资源简介

数列递推及通项应用
目录
题型 01递推基础：等差数列定义型
题型 02递推基础：等比数列定义型
题型 03累加法求通项
题型 04累加法求通项：裂项型
题型 05累加法求通项：换元型
题型 06累积法求通项
题型 07待定系数型等比求通项
题型 08分式型求通项
题型 09不动点方程求通项
题型 10前n项和型求通项
题型 11前n项积型求通项
题型 12因式分解型求通项
题型 13同除型构造等差数列求通项
题型 14同除型构造等比数列求通项
题型 15周期数列求通项：分段型
题型 16周期数列求通项：三阶型
题型 17奇偶各自独立型求通项
高考练场
题型 01递推基础：等差数列定义型
【解题攻略】
等差数列的判定方法
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an+1-an=定值；
②等差中项法：即证 2an+1= an+an+2；
③函数结论法：即 an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
1 (2024上·山东威海·高三统考)已知数列 {an}，对 m,n∈N 都有 am+an= am+n，且 a1= 1，则 a2+a4+
+a2n= .
2 (2024上 ·天津 ·高三天津市第一百中学校联考期末)在数列 an 中，a 1= 6，且 nan+1- n+ 2 an=
n n+ 1 n+ 2 ，则 an= .
【变式训练】
1 (2023下·全国· 1 1 a高三校联考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 1, - = 3 n∈N ，则 3 =an+1 an a2
1
a1-a， n+ + + = .a1a2 a2a3 an-1an
2 (2024上·海南海口·高三海南中学校考)在数列 {a } a > 0,a = 1 , 2 - 2n 中， n 1 = 1，则 a =2 2 2 9an+1 an
．
a
3 (2023 1上·四川成都·高三校联考阶段练习)已知各项均不为 0的数列 a 满足 n+1n = ，且 a =a 1n an+1
1
，则 a
2 2023
= ．
题型 02递推基础：等比数列定义型
【解题攻略】
等比数列的判定方法：
(1) a定义法：“欲证等比，直接作比”，即证 n+1 = q(q≠ 0的常数) 数列 {an}是等比数列；an
(2)等比中项法：即证 a2 *n+1= an·an+2(anan+1an+2≠ 0，n∈N ) 数列 {an}是等比数列．
1 (2023·河南郑州·统考二模)已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1= 2，Sn+1 S nn+1-3 = Sn Sn+3n ，
则S2023= ( )
2023 2022
A. 32023-1 B. 32023+1 C. 3 +1 D. 3 +1
2 2
2 (2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知数列 an 满足：对任意的m，n∈N*，都有
aman= am+n，且 a2= 3，则 a20= ( )
A. 320 B. ±320 C. 310 D. ±310
【变式训练】
1 (2022上·山东日照·高三统考)正项数列 an 中，an+1= kan(k为常数)，若 a2021+a 22022+a2023= 3，则 a2021
+a2 22022+a2023的取值范围是 ( )
A. 3,9 B. [3，9] C. 3,15 D. [3，15]
2 (2022· 1陕西·校联考模拟预测)在数列 an 中，a1= 1，数列 + 1 是公比为 2的等比数列，设Sa n为n
an 的前n项和，则下列结论错误的是 ( )
A. an= 1n B. a
1 1
- n
= +
2 1 2n 2
C. 7数列 an 为递减数列 D. S3> 8
3 (2022·山西吕梁·统考一模)已知Sn为数列 an 的前n项和，且 a1= 1，an+1+an= 3× 2n，则S100=
( )
A. 2100-3 B. 2100-2 C. 2101-3 D. 2101-2
2
题型 03累加法求通项
【解题攻略】
对于递推公式为an-an-1= f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
a
1 已知数列 a 满足 a = 10 ， n+1
-an = an 1 2，则 n 的最小值为 ( )n n
A. 2 10 -1 B. 11 C. 16 D. 27
2 3 4
2 已知数列 an 中，a1= 1，n≥ 2时，an= an-1+2n- 1，an= .
【变式训练】
1 (2023下·北京·高三北京八中校考)若数列 an 满足 a1= 1,an+1= an+n+ 1 n∈N * ，则通项公式为 an
= .
2 (2022· 3陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知数列 an 满足 a1= ，a4 n+1-an= 2n+ 1，则数列
1
的前 100项和Sa 100= ．n
3 (2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)设数列 an 满足 an+1= an+2(n+ 1)，n∈N*，a1=
2，则数列 (-1)nan 的前 50项和是 ．
题型 04累加法求通项：裂项型
【解题攻略】
an+1
形如： = f n 的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
an
利用累乘法求通项：an= a1 f(1) f(2) f(3) ... f(n- 1) (一定注意，是n- 1项积)
1 (2022·北京·清华附中高三开学考试 (理))已知数列 {an}满足 a1= 2，(n- 1)an= nan-1+n(n- 1) (n≥ 2)，
则 {an}的通项公式为__．
2 (2023 n+ 1 1上海市南洋模范中学高三阶段练习)数列 xn 中，x1= 0，xn+1= xn+ n∈N ，则数列n n
xn 的通项公式 xn= .
【变式训练】
1 (2023 1下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考)已知数列 an 满足 a1= 1,an+1-an= ，
n(n+ 2)
则 a5= ( )
A. 7 B. 17 C. 47 D. 51
5 12 30 40
2 (2023 1下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= ，a2 n+1= an
3
+ 1 ，则
2 an 的通项为 ( )n +n
A. a = 1 ，n≥ 1，n∈N n B. a = 3 + 1 ，n≥ 1，n∈N n+ 1 n 2 n
C. a =- 3 - 1 n≥ 1 n∈N D. a = 3 - 1， ， ，n≥ 1，n∈N n 2 n n 2 n
3 ( a a2021·全国· 1高三专题练习)在数列 an 中，a1= 2， n+1 n+ = + ln 1+ ，则 an= ( )n 1 n n
A. a8 B. 2+ n- 1 lnn C. 1+n+ lnn D. 2n+nlnn
题型 05累加法求通项：换元型
1 ( a + (n+ 2)2022· n+1 n+ 3全国·高三阶段练习 (理))已知数列 an 满足 a1= 2, = + ,数列 an 的通项公式an+ (n+ 1) n 1
为 an= .
2 (2021上 ·陕西西安 · a a高三西安市铁一中学校考阶段练习)数列 an 满足 a 1=-1，且 n+1+ =
n +
n 1 n
2 (n∈N *)，则 a22= ( )
n(n+ 1)
A. -1 B. 20 C. 21 D. 22
【变式训练】
1 (2021上·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)已知数列 an 的首项为 1，且 n+ 1 an+1=nan
+n n∈N * ，则 an 的最小值是 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2
2 (2023·全国·高三专题练习)已知 a1= 1，且nan+1= (n+ 2)an+n，则数列 an 的通项公式为
a
3 (2022·甘肃白银·高三)已知数列 an 中，a1= 2，当n≥ 2时，an= 2a nn-1+ n- 1 2 ，设 bn= n
2n
，则数
列 bn 的通项公式为 ( )
n2A. -n+ 2
2
B. n +n- 1 n
2
C. -2n+ 3 D. n
2+2n- 2
2 2 2 2
题型 06累积法求通项
【解题攻略】
an
累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： = g(n) (n≥ 2)的关系，可用“累乘法”求通项.
