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圆的基本性质
1.如图，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，B是的中点，若∠AOC＝120°，则∠AOB＝________，∠BOC＝________，∠COD＝________，与的大小关系为________，AB与CD的数量关系为________．
第1题图
2. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．AB与CD交于点E，且AB⊥CD，连接OC.
(1)＝________，＝________；
(2)若CD＝4，AE＝6，则CE＝________，OC＝________．
　
第2题图
3. 如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，∠CBD＝70°，则∠CAD＝________，∠AOC＝________，∠ABC＝________．
第3题图　
4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．
(1)若∠BAD＝52°，则∠DCE＝________°；
(2)若∠ABC＝100°，则∠ADC＝________°.
第4题图
5. 如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为________．
第5题图
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.
第6题图
(1)∠ADB的度数为________；
(2)若⊙O的直径为6，则线段BC的长为________．
知识逐点过
考点1 　圆的有关概念及性质
1. 相关概念
圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中AC，BC
直径 经过①________的弦叫做直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中；大于半圆的弧叫做优弧，如图中
圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图中②______
圆心角 顶点在③________的角叫做圆心角，如图中④________
【温馨提示】不在同一直线上的三点确定一个圆
2. 性质
对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；圆也是中心对称图形，⑤________是它的对称中心
旋转不变性 圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合
考点2 　垂径定理及其推论
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径⑥________于弦，并且⑦________弦所对的两条弧
【温馨提示】根据圆的对称性，在以下5个结论中：①＝；②＝；③AE＝BE(AB不是直径)；④CD⊥AB；⑤CD是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”
考点3 　弦、弧、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧________，所对的弦也⑨________；如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则＝⑩______，AB＝ ______
推论 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦分别 __________；如图，若＝，则∠AOB＝ ________，AB＝CD；2. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角和弧分别 ________；如图，若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD， ________＝
考点4 　圆周角定理及其推论
定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ________
推论 1. 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ________；2. 直径(或半圆)所对的圆周角是 ________，90°的圆周角所对的弦是 ________
常见图形及结论 图① 图② 图③
∠APB＝∠AOB
应用 如图①，已知AP是⊙O的直径，点B是圆上一点，连接AB，则有∠ABP＝90°
【温馨提示】1. 一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；2. 一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角
考点5 　三角形的外接圆及外心
圆心 外心(三角形三条边的 ____________的交点)
性质 三角形的外心到三角形______________
角度关系 ∠BOC＝2∠A
【知识拓展】1. 直角三角形外接圆的半径：R＝c(c为斜边长)；2. 等边三角形外接圆的半径：R＝a(a为边长)
考点6 圆内接四边形
概念 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，则这个四边形叫做圆内接四边形
性质 1. 圆内接四边形的对角________，如图，∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝________；2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的________，如图，∠DCE＝________
考点7 　正多边形与圆
中心角 θ＝ 设正n边形的边长为a
边心距 r＝
周长 C＝na
面积 S＝nar＝lr
真题演练
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝(　　)
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第1题图
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1, 则⊙O的直径为(　　)
第2题图
A. B. 2 C. 1 D. 2
3. 同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是________．
教材原题到重难考法
与圆基本性质有关的证明及计算
例　
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD和∠BCD之间有什么关系？为什么？
　例题图
变式题
连接BD，结合角平分线
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
　第1题图
2. 线段AC未经过圆心，结合线段相等
如图，AD与△ABC的外接圆交于点D，设DB与AC交于点E，若DA＝DE，∠ADB＝∠BDC，⊙O的半径为5，BC＝6，求BE的长．
　第2题图
基础过关
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为(　　)
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
第1题图　　　
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为(　　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第2题图
3. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是(　　)
A. 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸
第3题图
4. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，点C为的中点，若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　)
A. 140° B. 120° C. 110° D. 70°
第4题图
5. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为(　　)
A. 32° B. 42° C. 48° D. 52°
第5题图　　　
6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是(　　)
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
第6题图
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝(　　)
A. 25° B. 50° C. 60° D. 65°
第7题图
8. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，是⊙O的一部分，点D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，O B.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则⊙O的半径OA为(　　)
A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm
图①
　
图②
第8题图
9. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　　)
A. 60° B. 54° C. 48° D. 36°
第9题图
10. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC距离及sin ∠ACD的值．
第10题图
综合提升
11. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.
(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
第11题图
12.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器__________台．
　第12题图
　圆的基本性质
1. 60°，60°，60°，＝，AB＝CD.
2. (1)，；
(2)2，.【解析】如解图，连接OD，∵OC＝OD，OE⊥CD，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝2，设OC＝r，∴AO＝r，∵AE＝6，∴OE＝6－r，∵AE⊥CD，∴在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2，即r2＝22＋(6－r)2，解得r＝.
