC＝30°＋30°＝60°，∴△ABO是等边三角形，∵AB＝10，∴OB＝AB＝10.∵点M，N分别为BC，OC的中点，∴MN是△BOC的中位线，∴MN＝OB＝5.
6. 48　【解析】∵矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，由勾股定理可得矩形的另一边长为8 cm，∴矩形的面积为6×8＝48(cm2).
7. 2　【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，∴∠A＝90°，BC＝AD＝6，AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠A＝∠BFC，∵BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS)，∴AE＝BF.∵BC＝6，∴BE＝6，∵AB＝4，∴在Rt△BAE中，AE＝＝＝2，∴BF＝2.
8. 5　【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，AF＝AD＝10，EF＝DE，∵sin ∠AFB＝，∴在Rt△ABF中，AB＝AF·sin ∠AFB＝8，∴BF＝＝6，CF＝BC－BF＝4.设EF＝DE＝a，CE＝CD－DE＝8－a.在Rt△FCE中，EF2＝CE2＋CF2，即a2＝(8－a)2＋42，解得a＝5，∴DE＝5.
9. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
(2)解：∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2.
∵AE＝BE，AB＝2，
∴2AE2＝4，
∴AE＝BE＝.
∵tan ∠ACB＝，
∴＝，∴CE＝2，
∴BC＝BE＋CE＝＋2＝3.
10. C　【解析】 A．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B.∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的长为AD与BC间的距离，∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意．
11. 　【解析】如解图，连接OE.∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝12，∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝12，AC＝BD.在Rt△ABD中，BD＝＝13，∴AC＝BD＝13.∵对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO＝ BO＝DO＝.∵S△BCO＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△BCO＝S△BEO＋S△CEO＝BO·EG＋CO·EF＝×(EG＋EF)＝15，∴EF＋EG＝15×＝.
第11题解图
12. 解：(1)任选择一位同学证明即可.
选择小星的说法．
证明如下：如解图，连接BE，
∵AE∥BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD.
又∵BC＝BD，∴AE＝BC，
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠C＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴BE⊥CD；
第12题解图
(2)如解图，设CB＝2x，则AC＝3x，
∴BD＝BC＝2x，
∴CD＝4x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AD＝＝5x.
又∵AD＝5，
∴5x＝5，解得x＝，
∴AC＝3.

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