an-1
b
1 (2023·全国·高三专题练习)已知数列 an 、 bn 、 cn 满足 a1= b1= c1= 1，cn= an+1-an，cn+2= n+1 cb nn
n∈N* 1 1 1 1 1 1 ，Sn= + + + (n≥ 2)，T = + + + (n≥ 3)，则下列有可能成立的是b2 b3 b nn a3-3 a4-4 an-n
( )
4
A.若 an 为等比数列，则 a
2
2022> b2022 B.若 cn 为递增的等差数列，则S2022C.若 an 为等比数列，则 a
2
2022< b2022 D.若 cn 为递增的等差数列，则S2022>T2022
2 (2021·全国·高三专题练习)已知数列 an 中，a1= 2，an+1= a2-a +1. A = 1 1n n 记 n + + + 1 ，B 1a n=1 a2 an a1
1 1 则 ( )
a2 an
A. A2020+B2020> 1 B. A 1 12020+B2020< 1 C. A2020-B2020> D. A2 2020-B2020< 2
【变式训练】
1 ( a a2023秋·湖北·高三校联考阶段练习)定义：在数列 a 中， n+2 n+1n - = da a n∈N
* ，其中 d为常
n+1 n
a
数，则称数列 an 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 a 中，a = a = 1，a = 3，则 24n 1 2 3 = ( )a22
A. 1763 B. 1935 C. 2125 D. 2303
2 (2023·全国·高三专题练习)某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A=
, a a a a a1 a ,a , 重新编辑，编辑新序列为A = 2 , 3 , 4 , ，它的第n项为 n+12 3 ，若序列 A
的所有项都
a1 a2 a3 an
是 3，且 a5= 1，a6= 27，则 a1= ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9 27 81 243
3 (2023·全国·高三专题练习)已知S n+ 2n是数列 {an}的前n项和，a1= 1，Sn= an，则 {an}的通项公3
式为 ( )
n(n+ 1)
A. an= 2n-1 B. a = C. a nn 2 n= 3 D. an= 2n- 1
题型 07待定系数型等比求通项
【解题攻略】
p
形如 an+1= qan+p(q≠ 0，1,p,q为常数),构造等比数列 an+λ ,λ= - 。特殊情况下，当 q为 2时，λq 1
= p，
an=
a a q q
pan-1+q pq≠ 0 n = n-1，变形为 n - + n pq≠ 0,p≠ 1 ，也可以变形为an- - =p pn 1 p 1 p
q
p an-1- - .1 p
2
1 (2019·模拟预测) n +n设数列 an 的前 n项和为 S *n，对任意 n∈N ，有 Sn+1= 2Sn+n+ 1，a1= 1，则 的an+1
最大值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 5 D. 3
4 2
5
2 (19·20·专题练习)在数列 {an}中． a1= 4，a2= 6，且当 n≥ 2时，an+1= 4an-9，若Tn是数列 {bn}的前 n
= 9(an-3)bn 7项和， ，则当 λ= 5(an+1-3) -Tn 为整数时，λn= ( )anan+1 8
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
【变式训练】
1 (19·20下·绵阳·开学考试)数列 an 满足 an= 4an-1+3 n≥ 2 且 a1= 0，则此数列第 5项是 ( )
A. 15 B. 255 C. 16 D. 63
2 (2021下·许昌)数列 an 的首项 a1= 2，且 an+1= 4an+6 n∈N ，令 bn= log2 an+2 ，则
b1+b2+ +b2021 = ( )
2021
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023
3 (2022学业考试)数列 an 满足 a *n+1= 2an+3,n∈N ，若 a2017≥ a1，则 a1的取值范围为 ( )
A. (-∞,-3] B. {-3} C. (-3,+∞) D. [-3,+∞)
题型 08分式型求通项
【解题攻略】
pan-1 1 1 q
形如 an= + ，取倒数变形为 - = ；qan-1 p an an-1 p
( · ) a1 2020上 潍坊 在数列 {an}中，a n1= 2，an+1= + (n∈N+)，则 a = ( )an 1 20
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1
21 39 23 23
2 ( 2a2021 · 2上 南宁·)数列 an 中，a1= 1，a nn+1= + n∈N
* ，则 是这个数列的第几项 ( )an 2 101
A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项
【变式训练】
1 (2022上· 1楚雄·)已知数列 an 满足 a1= 10,an= (n≥ 2),则 a1 20=1+ an-1
A. 1 B. 10 C. 10 D. 1
11 209 191 19
a
2 (2016· 1六安·阶段练习)已知数列 {an}满足 a1= 1，a n *n+1= + (n∈N )，若 bn+1= (n- λ) + 1 (nan 2 an
∈N *)，b1=-λ，且数列 {bn}是单调递增数列，则实数 λ的取值范围为
A. λ> 2 B. λ< 2 C. λ> 3 D. λ< 3
3 (2021·全国·高三专题练习) a a 1已知数列 a 满足 n n+1n an+1-
=- ，且 a1= 1，则数列 an 的通项公式为an 2
( )
6
A. a nn= - B. an= 2
n-1 C. an= 1- D. an=n
2
2n 1 2n 1
题型 09不动点方程求通项
【解题攻略】
axn+b ax+ b
形如xn+1= 的递推数列，求不动点方程 x= 方程的根，可以分两种情况：cxn+d cx+ d
(1) 1、若其中有一个不动点 x0，则 - 是等差数列x x0
x -m
(2) n、若其中有两个不动点m，n，则 是 - 等比数列xn n
1 ( 4a -222·23下·浦东新·)若严格递增数列 a 满足 a = nn n+1 + ，则首项 aa 1 1的取值范围是 ( )n
A. 1,2 B. 1,4 C. -∞,-1 ∪ 1,2 D. -∞,-1
2 (22·23下·开封· 3 2n+ 3模拟预测)已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1= ，且 an+1= + an，若不等式 (-1)
nλ
2 4n 2
恒成立，则 λ的取值范围为 ( )
2n 1
A. - 3 , 13 B. - 5 , 152 4 2 4 C. -
7 , 17 D. - 9 , 19
2 4 2 4
【变式训练】
2 2 2 2
1 (23·24上·厦门·阶段练习)数列 an 满足 a1= 2 33
a -a a -a
，a2= ， a n n-1 n+1 n8 33 n> 0 ， = n≥ 2 ，a2 2n-1 an+1
则 a2017= ( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 33
64 64 32 32
a a a
2 (2020下·南宁· 1 1阶段练习)数列 {a }满足 a = ,a = ,若不等式 2 + 3 + + n+2n 1 λ对任何正整数n恒成立，则实数 λ的最小值为
3 (22·23下· 4a -2浦东新)若严格递增数列 an 满足 a = nn+1 + ，则首项 a1的取值范围是 ( )an 1
A. 1,2 B. 1,4 C. -∞,-1 ∪ 1,2 D. -∞,-1
题型 10 前n项和型求通项
【解题攻略】
1 (2023下·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习)已知数列 b nn 满足 b1+b2+ +bn= 3 +n，则数
列 bn 的通项公式为 .
2 (2023·北京·北京四中校考模拟预测)设数列 an 的前 n项和Sn= 4n-1-1，则 an= ；使得命题“ n
>N0,n∈N*，都有 an+1-an> 100”为真命题的一个N0的值为 .
7
【变式训练】
1 (2023·北京·统考模拟预测)已知数列 an 的前n项和Sn=n2+3n+ 2 n∈N* ，则数列 an 的通项
公式为 ．
2 (2023上·北京·高三北京市十一学校校考)已知数列 an 的前n项和为Sn= log2 3× 2n ，则 an 的
通项公式为 .
题型 11前n项积型求通项
【解题攻略】
前n项积型求通项，可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n= 1，得 a1
≥ = T T1， (n= 1)2.n 2时，a nn 所以a =T n Tnn-1 T , (n≥ 2)n-1
1 (22·23·沈阳· 1 1三模)记Tn数列 an 的前n项积，已知 + = 1，则T= ( )Tn a 4n
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
2 (21·22· 1 2石嘴山·一模)已知 an为数列 bn 的前 n项积，若 - = 1，则数列 an 的通项公式 a =bn a nn
( )
A. 3- 2n B. -3+ 2n C. 3- 4n D. 1- 2n
【变式训练】
1 (21·22下·包头·一模)已知 a S n 1 2n为数列 n 的前 项积，若 - = 1，则数列 an 的前n项和Tn=Sn an
( )
A. n2+1 B. -n2+1 C. n2 D. -n2
2 (21·22上·合肥)若数列 a 2n 的前n项积 bn= 1- n，则 a7 n的最大值与最小值之和为 ( )
A. - 1 B. 5 C. 2 D. 7
3 7 3
3 (20·21·广西· 11模拟预测)设数列 an 的前n项和为Sn，已知 2an+1+an= 0,S5= ，则数列 a 的前n2 n
项之积Tn的最大值为 ( )
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
题型 12因式分解型求通项
【解题攻略】
8
因式分解型求通项
经验型：一般情况下，数列次幂比较高 (二次型)递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型
1 (22·23上·四川·阶段练习)设数列 an 的前 n项和为 Sn，a1= 1，an> 0，且 S2n- (2n- 1)Sn= S2n-1+ (2n-
2
1)Sn-1(n≥ 2) =
S
，则 b nn a 的最大值是 ( )2 n
A. 2 B. 625 C. 81 D. 243
512 32 64
2 (22·23上·漳州·)若正项数列 {an}满足 a1= 1，a2 2 2 2 2n+1+an+1an-6an= 0，则 a1+a2+a3+ +a2n= ( )
A. 4n-1 B. 1 (4n-1) C. 2n-1 D. 1 (2n-1)
3 3
【变式训练】
1 (20·21下·衡水·)在各项均为正数的数列 an 中，Sn为前n项和，na2n+1= n+ 1 a2n+anan+1且 a3= π，
则S2016= .
2 (19·20上·浙江·开学考试)已知正项数列 an 满足 2 n+ 1 a2n+ n+ 2 an an+1-na2n+1= 0，a1= 4，则
数列 an 的前n项和为 ． n+ 1 n+ 2
题型 13同除型构造等差数列求通项
【解题攻略】
同除型换元
n n
a =ma +tn，同除mn+1 a形如 n+1 n ，得 n+1+ =
an t t
n + + ，换元为 bn 1 n 1 n+1= bn+ + ，累加法即可。m m m mn 1
1 (2022下·上饶·)在数列 {an}中，若 a1= 1,an+1= 2an+2n n∈N * ，则数列 {an}的通项公式 an= ．
2 (2022下·沈阳·)已知数列 an 中，a1= 2,an+1= 2an+3 2n,则数列 an 的通项公式 an= ．
【变式训练】
1 (22·23下·淄博·)已知 an 数列满足 a1= 2，a n+1n+1-2an= 2 ，则数列 an 的通项公式为
2 (22·23·对口高考)已知数列 a n+1 n 中，a1= 4，且 an= 2an-1+2 (n≥ 2，且n∈N )，则数列 an 的通项
公式为 ．
题型 14同除型构造等比数列求通项
1 (2022·唐山·二模)数列 an 满足 a n +n+1= 3an-2 ，若n∈N 时，an+1> an，则 a1的取值范围是 ．
2 (20·21上·清远·阶段练习)若数列 an 满足 a1= 1，a n+1n+1= 6an+2 ，则数列 an 的通项公式 an= .
【变式训练】
9
1 (2019·全国·高三专题练习)在数列 an 中，a1= 1，an+1= 6an+3n+1，则数列 an 的通项公式为 an=
．
2 (2021·全国·高三专题练习)若数列 an 满足 a = 1，a = 6a +2n+11 n+1 n ，则数列 an 的通项公式 an=
.
