资源简介

　菱　形
1. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.
第1题图
(1)若四边形ABCD为平行四边形，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；
【判定依据】________________________；
(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；
【判定依据】________________________．
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.
第2题图
(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；
(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；
(3)菱形ABCD的周长为________，面积为________．
知识逐点过
考点1 　菱形的性质及面积
边 对边平行，四条边①________
角 对角②________
对角线 对角线互相③________，并且每一条对角线④________一组对角(人教独有)
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤______条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点
面积公式 S＝ah＝mn
【温馨提示】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
考点2 　菱形的判定
边 1.有一组⑥________的平行四边形是菱形(定义)；2．⑦________相等的四边形是菱形
对角线 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
真题演练
命题点 与菱形性质有关的计算
1. 菱形的边长为5，则它的周长为________．
2. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．
　第2题图
拓展训练
3. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．
第3题图
教材原题到重难考法
与菱形有关的证明与计算
例　
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠DEF＝∠DFE.
　例题图
变式题
1. 变菱形中所含的三角形顶角为特殊角，满足120°角含60°角的半角模型
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且∠A＝∠EDF＝60°.若AE＋CF＝6，求菱形ABCD的面积．
　第1题图
2. 连接对角线，探究线段间的数量关系
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的动点，AB＝4，AE＝BF，∠A＝60°，连接BD，DE，DF，EF，EF与BD相交于点G.
(1)求证：△AED≌△BFD；
(2)若BF＝1，求的值．
　第2题图
基础过关
1.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
第1题图　　　
2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第2题图
3. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是(　　)
A. (5，－2) B. (2，－5) C. (2，5) D. (－2，－5)
第3题图　
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝(　　)
A. 2 B. C. 3 D. 4
第4题图
5. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__________，使四边形ABCD成为菱形．
第5题图
6. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为__________．
7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．
第7题图　　　
8. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin ∠BAC＝__________．
第8题图
9. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为点B，D，若AB＝6 cm，则EF＝________cm.
第9题图
10. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求证：AE∥BF；
(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．
第10题图
综合提升
11. 如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________.　
第11题图
新考法推荐
12.(注重教材定理的证明)
思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为点O.求证： ABCD是菱形．
知识应用
(2)如图②，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
图①　图②
第12题图
　菱　形
1. (1)AC⊥BD(答案不唯一)
【判定依据】对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(2)AB＝AD(答案不唯一)
【判定依据】四条边都相等的四边形是菱形．
(1)2，1，1，；(2)120°，30°，60°；(3)8，2.
知识逐点过
①相等　②相等　③垂直且平分　④平分　⑤两　⑥邻边相等　⑦四条边
真题演练
1. 20　【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.
2. (1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF；(3分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAF＝60°，(5分)
∵∠BAD＝∠FAD，
∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)
3. 9　【解析】如解图，连接AC交BD于点O，记EF交BD于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，且AO＝CO，BO＝DO＝BD＝4，在Rt△ABO中，AB＝5，BO＝4，∴AO＝3，∴AC＝6，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝3，GO＝BO＝2，∵DO＝4，∴DG＝6，∴S△DEF＝EF·DG＝×3×6＝9.
第3题解图
教材原题到重难考法
例　证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝CD，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)知△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE.
1. 解：如解图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴CD＝BD，∠C＝∠DBE＝∠BDC＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠FDC＝60°，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△DBE≌△DCF，
∴BE＝CF，
∵AE＋CF＝6，
∴AE＋BE＝6＝AB，
∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×AB2＝18.
第1题解图
2. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠A＝∠DBF＝60°，AD＝BD.
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD(SAS)；
(2)解：如解图，过点E作EM∥AD交BD于点M，
第2题解图
由(1)知△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝60°，
∵EM∥AD，
∴∠BEM＝∠A＝∠ABD＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵AB＝4，BF＝1，
∴EM＝BE＝AB－AE＝AB－BF＝3，
∵EM∥AD，BF∥AD，
∴BF∥EM，
∴△BGF∽△MGE，
∴＝＝.
基础过关
1. C　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∠ACD＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.
2. B　【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形．当CD＝CE＝4时，四边形ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
3. B　【解析】∵四边形ABCD是菱形且对角线交点与坐标原点O重合，∴OA＝OC，且点A与点C关于原点对称．∵点A(－2，5)，∴点C的坐标是(2，－5).
4. B　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.∵BD＝8，AC＝6，∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝＝5.在Rt△OBC中，∵∠BOC＝90°，点E是BC的中点，∴OE＝BC＝.
5. AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD等)　【解析】 当添加AD∥BC时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加AB＝CD时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加OB＝OD时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加∠ADB＝∠CBD时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.
6. 24　【解析】 根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，该菱形的面积为×6×8＝24.
7. 10　【解析】 ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵AB＝10，∴AC＝AB＝10.
8. 　【解析】 由题意可设AC＝6x，BD＝8x，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝3x，OB＝4x，∴AB＝＝5x.在Rt△BAO中，sin ∠BAC＝＝＝.
9. 2　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠DAB＝60°，∴∠EAB＝∠DCF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠FDA＝∠FAD＝30°，∴AF＝DF，AB＝CD.∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠ABE＝∠CDF＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(ASA)，∴BE＝DF.∴BE＝AF，在Rt△ABE中，设BE＝AF＝x，则AE＝2x，即x2＋62＝(2x)2，解得x＝2，∴EF＝AE－AF＝2.
10. 证明：(1)∵AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋DC，
即AC＝BD.
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD(SSS)，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
(2)方法一：由(1)知，∠A＝∠B，
在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴DE＝CF.
又∵EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形．
方法二：由(1)知，△AEC≌△BFD，
∴∠ECA＝∠FDB，
∴EC∥DF.
又∵EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形．
11. 24　【解析】∵CF∥BE，∴∠BEO＝∠CFO.∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，∴BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，∴△BOE≌△COF(AAS)，∴BE＝CF，OE＝OF，∴四边形BFCE为平行四边形．∵EF⊥BC，∴ BFCE为菱形．∵在 ABCD中，AD＝8，∴BC＝8，∴OC＝BC＝4.∵CE＝5，∴在Rt△EOC中，OE＝＝＝3，∴S菱形BFCE＝BC·EF＝BC·2EO＝×8×2×3＝24.
12. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AC⊥BD，垂足为点O，
∴AC与BD相互垂直平分，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形；
(2)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3.
∵AD＝5，
∴AD2＝AO2＋DO2，
∴△AOD是直角三角形且∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ABCD为菱形；
②解：如解图，过点O作OG∥BC交CD于点G.
由题意及(2)①易知菱形ABCD 中，AC⊥BD ，BO＝3，CO＝4，BC＝5，CA平分∠BCD，
∴∠BCO＝∠OCD＝∠BCD.
∵∠E＝∠ACD＝∠OCD，∠BCO＝∠E＋∠COE，
∴∠BCO＝2∠E，
∴∠COE＝∠E，
∴CE＝OC＝4.
∵OG∥BC，O为BD的中点，
∴OG为△BDC的中位线，
∴OG＝BC＝，△OFG∽△EFC，
∴＝ ，
∴＝ ，
∴＝.
第12题解图

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