第2题解图
3. 70°，40°，20°.【解析】∵＝，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠AOC＝40°，∵＝，∴∠ABC＝∠AOC＝20°.
4. (1)52；【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝128°，∴∠DCE＝180°－∠BCD＝52°.
(2)80.
5. 32　【解析】如解图，连接OA，则OA＝OC＝5，∵圆心O恰好在中线CD上，∴AB＝2AD，CD⊥AB，设AD＝x，则CD＝AB＝2x，OD＝CD－OC＝2x－5，在Rt△OAD中，OD2＋AD2＝OA2，∴(2x－5)2＋x2＝52，解得x＝4，∴CD＝AB＝2x＝8，∴S△ABC＝AB·CD＝×8×8＝32.
第5题解图
6. (1)30°；【解析】如解图，连接OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°.
第6题解图
(2)3.【解析】∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ADB＝30°，∴AB＝AD＝3，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴BC＝AB＝3.
广东近6年真题
1. B　【解析】∵AB是⊙O直径，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝90°，∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵＝，∴∠D＝∠B＝40°.
2. B　【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1.∵AD＝AC－CD＝3－1＝2，∴在Rt△ADE中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.
第2题解图
3. 50°　【解析】∵所对的圆心角是100°，∴所对的圆周角为×100°＝50°.
教材原题到重难考法
例　解：∠BAD＋∠BCD＝180°，理由如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝180°.
1. 解：(1)△ABC为等腰直角三角形．
证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
∵∠ADB和∠ACB为同弧所对的圆周角，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形，
∵AB＝，
∴AC＝AB＝×＝2，
∵在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝＝＝.
2. 解：如解图，连接OB，OC，设OB交AC于点F，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴＝，
∴OB⊥AC，OB＝OC＝5，
设OF＝x，则BF＝5－x，
∴CF2＝52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，
∴OF＝，BF＝，
在Rt△OCF中，CF＝＝＝，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠DBC，
∴EC＝BC＝6，
∴EF＝EC－CF＝6－＝，
在Rt△BEF中，BE＝＝＝.
第2题解图
知识逐点过
①圆心　②∠ACB　③圆心　④∠AOB　⑤圆心　⑥垂直　⑦平分　⑧相等　⑨相等　⑩
CD　 相等　 ∠COD　 相等
　 一半　 相等　 直角　 直径　 垂直平分线　各顶点的距离相等　互补　180°　180°　内对角　∠A
基础过关
1．D　【解析】根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝110°.
2. B　【解析】 ∵四边形ABCD内接于⊙O，BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°.∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.
3. C　【解析】 ∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°.∵BD＝25，CD＝7，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝＝24(寸).
4. A　【解析】如解图，连接OC.∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝70°.∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝140°.
第4题解图
5. A　【解析】∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.
6. A　【解析】 ∵四边形ABCD为圆内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝65°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－65°＝25°.
【一题多解】 如解图，连接OC.∵∠ADC＝115°，∴所对的圆心角为2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°－180°＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°.
第6题解图
7. D　【解析】 如解图，连接OB.∵＝，∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝×(180°－∠AOB)＝65°.
第7题解图
8. A　【解析】∵点D是的中点，OD是⊙O的半径，∴OD垂直平分AB，∵AB＝24，∴AC＝AB＝12 cm.设OA＝r cm，则OC＝(r－8)cm，在Rt△AOC中，由勾股定理得r2＝122＋(r－8)2，解得r＝13，即半径OA的长为13 cm.
9. D　【解析】由题意得∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.
10. 解：(1)作AC的垂线如解图所示；
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P，Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O.
(2)如解图，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝AC＝4.
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，即点O到AC的距离为3.
在Rt△CDE中，∵DE＝OD－OE＝5－3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2，
∴sin ∠ACD＝＝＝.
第10题解图
11. 解：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝CD.
∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC.
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC，DE⊥AC，
∴∠ADB＋∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°；
【一题多解】 ∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC.
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABD＋∠ADB＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°，
∴∠BAD＝90°；
(2)∵AC＝AD，且由(1)得AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∠ABC＝180°－∠ADC＝120°，
∴∠CBF＝60°.
∵∠BAD＝90°，
∴BD是此圆的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵CF∥AD，
∴∠F＝180°－∠BAD＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠CBF＝30°.
∵BF＝2，
∴BC＝2BF＝4，
∴BD＝2BC＝8，
即此圆的直径是8，
∴此圆的半径是4.
12. 4　【解析】∵同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半，∴要覆盖整个展区所需的监控角度之和要不少于180°，则最少需要4台监视器．

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