题型 15周期数列求通项：分段型
2an,0≤ a 1n<
1 (2023上·江苏无锡· 3高三统考开学考试)已知数列 a 满足 a = 2n n+1 ．若 a = ，则 a2an-1, 1 ≤ 1 20232 an< 1 5
= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 5 5 5
2an 0≤ an< 1(
,
2 2023下· 6高三课时练习)数列 an 满足 an+1= 2 1 若 a1= ，则 a = ( )2a -1 ≤ a < 1 . 7 2011n 2 n
A. 6 B. 5 C. 3 D. 1
7 7 7 7
【变式训练】
2an, a < 11 (2023上·山东烟台·高三统考) n 2在数列 an 中，an+1= ，若 a1= ，则 a103= ( )2an-3, an> 1 5
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5 5 5 5
2 (2022上·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 2，an+1=
an-1, an> 1

1 n∈N ，则 a2021= ( )a , 0< an< 1n
A. 2- 1 B. 2 C. 2+ 1 D. 2
题型 16周期数列求通项：三阶型
【解题攻略】
若数列 {an}满足an+an-1+an-2= s，则 an 周期T= 3
若数列 {an}满足an× an-1× an-2= s，则 an 周期T= 3
2024
1 (2023·河北·校联考模拟预测)在数列 an 中，a1=-1,a2= 0,an+2+an= an+1，则 ai= .
i=1
2 (2023上·河北·高三校联考阶段练习)已知 a1= 1，a2= 2，且 an+1= an+an+2(n为正整数)，则 a2029=
．
【变式训练】
10
1 (2023上·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习)已知 a1= 1,a2= 3,an+2= an+1-an，则其前
2022项的和为 .
2 (2023下·吉林长春·高三校考开学考试)已知数列 an 中，a1= 3，a2= 6，an+2= an+1-an，则 a2020=
.
题型 17奇偶各自独立型求通项
【解题攻略】
奇偶各自独立型求通项
a
1.形如 n+1 = t n≥ 2 型，奇数项与偶数项各自成等比数列。
an-1
(1)n是奇数时，an= a1 ( t)n-1
(2)n是偶数时，an= a2 ( t)n-2
2.形如 an+2-an= t
(1)n为奇数时，an= a1+ (n- 1) t2
(2)、n t为n数时，an= a2+ (n- 2) 2
1 ( a2020上·陕西咸阳·高三校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 5,ana = 2nn+1 ，则 7 = ( )a3
A. 4 B. 2 C. 5 D. 5
2
2 ( S2022·高三课时练习)已知数列 an 的前n项和为S 2n-1 12n，a1= 1，a2= 2，anan+1= 2 ，则 = ( )S6
A. 62 B. 63 C. 64 D. 65
【变式训练】
1 (2024·湖南邵阳·统考一模)已知数列 a 的首项为 2,a +a = 2n+ 1 n∈N*n n n+1 ，则 a10= .
2 (2022下·四川自贡·高三统考)如果数列 an 满足 a1= 1，当n为奇数时，an+1= 2an；为偶数时，an+1=
2+ an，则下列结论成立的是 ( )
A.该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B.该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C.该数列的奇数项各项分别加 4后构成等比数列
D.该数列的偶数项各项分别加 4后构成等比数列
高考练场
1 (2023上·重庆渝中·高三统考) a a定义：在数列 a 中， n+2 - n+1n = d n∈N * ，其中 d为常数，则称an+1 an
a
数列 an 为“等比差”数列，已知“等比差”数列 an 中，a1= a2= 1，a 123= 3，则 = ．a10
11
2 (2021· S S江苏·高三专题练习)已知等差数列 an 的前n项和为S ，a = 4， n+1n 3 - n = 1 ，数列 b n+ 1 n 2 n
1 b b
满足 b1= ， n+1 n+ = ，记集合M=
n|anbn≥ λ，n∈N *2 n 1 2n
，若集合M的子集个数为 16，则实数 λ的取值范
围为 ( )
A. 5 3 B. 15 5 C. 15 5， ， ，1 4 2 16 4 16 D. 1，4
3 ． (2020·全国·高三专题练习)在数列 {an}中，若 a1= 2，an+1= an+ 2n-1，则 an= ．
4 (2023下·江苏南京·高三南京市秦淮中学校考阶段练习)已知数列 {an}，a1= 2，且 an+1= an
- 1 ，n∈N *，则 an= ．
n(n+ 1)
5 (2022·全国·高三专题练习)已知数列 an 满足：a1= 13，(n+ 1)an+1-nan= 2n+ 1，n∈N*，则下列说
法正确的是 ( )
A. an+1≥ an B. an+1≤ an
C.数列 an 的最小项为 a3和 a4 D.数列 an 的最大项为 a3和 a4
6 (2021·全国·高三)已知 an 中，a1= 1，nan+1= n+ 1 an，则数列 an 的通项公式是 ．
7 (21·22下·阶段练习)已知数列 an 满足关系：a1= 1，当n≥ 2时，2an-an-1+1= 0，则 a5= ( )
A. 31 B. 15 C. - 7 D. - 15
8 16
a
8 (2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高三 (文))已知数列 an 满足：a1= 1，a nn+1= (nan+2
∈N+)，由 a2、a3、a4归纳出数列 an 的通项公式是 .
9 ( · · · ) = = 2an-122 23全国 专题练习 已知数列 an 满足 a1 2，an+1 ，则 a = ．a +4 nn
10 (2022上·天津静海·高三静海一中校考)设数列 an 前n项和为S 2n，Sn=n +n+ 5，则数列 an 的
通项公式为 ．
11 (22·23 1 1下·浙江·模拟预测)记Tn为数列 an 的前n项积，已知 + = 1，则TT a 10= ( )n n
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
12 (19·20·全国·模拟预测)已知数列 an 的各项均为正数，且满足 a1= 2，n2a2 -4 n+ 1 2 2n+1 an
-2 n+ 1 an+nan+1= 0，设Sn为数列 an 的前n项和，则S2019= ( )
A. 2019× 22020+2 B. 2019× 22020-2 C. 2018× 22020+2 D. 2018× 22020-2
n-1
13 (2017· 1四川泸州·一模 (理))已知数列 {a *n}的前n项和Sn=-an- +2(n∈N )，则数列 {an}的2
通项公式 an= ．
14 (22·23·专题练习)已知正项数列 an 中，a1= 2,a nn+1= 2an+3× 5 ，则数列 an 的通项 an= ( )
A. -3× 2n-1 B. 3× 2n-1 C. 5n+3× 2n-1 D. 5n-3× 2n-1
12
x+ 1 2 ,x≤
1
2
15 (2022·高三课时练习)已知函数 f x = 2x- 1, 1 < x< 1，若数列 an 满足 a =
7
1 ，a2 3 n+1
=
x- 1,x≥ 1
f an n∈N * ，则 a2022= ( )
A. 7 B. 4 C. 5 D. 1
3 3 6 3
16 (2023·全国·高三专题练习)在数列 an 中，已知 a1= 3，a2= 0，且 an= an-1-an-2 (n≥ 3,n∈N )，则
a2021= ．
17 已知数列 {an}满足 a n1= 1，当n为奇数时 an+1= an，当n为偶数时 an+1= an+2 ，则n≥ 2时，a2n-1=
( )
4n+1A. -4 4
n+2
B. -4
n
C. 4 -1 D. 4
n+1-1
3 3 3 3
13数列递推及通项应用
目录
题型 01递推基础：等差数列定义型
题型 02递推基础：等比数列定义型
题型 03累加法求通项
题型 04累加法求通项：裂项型
题型 05累加法求通项：换元型
题型 06累积法求通项
题型 07待定系数型等比求通项
题型 08分式型求通项
题型 09不动点方程求通项
题型 10前n项和型求通项
题型 11前n项积型求通项
题型 12因式分解型求通项
题型 13同除型构造等差数列求通项
题型 14同除型构造等比数列求通项
题型 15周期数列求通项：分段型
题型 16周期数列求通项：三阶型
题型 17奇偶各自独立型求通项
高考练场
题型 01递推基础：等差数列定义型
【解题攻略】
等差数列的判定方法
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an+1-an=定值；
②等差中项法：即证 2an+1= an+an+2；
③函数结论法：即 an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
1 (2024上·山东威海·高三统考)已知数列 {an}，对 m,n∈N 都有 am+an= am+n，且 a1= 1，则 a2+a4+
+a2n= .
【答案】n2+n
【分析】分析题意，构造等差数列，求其前 n项和即可.
【详解】令m= 1，可得 an+1-an= a1= 1，
故 {an}是以 1为首项，1为公差的等差数列，则 an= 1+n- 1=n，故 a2n= 2n= bn，
bn+1= 2n+ 2，bn+1-bn= 2，b1= 2，
1
故 {bn}是以 2为首项，2为公差的等差数列，
n(2n+ 2)
设 bn前n项和为Sn，则 a2+a4+ +a2n= b1+ +bn=Sn= =n2+n.2
故答案为：n2+n
2 (2024上 ·天津 ·高三天津市第一百中学校联考期末)在数列 an 中，a 1= 6，且 nan+1- n+ 2 an=
n n+ 1 n+ 2 ，则 an= .
