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正方形
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
　第1题图
(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；
【判定依据】__________________________；
(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；
【判定依据】__________________________；
(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；
【判定依据】__________________________．
2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；
(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；
(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；
(4)若OA＝4，则正方形ABCD的面积是________，周长是________．
　第2题图
知识逐点过
考点1 　正方形的性质及面积
边 四条边都相等，对边平行
角 四个角都是直角
对角线 1.对角线相等且互相①________；2．每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点
面积公式 S＝a2＝l2
【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
考点2 　正方形的判定
边 1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形
角 有一个角是⑤________的菱形是正方形
对角线 1.对角线⑥________的矩形是正方形； 2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形
考点3 　平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
考点4 　中点四边形
概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半
教材原题到重难考法
与正方形有关的证明与计算
例　
如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．
　例题图
变式题
1. 结合角度求线段长
如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时，求AF的长．
　第1题图
2. 过点F作AB边的垂线
如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．
　第2题图
3. 过点F分别作AB，BC边的垂线
如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.
(1)求证：EG＝DF；
(2)若正方形的边长为3＋，∠BGE＝30°，求DF的长．
　第3题图
真题演练
命题点 正方形性质的相关计算
1. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第1题图
2. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．
　
第2题图
基础过关
1. 正方形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等
2. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是(　　)
A. 互相平分 B. 互相垂直
C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等
3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是(　　)
A. (3，－3) B. (－3，3) C. (3，3) D. (－3，－3)
第3题图
4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(　　)
A. 2α B. 90°－2α C. 45°－α D. 90°－α
第4题图
5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________，
使得矩形ABCD为正方形．
6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．
第6题图　
7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.
第7题图
8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．
第8题图　　　
9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．
第9题图
10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
第10题图
综合提升
11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝(　　)
A. 2 B. C. ＋1 D.
第11题图　　
12. 如图，在正方形ABCD中，点E为BD上一点，DE＝3BE，连接AE，过点E作AE的垂线，交CD于点F，连接AF交BD于点G.下列结论：①sin ∠BAE＝；②∠EAF＝45°；③点F为CD的中点；④BE＋DG＝GE.其中正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　
第12题图
13. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2β，则n＝(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第13题图
　正方形
1. (1)AC＝BD，且AC⊥BD(答案不唯一)；
【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)；
(2)AC⊥BD(答案不唯一)；
【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形；
(3)∠ABC＝90°(答案不唯一)，
【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．
2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，2；(4)32，16.
教材原题到重难考法
例　解：△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△CDF≌△CBF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
在△DCF和△BCF中，
，
∴△DCF≌△BCF(SAS).(选择其中任意一对证明即可)
1. 解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠AFB＝180°－∠BAC－∠ABF＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4.
2. 解：如解图，连接BF，
第2题解图
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°，
∵EF⊥AB，
∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4，
∴BF＝＝2，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴DF＝BF＝2.
3. (1)证明：如解图，连接FB.
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵AF＝AF，
∴△DAF≌△BAF，
∴DF＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵FG⊥BC，FE⊥AB，
∴∠FGB＝∠FEB＝90°，
∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°，
∴四边形FEBG是矩形，
∴EG＝FB，
∴EG＝DF；
(2)解：∵正方形的边长为3＋，∠BGE＝30°，
∴BC＝3＋，
∴BG＝BC－CG＝3＋－CG，
∵∠BGE＝30°，
∴BG＝BE，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠DCF＝∠BCF＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝∠FGB＝90°，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
∵四边形FEBG是矩形，
∴EB＝FG，
∴FG＝CG＝EB，
设FG＝CG＝EB＝x，
∴GE＝2x，
∴BG＝BE＝x，
∵BG＝BC－CG＝3＋－x，
∴3＋－x＝x，
∴x＝，
∴GE＝2x＝2，
∴DF＝BF＝GE＝2.
第3题解图
知识逐点过
①垂直平分　②对角线　③直角　④相等　⑤直角　⑥互相垂直　⑦相等　⑧垂直平分且相等
真题演练
1. C　【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝ AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝ AN·FG＝×2×1＝1，S△ADM＝ AD·DM＝ ×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确．
2. 15　【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝(1＋4)×6＝15.
第2题解图
基础过关
1. B
2. D　【解析】如解图，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH为平行四边形．要使其为正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，则AC⊥BD，AC＝BD，即对角线一定互相垂直且相等．
第2题解图
3. C　【解析】 ∵边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，∴OB＝BC＝3，∴C(3，3).
4. A　【解析】如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°.在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2(90°－α)＝2α.