【答案】n n+ 1 n+ 2
a
【分析】根据等差数列的定义可证明 n 为等差数列，即可求解.n n+ 1
a a
【详解】由nan+1- n+ 2 an=n n+ 1 n+ 2 得 n+1 - n = 1，
n+ 1 n+ 2 n n+ 1
a
所以 n n n+ 1 为等差数列，且公差为 1，首项为 3，
a
故 n = 3+n- 1=n+ 2，进而 an=n n+ 1 n+ 2 ，
n n+ 1
故答案为: n n+ 1 n+ 2
【变式训练】
1 ( a2023 · 1 1下 全国·高三校联考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 1, - = 3 n∈N ，则 3 =an+1 an a2
a -a
， 1 n+ + + = .a1a2 a2a3 an-1an
4
【答案】 3
7
1
【分析】由题意，根据等差数列的定义可知数列 为首项为 1公差为 3的等差数列，结合通项公式求出an
a -a
an，进而 a
n-1 n
n-1an= ，代入化简可得答案.2
1 1 1
【详解】由题意，得 - = 3，则数列
an+1 an an
为首项为 1公差为 3的等差数列，
1
所以 = 1+ 3(n- 1) = a3n- 2 1 4，得 a = 3
a nn 3n-
，则 = ；
2 a2 7
1 1 a -a
由 - = 3，得 an-1-an= 3an-1an n≥ 2,n∈N ，即 a a = n-1 n，a n-1 nn+1 an 3
a -a a -a
所以 1 n = 1 n = a -a3 1 n = 3.
a1a2+a2a3+ +an-1an a1-a2 + a2-a3 + + an-1-an a1-an3 3 3
4
故答案为： ；3
7
2 (2024 1 2 2上·海南海口·高三海南中学校考)在数列 {an}中，an> 0,a1= , - = 1，则 a2 2 2 9=an+1 an
．
2 1
【答案】 / 2
4 4
2
【分析】根据数列递推式，判断 a2n
为等差数列，即可求出 an的表达式，从而可求得答案.
2
a = 1 2 - 2 = 1 2 2【详解】因为 1 ， ，所以2 a2 a2n+1 n
为等差数列，公差为 1，首项为 = 8，
a2n a
2
1
2
故 = 8+n- 1=n+ 7 2，所以 a2= ，而 a > 0，故 a = 2
2 n
，
an n+ 7
n n n+ 7
故 a 2 29= ，故答案为：4 4
3 (2023上·四川成都·高三校联考阶段练习) a 1已知各项均不为 0的数列 a n+1n 满足 = + ，且 aa a 1 1=n n
1
，则 a
2 2023
= ．
1
【答案】 /2024-1
2024
an+1 = 1 1 1 1【分析】将 + 取倒数化简可得 - = 1，即判断 为等差数列，即可求得 an 的通项公an an 1 an+1 an an
式，即可得答案.
a 1 a 1 1 1 1
【详解】由题意知数列 an 满足
n+1 = ，即 n = an+1，即 = + 1,∴ - = 1，an an+1 an+1 an+1 an an+1 an
1 1
即 为首项是 = 2，公差为 1的等差数列，an a1
1
故 = 2+ (n- 1) × 1=n+ 1,∴ a 1
a n
= ，
n n+ 1
故 a 1 12023= ，故答案为：2024 2024
题型 02递推基础：等比数列定义型
【解题攻略】
等比数列的判定方法：
(1) a定义法：“欲证等比，直接作比”，即证 n+1 = q(q≠ 0的常数) 数列 {a
a n
}是等比数列；
n
(2)等比中项法：即证 a2n+1= an·an+2(anan+1an+2≠ 0，n∈N *) 数列 {an}是等比数列．
1 (2023·河南郑州·统考二模)已知正项数列 an 的前 n项和为 S n nn，且 a1= 2，Sn+1 Sn+1-3 = Sn Sn+3 ，
则S2023= ( )
2023 2022
A. 32023-1 B. 32023+1 C. 3 +1 D. 3 +1
2 2
【答案】C
【分析】将Sn+1 S -3nn+1 =Sn S nn+3 化简为Sn+1-Sn= 3n，再利用和与项的关系可得 a nn+1= 3 ，从而确定
数列 an 从第二项起，构成以 a2= 3为首项，公比 q= 3的等比数列，根据等比数列的前 n项和公式即可求
解.
【详解】因为S nn+1 Sn+1-3 =S S +3nn n ，
所以S2 -3nSn+1=S2+3nSn，即S2 -S2= 3nS nn+1+3 Sn，
n+1 n n+1 n
所以 Sn+1+Sn Sn+1-Sn = 3n Sn+1+Sn ，
因为数列 an 的各项都是正项，即Sn+1+Sn> 0，
所以Sn+1-Sn= 3n，即 an+1= 3n，
3
n
所以当n≥ a2时， n+1 = 3- = 3，a n 1n 3
所以数列 an 从第二项起，构成以 a2= 3为首项，公比 q= 3的等比数列.
a 1- q20222 3× 1- 32022= + = + 3
2023
S +1所以 2023 a1 - 2 = .故选：C1 q 1- 3 2
2 (2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知数列 an 满足：对任意的m，n∈N*，都有
aman= am+n，且 a2= 3，则 a20= ( )
A. 320 B. ±320 C. 310 D. ±310
【答案】C
【分析】通过赋值分析可得数列 an 是以首项为 a1，公比为 a1的等比数列，根据题意结合等比数列通项公
式运算求解.
【详解】对于 aman= am+n，
令m= 1，则 an+1= a1an，
再令n= 1，则 a2= a21= 3，可知 a1≠ 0，
故数列 an 是以首项为 a
n-1 n
1，公比为 a1的等比数列，则 an= a1× a1 = a1，
∴ a = a20= a2 10= 31020 1 1 .
故选：C.
【变式训练】
1 (2022上·山东日照·高三统考)正项数列 an 中，a 2n+1= kan(k为常数)，若 a2021+a2022+a2023= 3，则 a2021
+a2 22022+a2023的取值范围是 ( )
A. 3,9 B. [3，9] C. 3,15 D. [3，15]
【答案】A
3
【分析】根据递推公式，求出 a = ，然后化简 a2 2 22022 +a1 2021 2022+a2023，
k + 1+ k
令 t= 1 + k t≥ 2 ，得到关于 t的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解.
k
a
【详解】因为 a2021+a2022+a2023= 3，所以 2022 + a2022+ka2022= 3(k> 0)，k
3
所以 a2022= ，1
k + 1+ k
a2 +a2 +a2 = a2 1
2
2021 2022 2023 2022 + 1+ k2 = 3 1 + 1+ k2k2 1k + 21+ k k
令 t= 1 + k t≥ 2 1 ，化简可得 a2 +a2 22021 2022+a2023= 9 t2-1 ，k t+ 1 2
f 1令 t = 9 t2-1 = 9
t+ 1 2 1-
2
+ t≥ 2 ，所以 f t ∈ 3,9 ．故选：A．t 1
2 (2022· 1陕西·校联考模拟预测)在数列 an 中，a1= 1，数列 + 1 是公比为 2的等比数列，设S 为an n
an 的前n项和，则下列结论错误的是 ( )
A. a = 1n B. a 1 1n= +
2n-1 2n 2
4
C.数列 an 为递减数列 D. S3> 78
【答案】B
1
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求 + 1，进而可求 a
a n
，然后结合单调性定义及数列的求和分别检
n
验各选项即可判断和选择.
1
【详解】因为 a1= 1，数列 + 1 是公比为 2的等比数列，an
1
则 + 1= 2 2n-1= 2n 1，所以 a
a n
= n ，故A正确，B错误；
n 2 -1
因为 y= 2x-1 x≥ 1 1 是单调增函数，故 y= x x≥ 1 是单调减函数，2 -1
故数列 an 是减数列，故C正确；
S3= a1+a 1 1 72+a3= 1+ + > ，故D正确.3 7 8
故选：B.
3 (2022·山西吕梁·统考一模)已知Sn为数列 an 的前n项和，且 a1= 1，a +a = 3× 2nn+1 n ，则S100=
( )
A. 2100-3 B. 2100-2 C. 2101-3 D. 2101-2
【答案】D
【分析】根据递推公式和等比数列的定义，可证明 an-2n 是等比数列，进而可得 an= 2n+ -1 n，再根据等
比数列的前 n项和公式，即可求出结果.
【详解】由 a +a = 3× 2nn+1 n 得，an+1-2n+1=- a -2nn .
又 a 11-2 =-1
所以 an-2n 为首项为-1，公比为-1的等比数列，所以 an-2n= -1 n
即 an= 2n+ -1 n，
所以S100= 21+22+ +299+2100+ -1 + -1 2+ + -1 99+ -1 100
2 1- 2100= - + 0= 2
101-2.
1 2
故选：D.
题型 03累加法求通项
【解题攻略】
对于递推公式为an-an-1= f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
a -a a
1 已知数列 an 满足 a1= 10 ， n+1 n = 2，则 n 的最小值为 ( )n n
A. 2 10 -1 B. 11 C. 16 D. 27
2 3 4
【答案】C
a 10 10
【解析】先根据累加法得 an=n2-n+ 10，进而得 n =n+ - 1，再结合函数 f x = x+ - 1的单调性n n x
5
a
即可得当 n= 3 16时， n 的最小值为 .
n 3
a -a
【详解】解：由 n+1 n = 2得 an+1-an= 2n，n
所以 an-an-1= 2 n- 1 ，an-1-an-2= 2 n- 2 ，an-2-an-3= 2 n- 3 ， ，a3-a2= 2× 2，a2-a1= 2× 1，
累加上述式子得：an-a1= 2 n- 1 + n- 2 + n- 3 + +2+ 1 =n n- 1 ，
所以 an=n2-n+ 10， n≥ 2 ，
检验已知 n= 1时，a 2n=n -n+ 10满足.
故 an=n2-n+
a
10 n =n+ 10， - 1，
n n
由于函数 f x = x+ 10 - 1在区间 0, 10 上单调递减，在 10,+∞ 上单调递增，
x
a a
又因为 x∈N * 10 16 10 11，当n= 3时， n = 3+ - 1= ，当n= 4时， n = 4+ - 1= ，
n 3 3 n 4 2
a
所以 n
16
的最小值为 .
n 3
故选：C.
2 已知数列 an 中，a1= 1，n≥ 2时，an= an-1+2n- 1，an= .
【答案】n2
【分析】
首先递推公式变形为 an-an-1= 2n- 1，再利用累加法求和.
【详解】
当n≥ 2时，an-an-1= 2n- 1，
∴ a2-a1= 3，
a3-a2= 5，
a4-a3= 7，
，
an-an-1= 2n- 1，这n- 1个式子相加得：
- =
n- 1 3+ 2n- 1
an a1 = n- 1 n+ 1 ，2
解得 an=n2 n≥ 2 ，
当n= 1时，a1= 12= 1成立，
所以 a 2n=n .
故答案为：n2
【变式训练】
1 (2023下·北京·高三北京八中校考)若数列 an 满足 a1= 1,an+1= an+n+ 1 n∈N * ，则通项公式为 an
= .
n(n+ 1)
【答案】
2
【分析】根据题意，利用累加法即可求解.
【详解】因为 an+1= an+n+ 1 n∈N * ，
所以当n≥ 2时，an= (an-an-1) + (an-1-an-2) + + (a3-a2) + (a2-a1) + a1
=n+ (n- 1) + +3+ 2+ 1
6
= n(n+ 1)，
2
1× 2
当n= 1时，a1= = 1，满足 a1=
n(n+ 1)
1，所以 an= ，2 2
n(n+ 1)
故答案为： .
2
2 (2022· 3陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知数列 an 满足 a1= ，an+1-an= 2n+ 1，则数列4
1 a 的前 100项和S100= ．n
400
【答案】
201
【分析】叠加法求解 an，再裂项相消法求和即可.
【详解】∵ an+1-an= 2n+ 1，∴n≥ 2时，an-an-1= 2n- 1．
∴ an= an-an-1 + + a2-a1 + a1= 2n- 1 + + 2× 2- 1 + 3 =n2- 1 (n≥ 2)，4 4
当n= 1时 a1= 3 1也满足上式，∴ an=n2- (n∈N *)4 4
∴ 1 = 4 = 2
a 4n2-1
1 1 *
n 2n-
- ，(n∈N )
1 2n+ 1
∴ 1 1 1 1 1数列 的前n项和S n= 2 1- + - + + - -
1
an 3 3 5 2n 1 2n+ 1
= 2 1- 1 4n+ = + (n∈N
*)
2n 1 2n 1
1 400 400
所以数列 an
的前 100项和S100= = ．200+ 1 201
400
故答案为： ．
201
3 (2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)设数列 an 满足 a *n+1= an+2(n+ 1)，n∈N ，a1=
2，则数列 (-1)nan 的前 50项和是 ．
【答案】1300
【分析】利用累加法可求得数列 an 的通项公式 an=n(n+ 1)，再并项求和求解前 50项和即可.
【详解】因为 a *n+1= an+2(n+ 1)，n∈N ，且 a1= 2，
故n≥ 2时，a2-a1= 4，a3-a2= 6， ，an-an-1= 2n，
累加可得 an= 2+ 4+ 6+ +2n=
n(2+ 2n)
- =n(n+ 1)，3 2
n= 1，a1= 2满足上式，即 an=n(n+ 1)，
故 (-1)nan 的前 50项和，即
S=- × 25× (2+ 50)1 2+ 2× 3- 3× 4+ 4× 5- -49× 50+ 50× 51= 2× 2+ 2× 4+ +2× 50= 2×
2
= 1300．
故答案为：1300.
题型 04累加法求通项：裂项型
【解题攻略】
7
an+1
形如： = f n 的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
an
利用累乘法求通项：an= a1 f(1) f(2) f(3) ... f(n- 1) (一定注意，是n- 1项积)
1 (2022·北京·清华附中高三开学考试 (理))已知数列 {an}满足 a1= 2，(n- 1)an= nan-1+n(n- 1) (n≥ 2)，
则 {an}的通项公式为__．
【答案】an=n(n+ 1)
a a a
【分析】首先根据题意得到 n - n-1- = 1，即
n
是首项为 2，公差为 1的等差数列，再求通项公式即n n 1 n
可.
【详解】∵数列 {an}满足 a1= 2，(n- 1)an=nan-1+n(n- 1) (n≥ 2)，
∴ a an≥ 2时， n - n-1- =
a
1， 1 = 2，
n n 1 1
∴ an 是首项为 2，公差为 1的等差数列，n
∴ an = 2+ (n- 1) × 1=n+ 1，∴ an=n(n+ 1)．n
∴{an}的通项公式为 an=n(n+ 1)．
故答案为：an=n(n+ 1)．
n+ 1 1
2 (2023上海市南洋模范中学高三阶段练习)数列 xn 中，x1= 0，x n+1= xn+ n∈N ，则数列n n
xn 的通项公式 xn= .
【答案】n- 1 n∈N
【分析】在等式 xn+1= n+ 1 xn+ 1
x x 1
两边同时除以 n+ 1，得 n+1 n
n n n+ = + ，然后利用累加法求出1 n n n+ 1
x
数列 n 的通项公式，由此可得出 xn n.
= n+ 1 + 1 + xx x n 1 n+1 = xn + 1 xn+1 - xn = 1【详解】在等式 n+1 n n 两边同时除以 ，得 ，即 -n n+ 1 n n n+ 1 n+ 1 n n
1
+ .n 1
∴ x2 - x1= 1- 1
x
， 3 - x2 = 1 - 1 x x， ， n - n-1 = 1 1
2 2 3 2 2 3 n n- 1 n- - .1 n
xn - x = 1- 1 1 1
x
上述等式全部相加得
n 1
+ - + +
2 2 3
1 - 1- = 1-
1 = n- 1，∴ n =
n 1 n n n n
n- 1
，因此，x =n- 1.
n n
故答案为 n- 1 n∈N .
【变式训练】
1 (2023 1下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考)已知数列 an 满足 a1= 1,an+1-an= ，
n(n+ 2)
则 a5= ( )
A. 7 B. 17 C. 47 D. 51
5 12 30 40
【答案】C
8
【分析】利用累加法以及裂项求和法求得正确答案.
1 1 1 1
【详解】依题意，an+1-an= = - ，
n(n+ 2) 2 n n+ 2
所以 a5= a5-a4 + a4-a3 + a3-a2 + a2-a1 + a1
= 1 1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 12 3 2 4 3 5 4 6
= 1 1+ 1 - 1 - 1 + 1= 47 .故选：C.2 2 5 6 30
2 (2023 1下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= ，a2 n+1= an
+ 1 ，则 an 的通项为 ( )
n2+n
A. a = 1n + ，n≥ 1，n∈N
B. an= 3 + 1 ，n≥ 1，n∈N n 1 2 n
C. a 3 1 3 1 n=- - ，n≥ 1，n∈N D. an= - ，n≥ 1，n∈N2 n 2 n
【答案】D
1 = 1 - 1【详解】先把 + ，利用累加法和裂项相消法可求答案.n2+n n n 1
【分析】因为 a = a + 1 a 1 1 1n+1 n ，所以2+ n+1
-an= = - ，
n n n2+n n n+ 1
a2-a1= 1-
1
2
a -a = 1 - 1
则当n≥ 2，n∈N * 3 2时， 2 3 ，

an-a 1 1n-1= n- 1 - n
将n- 1 1 1 1 1 1个式子相加可得 an-a1= 1- + - + + - - = 1-
1
，
2 2 3 n 1 n n
1 1 1
因为 a1= ，则 an= 1- + = 3 - 1 ，2 n 2 2 n
当n= 1 3 1 1时，a1= - = 符合上式，2 1 2
所以 an= 3 - 1 ，n≥ 1，n∈N *，故选：D.2 n
3 (2021·全国· a a 1高三专题练习)在数列 a 中，a = 2， n+1 nn 1 + = + ln 1+ ，则 a = ( )n 1 n n n
A. a8 B. 2+ n- 1 lnn C. 1+n+ lnn D. 2n+nlnn
【答案】D
a
【分析】根据 n+1
an n+ 1 a
+ = + ln ，利用累加法先求出
n = 2+ lnn，进而求得 a
n 1 n n n n
即可.
a a n+ 1
【详解】由题意得， n+1+ =
n + ln ，
n 1 n n
a
则 n = an-1- +
a a
ln n n-1 n-2- ， - = - + ln
n- 1
-
a2 = a， 1 + ln 2 ，
n n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 2 1 1
a a n n- 1
由累加法得， n = 1 + ln - + ln - +ln
2
，
n 1 n 1 n 2 1
a
即 n = a1+ln n n- 1- -
2 a ，则 n = 2+ lnn，所以 an n 1 n 2 1 n n= 2n+nlnn，故选：D
9
题型 05累加法求通项：换元型
( · · ( )) = , an+1+ (n+ 2)1 2022 n+ 3全国 高三阶段练习 理 已知数列 an 满足 a1 2 = + ,数列 an 的通项公式an+ (n+ 1) n 1
为 an= .