第4题解图
5. AB＝BC(答案不唯一，符合条件即可，如：AC⊥BD)　【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB＝BC；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC⊥BD.
6. 2　【解析】如解图，过点E作EF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴EF＝AB＝2，∴S△BCE＝BC·EF＝×2×2＝2.∵S正方形ABCD＝BC2＝22＝4，∴S阴影＝S正方形ABCD－S△BCE＝4－2＝2.
第6题解图
7. 2　【解析】如解图，依题意得OD＝AD＝2，OE＝OD＝，∴图中阴影部分的面积为OE2＝()2＝2(dm2).
第7题解图
8. 3　【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F.∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴点P到直线AB的距离为PF＝3.
第8题解图
9. 　【解析】∵CE＝7，△CEF的周长为32，∴CF＋EF＝32－7＝25.∵点F为DE的中点，∴DF＝EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴CF＝EF＝DF＝，∴DE＝25，∴在Rt△DCE中，CD＝＝24，∴BC＝CD＝24.∵点O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝(BC－CE)＝(24－7)＝.
10. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°.
∵MF∥AD，
∴∠DFM＝90°，
∴四边形ADFM为矩形，
∴MF＝AD＝AB.
∵MN垂直平分BE，
∴∠BOM＝90°，
∴∠ABE＋∠BMO＝90°.
∵∠FMN＋∠BMO＝90°，
∴∠ABE＝∠FMN.
在△ABE和△FMN中，
，
∴△ABE≌△FMN(ASA)；
(2)解：如解图，连接ME.
∵MN垂直平分BE，
∴ME＝BM.
设BM＝x，则AM＝8－x，ME＝x.
在Rt△AME中，由勾股定理得ME2＝AE2＋AM2，即x2＝62＋(8－x)2.
解得x＝，即BM＝.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝10.
∵∠MBO＝∠EBA，∠MOB＝∠A，
∴△BOM∽△BAE，
∴＝，
∴OM＝＝＝.
由(1)知△ABE≌△FMN，
∴MN＝BE＝10，
∴ON＝MN－OM＝10－＝.
第10题解图
11. B　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，CD∥AB，CD＝AB.∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴＝.∵AF＝2，FB＝1，∴＝.∵CD∥AB，∴CD∥AG，∴∠DCE＝∠GAE，∠CDE＝∠AGE，∴△DCE∽△GAE，∴＝＝，∴AG＝2CD，∴CD＝AB＝BG.∵∠DCM＝∠GBM＝90°，∠DMC＝∠GMB，∴△DCM≌△GBM(AAS)，∴DM＝GM＝DG.∵AF＝2，FB＝1，∴AB＝3.∵AD＝AB＝3，∴AG＝6，∴在Rt△DAG中，DG＝＝3，∴MG＝.
12. B　【解析】 如解图，延长AE交BC于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD∥BC，∴△ADE∽△HBE，∴＝，∵DE＝3BE，∴AD＝3HB，∴AB＝3HB，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH＝＝HB，∴sin ∠BAE＝＝，①错误；如解图，过点E分别作AB，CD的垂线，交AB，CD于点M，N，∴∠AME＝∠ENF＝90°，∴∠AEM＋∠MAE＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM＋∠NEF＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∵∠MBE＝45°，∴MB＝ME，∵AB＝MN，∴AM＝EN，∴△AME≌△ENF，∴AE＝EF，∵∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，②正确；∵△AME≌△ENF，∴ME＝NF＝MB，∵BE＝ME，∴CF＝2ME＝BE，∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∴CD＝BD＝2BE，∴CD＝2CF，∴点F为CD的中点，③正确；∵点F为CD的中点，∴DF＝CD＝AB，∵AB∥CD，∴△FDG∽△ABG，∴＝＝，∴DG＝BD，GB＝BD，设BE＝x，则DE＝3x，BD＝4x，∴DG＝x，GB＝x，∴GE＝GB－BE＝x，∴BE＋DG＝x≠GE，④错误．
第12题解图
C　【解析】设BF＝a，AF＝b，则AB＝，EF＝b－a，∴tan α＝tan ∠BAF＝＝，tan β＝tan ∠BEF＝＝.∵正方形EFGH∽正方形ABCD，∴＝()2＝＝＝.∵tan α＝tan2β，∴＝.∴(b－a)2＝ab，b2＋a2－2ab＝ab，∴a2＋b2＝3ab，∴n＝＝＝＝3.

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