2n2+3n+ 1
【答案】
3
an+1+ (n+ 2) n+ 3 a a 1
【分析】把 a = 2, = 化为 n+1 n1 = + ，利用累
an+ (n+ 1) n+ 1 n+ 2 n+ 3 n+ 2 (n+ 1) n+ 2 n+ 3
加法和裂项相消法可求通项公式.
a + (n+ 2)
【详解 n+1】因为 = n+ 3+ ，所以 a =
n+ 3
n+1 + an+1，an+ (n+ 1) n 1 n 1
a a 1
两边同时除以 n+ 2 n+ 3 得到 n+1 = n + ，
n+ 2 n+ 3 n+ 2 (n+ 1) n+ 2 n+ 3
a a 1 1
整理得到： n+1 - n = - 即
n+ 2 n+ 3 n+ 2 (n+ 1) n+ 2 n+ 3
an - an-1 = 1 - 1 ，
n+ 2 (n+ 1) n+ 1 n n+ 1 n+ 2
an - a1 = 1 - 1 a累加得到 即 n = 2 - 1 = 2n+ 1 ，
n+ 2 (n+ 1) 3× 2 3 n+ 2 n+ 2 (n+ 1) 3 n+ 2 3 n+ 2
2n+ 1 n+ 1 2
a = = 2n +3n+ 1所以 n ，其中n≥ 2，3 3
2 2
又n= 1 a = 2 2n +3n+ 1 2n +3n+ 1时， 1 符合，故数列 an 的通项公式为 an= ，故填 .3 3
2 ( a a2021上 ·陕西西安 ·高三西安市铁一中学校考阶段练习)数列 an 满足 a 1=-1，且 n+1 nn+ = +1 n
2 (n∈N *)，则 a
( + ) 22
= ( )
n n 1
A. -1 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】B
an+1 = an + 2 an+1 - an = 2 = 2 2【分析】根据题意，将 + 变形可得 - ，由累加法分n 1 n n(n+ 1) n+ 1 n n(n+ 1) n n+ 1
析可得 an﹒
【详解】根据题意，数列 { a aan}满足 a1=-1，且 n+1 n 2+ = + (n∈N *)，n 1 n n(n+ 1)
a
变形可得 n+1+ -
an = 2 = 2 - 2
n 1 n n(n+ 1) n n+
，
1
则有，
an =
n
an - an-1 + an-1 - an-2 a2- + + -
a1 + a1
n n 1 n- 1 n- 2 2 1 1
= 2- -
2 + 2 2 2 2- - - + + - + (-1) = 1-
2
n 1 n n 2 n 1 1 2 n
则 an=n- 2，故 a22= 22- 2= 20；
故选：B．
【变式训练】
10
1 (2021上·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)已知数列 an 的首项为 1，且 n+ 1 an+1=nan
+n n∈N * ，则 an 的最小值是 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2
【答案】B
【分析】利用累加法可求得数列 an 的通项公式，利用数列 an 的单调性即可得解.
【详解】因为 n+ 1 an+1=nan+n n∈N * ，设 bn=nan，则 bn+1-bn=n，
n n- 1 + 2
所以 bn= b1+ b2-b1 + b3-b2 + + bn-bn-1 = 1+ 1+ 2+ + n- =

1 ,n≥ 2，
2
n n- 1 + 2
又 b1= 1符合上式，所以 bn=

，
2
n n- 1 + 2
则 an=
= n + 1 - 1 ，故 an 的最小值为 a1= a2= 1.故选：B.2n 2 n 2
2 (2023·全国·高三专题练习)已知 a1= 1，且nan+1= (n+ 2)an+n，则数列 an 的通项公式为
【答案】an=n2
an+1 - an = 1 1 a【分析】由已知可得 - ，构造 b = n 应用累加法求其
(n+ 1) (n+ 2) n(n+ 1) (n+ 1) (n+ ) n2 n(n+ 1)
通项公式，进而可得 an 的通项公式.
a a 1
【详解】等式两侧同除 n(n+ 1) (n+ 2)，得 n+1 = n + ，
(n+ 1) (n+ 2) n(n+ 1) (n+ 1) (n+ 2)
a
所以 n+1 - an = 1 = 1 - 1 ，
(n+ 1) (n+ 2) n(n+ 1) (n+ 1) (n+ 2) (n+ 1) (n+ 2)
= a令 b n 1 1n ，所以 b( + ) n+1
-bn= - ，
n n 1 (n+ 1) (n+ 2)
则 b2-b1= 1 - 1 ，b3-b2= 1 - 1 ，b4-b = 13 - 1 ， ，bn-bn-1= 1 - 1 ，2 3 3 4 4 5 n (n+ 1)
1
累加得：bn-b1= - 1
a 1 1
，而 b 11= = ，故 bn= 1- = n ，2 (n+ 1) 2 2 (n+ 1) n+ 1
a
即 n = n ，整理得 an=n2.
n(n+ 1) n+ 1
故答案为：a 2n=n
3 ( a2022·甘肃白银·高三)已知数列 an 中，a1= 2，当n≥ 2时，an= 2an-1+ n- 1 2n，设 bn= nn ，则数2
列 bn 的通项公式为 ( )
2 2 2 2
A. n -n+ 2 B. n +n- 1 C. n -2n+ 3 D. n +2n- 2
2 2 2 2
【答案】A
【分析】根据递推关系式得到 bn-bn-1=n- 1，进而利用累加法可求得结果．
【详解】∵数列 an 中，a1= 2，当n≥ 2时，a nn= 2an-1+ n- 1 2 ，
∴ an = an-1 ann - +n- 1，∵ bn= n ，∴ bn-bn-1=n- 1，且 b1= 1，2 2n 1 2
∴ bn= bn-bn-1 + bn-1-bn-2 + + b2-b1 + b1
n- 1
=
1+ n- 1 2
n- 1 + n- 2 + +1+ 1= + 1= n -n+ 2，故选：A．
2 2
11
题型 06累积法求通项
【解题攻略】
an
累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： = g(n) (n≥ 2)的关系，可用“累乘法”求通项.
an-1
b
1 (2023·全国·高三专题练习)已知数列 an 、 bn 、 cn 满足 a1= b1= c1= 1，cn= an+1-an，cn+2= n+1 cb nn
n∈N* S = 1 + 1 ， n + + 1 (n≥ 2) 1 1 1，Tn= - + - + + - (n≥ 3)，则下列有可能成立的是b2 b3 bn a3 3 a4 4 an n
( )
A.若 an 为等比数列，则 a
2
2022> b2022 B.若 cn 为递增的等差数列，则S2022C.若 an 为等比数列，则 a
2
2022< b2022 D.若 cn 为递增的等差数列，则S2022>T2022
【答案】B
【分析】若 a n-1 n-1 n-1 2n 为等比数列，可得 an= 2 ,cn= 2 ，进而可得 bn= 4 = an可判断AC；若 cn 为递增的等
c c
差数列，利用累乘法可得 b = n+1 n+2 1+ d 1 1n+1 ，再利用裂项相消法可得Sn= - ，利用累加法可c2 d c2 cn+1
n- 2 n- 1= 得 an n+ d，进而可得Tn≥ 1- =
1
，可判断BD.
2 a3 3 d
【详解】因为 a1= b1= c1= 1，cn= an+1-an，∴ c1= a2-a1，即 a2= a1+c1= 2，
a
若 an 为等比数列，则 a 的公比为 q= 2n = 2，∴ a = 2n-1n ,cn= a nn+1-an= 2 -2n-1= 2n-1，a1
b b c 2n+1
由 c = n+1 c n+1 n+2 n-1 2n+2 b n，可得 = = = 4，∴ bn= 4 = an，故AC错误；n bn cn 2n-1
b b c
若 cn 为递增的等差数列，c1= 1，公差 d> 0，由 c = n+1n+2 c n+1 n+2n则 = ，bn bn cn
∴ b2 b3 b4 bn+1 = c3 c4 c5 cn+2 ∴ bn+1 = c， n+1cn+2 ，即 b = cn+1cn+2 ，
b n+11 b2 b3 bn c1 c2 c3 cn b1 c1c2 c2
∴ 1 = c2 = 1+ d 1 - 1 ，bn cn+1cn d cn cn+1
∴S 1 1 1n= + + + + 1 = 1+ d 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 b2 b3 b4 b n d c2 c3 c3 c4 c4 c5 cn cn+1
= 1+ d 1 - 1 = 1+ dd c2 cn+1 d
1 1 1
+ - < ，1 d cn+1 d
又 cn= 1+ n- 1 d,cn= an+1-an,an= an-an-1 + an-1-an-2 + + a2-a1 + a1，
n- 2 n- 1∴ a =n+ d 1 1 1 1 1n ，又n≥ 3,an-n> 0,则T2 n= a3-
+
3 a4-
+ + ≥ = ，
4 an-n a3-3 d
∴当n≥ 3时，不等式Sn故S20222 (2021·全国· 1 1 1 1高三专题练习)已知数列 an 中，a1= 2，a 2n+1= an-an+1.记An= + + + ，B =a1 a n2 an a1
1 1 则 ( )
a2 an
A. A 1 12020+B2020> 1 B. A2020+B2020< 1 C. A2020-B2020> D. A2 2020-B2020< 2
【答案】C
12
1 1
【分析】利用累加法和累乘法得到A2020= 1- - ，B2020= - ，再利用数列的单调性计算得到答a2021 1 a2021 1
案.
【详解】a 2 1 1 1n+1= an-an+1，则 an+1-1= an an-1 ，故 an-
- = ，
1 an+1-1 an
A = 1 + 1 12020 + +a1 a2 a2020
= 1 - 1- - +
1 - 1 + + 1 - 1
a1 1 a2 1 a2-1 a3-1 an-1 an+1-1
= 1 - 1- - = 1-
1
；
a1 1 a2021 1 a2021-1
- = - 1 = an-1an+1 1 an an 1 ，故 ，an an+1-1
= 1 1 1 = a1-1 a2-1 aB 2020-12020 - - - =
a1-1 1
a1 a2 a2020 a2 1 a3 1 a2021 1 a2021-
= ，
1 a2021-1
1 1
故A2020+B2020= 1- a2021-
+ - = 1，A，B错误；1 a2021 1
an+1-a 2n= an-2an+1= an-1 2≥ 0，
a1= 2，a2= 3，a3= 7，故 a2021≥ 7，
A2020-B2020= 1- 1- -
1 = 1- 2 ≥ 1- 1 = 2 ，
a2021 1 a2021-1 a2021-1 3 3
D错误C正确.
故选：C.
【变式训练】
1 (2023秋·湖北· a a高三校联考阶段练习)定义：在数列 a 中， n+2 - n+1n = d n∈N* ，其中 d为常an+1 an
a
数，则称数列 an 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 an 中，a1= a2= 1，a3= 3，则 24 = ( )a22
A. 1763 B. 1935 C. 2125 D. 2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.
【详解】因为数列 an 是“等比差”数列，
a
所以 n+2 - an+1 = d
a a
n∈N* ，
n+1 n
因为 a1= a2= 1，a3= 3，
a a
所以 d= 3 - 2 = 2，
a2 a1
a
所以有 n+2 - an+1 = 2, an+1 - an = , , a3 - a2 2 = 2，
an+1 an an an-1 a2 a1
a
累和，得 n+2 - a2 = a a2n n+2 = 2n+ 1 n = 2n- 3 n≥ 2,n∈N ，
an+1 a1 an+1 an-1
a a a
因此有 n = 2n- 3, n-1 = 2n- 5, , 2 = 1，
an-1 an-2 a1
a
累积，得 n = 2n- 3 2n- 5 1 an= 1× 3× 5× × 2n- 3 ，a1
a 1× 3× 5× 41× 43× 45
所以 24 =
a22 1× 3× 5×
= 1935，
41
13
故选：B
2 (2023·全国·高三专题练习)某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A=
a1,a2,a3,
a a a a
重新编辑，编辑新序列为A = 2 , 3 , 4 ,
n+1
a1 a2 a3 ，它的第n项为 ，若序列 A 的所有项都an
是 3，且 a5= 1，a6= 27，则 a1= ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9 27 81 243
【答案】A
a n-2 n-1
【分析】根据新定义判断出A 是公比为 3的等比数列，再利用迭乘法得到 n = mn-13 2 ，最后根据 a
a 51
= 1和 a6= 27，联立方程组求解即可.
a b b b
【详解】令 b n+1n= ，即A = b1,b2,b3, ，则 A = 2 , 3 ,
4 ，an b1 b2 b3
b b b b
由已知得 2 = 3 = 4 = = n+1 = 3，所以数列 bn 为公比为 3的等比数列，b1 b2 b3 bn
= a a a设 b1 m，则 2 = b1=m， 3 = b2= 3m， ， n+1 = bn= 3n-1 m，a1 a2 an
≥ a2 a3 an 2 4 an =m 3m 32m 3n-2m=mn-131+2+3+ + n-2当 时，累乘可得 ，
a1 a2 a3 an-1
a n-2 n-1
即 n =mn-13 2 1，当n= 5时， =m436，当n= 6 27 1时， =m5310，解得m= ,a = 11 ，故选：A.a1 a1 a1 3 9
3 (2023· n+ 2全国·高三专题练习)已知Sn是数列 {an}的前n项和，a1= 1，Sn= an，则 {an}的通项公3
式为 ( )
n(n+ 1)
A. a nn= 2 -1 B. an= C. an= 3n D. an= 2n- 12
【答案】B
【分析】由Sn= n+ 2
a
a n+ 1 n+ 1n得Sn-1= an-1,n≥ 2,n∈N *，两式相减得 n = ，把n= 2,3,4, ,n分3 3 an-1 n- 1
n n+ 1= ≥ , n(n+ 1)别代入，用累乘法得 an ，n 2 n∈N *，再验证 a1= 1也成立，即可得到 a2 n= .2
S = n+ 2 a n- 1+ 2【详解】由 n n得Sn-1= an-1,n≥ 2,n∈N *，3 3
: S -S = n+ 2 n+ 1两式相减得 n n-1 an- an-1,3 3
a = n+ 2 a - n+ 1 a n- 1 a = n+ 1 a即 n n+ 1n n n-1，即 n an-1，即 = - ，n≥ 2,n∈N
*.
3 3 3 3 an-1 n 1
a2 = 3 a 4 a 5 a所以 ， 3 = ， 4 = ， ， n = n+ 1 .
a1 1 a2 2 a3 3 an-1 n- 1
a
相乘得： 2 a3 a4 an = 3 4 5 n+ 1，
a1 a2 a3 an-1 1 2 3 n- 1
a n n+ 1 n n+ 1
即 n = ，因为 a1=

1，所以 an= ，n≥ 2,n∈N *.a1 1 2 2
1×
= =
1+ 1
当n 1时，a1 =
n(n+ 1)
1，所以 a *
2 n
= ,n≥ 1,n∈N .
2
故选：B
14
题型 07待定系数型等比求通项
【解题攻略】
p
形如 an+1= qan+p(q≠ 0，1,p,q为常数),构造等比数列 an+λ ,λ= - 。特殊情况下，当 q为 2时，λq 1
= p，
a a q q
an= pan-1+q pq≠ 0 n n-1，变形为 n = - + pq≠ 0,p≠ 1 ，也可以变形为an- =p pn 1 pn 1- p
p an-1- q1- p .
2
1 (2019·模拟预测)设数列 an 的前 n项和为 Sn，对任意 n∈N* S = 2S +n+ 1 a = 1 n +n，有 n+1 n ， 1 ，则 + 的an 1
最大值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 5 D. 3
4 2
【答案】D
【分析】由题意易得 n≥ 2时，Sn= 2Sn-1+n，两式相减化简构造可得数列 an+1 为首项为 2，公比为 2的
2
a +1= 2n n +n n
2+n
等比数列，即 n ，代入可得 + 的解析式，设 f n = n ，作差判断出 f n 的单调性，可得最an 1 2
大值.
【详解】由Sn+1= 2Sn+n+ 1得当n≥ 2时，Sn= 2Sn-1+n，
两式作差得 an+1= 2an+1，即 an+1+1= 2 an+1 n≥ 2 ，
当n= 1时，S2= 2S1+1+ 1 a1+a2= 2a1+2 a2= 3
所以 a2+1= 2 a1+1 ，又因为 a1+1= 2，
所以数列 an+1 为首项为 2，公比为 2的等比数列，
n2+n n2a n +n则 n+1= 2 ， = ，a nn+1 2
n2+n n+ 1 2+n+ 1 n2+n 1+n 2-n= + - = - = 设 f n ，则 f n 1 f n ，
2n 2n+1 2n 2n+1
则有 f 1 < f 2 = f 3 ，当n≥ 3时，f n+ 1 < f n ，
n2+n 22+2 3
所以 + 的最大值为 f 2 = = ，故选：D.an 1 22 2
2 (19·20·专题练习)在数列 {an}中． a1= 4，a2= 6，且当 n≥ 2时，an+1= 4an-9，若Tn是数列 {bn}的前 n
= 9(an-3)项和，bn ，则当 λ= 5(a 7n+1-3) -Ta a 8 n 为整数时，λn= ( )n n+1
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
【答案】D
【分析】首先根据条件 an+1= 4an-9通过配凑系数求出数列 an 的通项公式；然后再根据数列 an 的通项
b Tn λ= 15- 15公式求出数列 n 的通项公式，从而可求出 ，代入可求出 - ，从而可判断选项.4n 1+1
【详解】当n≥ 2时，由 an+1= 4an-9，得 an+1-3= 4(an-3)，又因为 a2= 6，
15
所以 an-3 从第二项起是首项为 3，公比为 4的等比数列，
4, n= 1
所以n≥ 2时，a = 3× 4n-2n +3，所以 an= .3× 4n-2+3, n≥ 2
n= 1 3 7 15当 时，T1= b1= ,λ= 5(a8 2-3) -T1 = Z；8 2
n-2
当n≥ 2 3× 4 1 1时，bn= (4n-
= - ，
2+1) (4n-1+1) 4n-2+1 4n-1+1
所以Tn= b1+b2+ +bn= 3 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 7 - 1 ，8 42-2+1 42-1+1 4n-2+1 4n-1+1 8 4n-1+1
所以 λ= 5× 3× 4n-1× 1 = 15- 15 ，
4n-1+1 4n-1+1
要使 λ为整数，需 4n-1+1是 15的因数，所以 n= 2，此时 λ= 12,λn= 24.
故选：D.
【变式训练】
1 (19·20下·绵阳·开学考试)数列 an 满足 an= 4an-1+3 n≥ 2 且 a1= 0，则此数列第 5项是 ( )
A. 15 B. 255 C. 16 D. 63
【答案】B
【分析】由 an= 4an-1+3 n≥ 2 可得 an+1= 4 an-1+1 n≥ 2 ，即 an+1 为等比数列，利用等比数列的通项
公式即可求解
【详解】∵ an= 4an-1+3 n≥ 2 ，
∴ an+1= 4 an-1+1 n≥ 2 ，
∴ an+1 是以 1为首项，4为公比的等比数列，
则 an+1= 4n-1．
∴ a n-1n= 4 -1，
∴ a5= 44-1= 255．
故选：B．
2 (2021下·许昌)数列 an 的首项 a1= 2，且 an+1= 4an+6 n∈N ，令 bn= log2 an+2 ，则
b1+b2+ +b2021 = ( )
2021
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023
【答案】C
【分析】由题意得 an+1+2= 4 an+2 ，结合已知有 an+2 是首项、公比均为 4的等比数列，进而得到 bn，即
可求目标式的值.
【详解】∵ an+1= 4an+6 n∈N ，
∴ aa +2= 4a +6+ 2= 4(a +2)> 0，即 n+1+2n+1 n n + = 4且 a1= 2，an 2
∴数列 an+2 是以 4为首项，公比为 4的等比数列，故 an+2= 4n，
由 bn= log2 an+2 得：bn= log 4n2 = 2n，
设数列 bn 的前n项和为Sn，则S2021= 2 1+ 2+ 3+ +2020+ 2021 = 2021 1+ 2021 ，
∴ b1+b2+ +b2021
2021 1+ 2021= = 2022．
2021 2021
故选：C
16
3 (2022学业考试)数列 an 满足 an+1= 2an+3,n∈N *，若 a2017≥ a1，则 a1的取值范围为 ( )
A. (-∞,-3] B. {-3} C. (-3,+∞) D. [-3,+∞)
【答案】D
【分析】由条件可得 a n-1n+1+3= 2 an+3 ，然后可得 an= a1+3 × 2 -3，然后得出 a1+3≥ 0即可.
【详解】由 a n-1n+1= 2an+3可得 an+1+3= 2 an+3 ，所以 an+3= a1+3 × 2
所以 a = a +3 × 2n-1-3，所以 a = a +3 × 22016n 1 2017 1 -3≥ a1
所以 a +3 × 220161 ≥ a1+3，所以 a1+3≥ 0，所以 a1≥-3
故选：D
题型 08分式型求通项
【解题攻略】
形如 an=
pan-1 1 1 q
+ ，取倒数变形为 - = ；qan-1 p an an-1 p
1 ( a2020上·潍坊)在数列 {an}中，a n1= 2，an+1= + (n∈N+)，则 a20= ( )an 1
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1
21 39 23 23
【答案】B
1 1
【解析】取倒数，确定 是首项为 ，公差为 1的等差数列，计算得到答案.an 2
a
a = n 1 = an+1【详解】 n+1 + ，则 =
1 + 1 1 1，故 是首项为 ，公差为 1的等差数列.
an 1 an+1 an an an 2
1 = 1 +n- 1=n- 1 ，a = 2 2
an 2 2
n 2n- ，a20= .1 39
故选：B.
2 ( 2a2021上· 2南宁·)数列 an 中，a1= 1，an+1= n *+ n∈N ，则 是这个数列的第几项 ( )an 2
101
A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项
【答案】A
1 = 1 1 1 1【解析】由条件可得 + ，则 = n+ 1 2，进而可求出数列 a
a a 2 a 2 2 n
的通项公式，令 an= ，求
n+1 n n 101
出n值即可.
2a
【详解】解：由 a nn+1= + n∈N
* 1 ，得 =
an+2 = 1 + 1 ，
an 2 an+1 2an an 2
1 = 1则 + 1 n- 1 = 1+ 1 n- 1 = 1 n+ 1 ，∴ a = 2 ，
an a1 2 2 2 2
n n+ 1
令 an= 2+ =
2
，得n= 100.故选：A.
n 1 101
【变式训练】
1 (2022上·楚雄·)已知数列 an 满足 a1= 10,a 1n= (n≥ 2),则 a20=
1+ 1an-1
17
A. 1 B. 10 C. 10 D. 1
11 209 191 19
【答案】C
1
【解析】由递推公式可得数列 是公差为 1的等差数列，求出其通项公式即可得解.an
1
【详解】解：∵ an= (n≥ 2) ∴ 1， = 1+ 1 (n≥ 2). 1 - 1即 = 1(n≥ 2), 1所以数列 是公
1+ 1 an an-1 an an-1 an an-1
1 1 1 10差为 的等差数列,所以 = + n- 1 ,即 an= - ,a =
10 .
a 10 10n 9 20n 191
故选：C
2 ( a2016·六安·阶段练习)已知数列 {an}满足 a1= 1，an+1= n+ (n∈N
*) 1，若 b
a 2 n+1
= (n- λ) + 1 (nn an
∈N *)，b1=-λ，且数列 {bn}是单调递增数列，则实数 λ的取值范围为
A. λ> 2 B. λ< 2 C. λ> 3 D. λ< 3
【答案】B
1
【分析】应用构造法及已知条件可得 + 1 是首项、公比均为 2的等比数列，写出通项公式，即可得 bn+1=an
(n- λ) 2n，根据 {bn}的单调性求 λ的范围.
1 = 2 + 1 1 + 1= 2 1 + 1 1【详解】由题设， ，则 ，且 + 1= 2，an+1 an an+1 an a1
1
所以数列 + 1 是首项、公比均为 2的等比数列，an
1 1
所以 + 1= 2n，则 bn+1= (n- λ) + 1 = (n- λ) 2n，an an
因为 b1=-λ且 {bn}是单调递增数列，即 bn+1> bn，
所以 (n- λ) 2n>(n- 1- λ) 2n-1，化简得 λ因为数列 {n+ 1}为单调递增数列，则 λ< 2，
故选：B．
a a
3 (2021· 1全国·高三专题练习)已知数列 a 满足 n n+1n - =- ，且 a1= 1，则数列 an 的通项公式为an+1 an 2
( )
A. a = n n-1 1 2n 2n- B. an= 2 C. a1 n= 2n- D. an=n1
【答案】C
an a【解析】由 n+1 =- 1 1 1 1- ，化简得 - = 2，根据等差数列的定义，得到以数列 表示首项为 1，公an+1 an 2 an+1 an an
1
差为 2的等差数列，求得 = 2n- 1，进而求得以数列 an 的通项公式.an
a a
【详解】由题意，数列 a 满足 n n+1n - =-
1 1 1
，取倒数可得 - = 2，
an+1 an 2 an+1 an
a = 1 1 1又由 1 ，所以 = 1，所以数列 表示首项为 1，公差为 2的等差数列，a1 an
1
所以 = 1+ (n- 1) × 2= 2n- 1 1，所以数列 an 的通项公式为 a = .故选：C.a nn 2n- 1
18
题型 09不动点方程求通项
【解题攻略】
= axn+bx ax+ b形如 n+1 + 的递推数列，求不动点方程 x= + 方程的根，可以分两种情况：cxn d cx d
( 11)、若其中有一个不动点 x0，则 - 是等差数列x x0
x -m
(2) n、若其中有两个不动点m，n，则 是 - 等比数列xn n
1 (22· 4a -223下·浦东新·)若严格递增数列 a nn 满足 an+1= + ，则首项 a1的取值范围是 ( )an 1
A. 1,2 B. 1,4 C. -∞,-1 ∪ 1,2 D. -∞,-1
【答案】A
a -2
【分析】由数列 an 的单调性可得出 an<-1或 1< an< 2，推导出数列 n - 为等比数列，确定该数列的an 1
公比，可求得 an= 1+ 1- ，然后就 an<-1或 1< an< 2恒成立进行讨论，综合可得出 a1的取- a1 2 2 n-11 a1-1 3
值范围.
4a -2 an-1 an-2
【详解】因为数列 an 为单调递增数列，由 an+1-an= nan+
- a =- > 0，
1 n an+1
4an-2 - 2 2 a -2
解得 an<-1或 1< <
a -2
an 2，因为
n+1
- =
an+1 = n a -2，且 1 ≠ 0，
an+1 1 4an-2
a +1 - 1
3 an-1 a1-1
n
an-2所以，数列
2 an-2 a1-2 2 n-1 1
an-1 是公比为 的等比数列，故 - = - ，解得 an= 1+ .3 an 1 a1 1 3 n-11- a1-2a 2 1-1 3
a -2 n-1
若 an= 1+ 1- <-1
1 2
恒成立，可得- < 1- 1 < 0，
- a1 2 2 n-11 2 a -1

1 3
a1-1 3
a1-2 2 n-1< < 3 3
n-1
< a -2
n a -2 n-1
即 1 - ，即
1 3 1 3
- < ，因为不等式 - > 不可能恒成立，舍去；a1 1 3 2 2 a1 1 2 a1 1 2
1 a1-2 2 n-1若 1< an= 1+ - < 2，可得 1- > 1，- a1 2 2 n-1 a -1 3 1 1a1-1 3
a1-2 2 n-1 a -2即
a -1 3 < 0，即
1
- < 0，解得 1< a1< 2，1 a1 1
因此，首项 a1的取值范围是 1,2 .故选：A.
2 (22·23下· 3 2n+ 3开封·模拟预测)已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1= ，且 a n2 n+1= + an，若不等式 (-1) λ4n 2
恒成立，则 λ的取值范围为 ( )
2n 1
A. - 3 , 13 B. - 5 , 15 C. - 7 , 17 D.2 4 2 4 2 4 -
9 , 19
2 4
【答案】B
an+1 = 1 an 2n+ 1【分析】由题可得 + ，利用等比数列的定义结合条件可得 a = ，然后利用错位相2n 3 2 2n+ 1 n 2n
19
n
减法可得Sn= 5- 2n+ 5 1 ，再分类讨论可得 λ的取值范围.2
a = 2n+ 3 = 3 a【详解】因为 a ，a ，所以 n+1 1 an a1 1 an 1n+1 4n+ 2 n 1 + = ，而 = ，所以
是以 为
2 2n 3 2 2n+ 1 2+ 1 2 2n+ 1 2
1 a 1 2n+ 1 3 5 7 2n+ 1
首项，公比为 的等比数列，所以 n+ = ，即 a = ，所以S = + + + + ，2 2n 1 n n2 2n n 2 22 23 2n
1 1
1 S = 3 + 5 + 7 + + 2n+ 1 1 S = 3 + 2 2 2 2n+ 1 3 2
1- 2n-1
n ，所以 + + + - = + -2 22 23 24 2n+1 2 n 2 22 23 2n 2n+1 2 1- 12
2n+ 1
，
2n+1
n n
所以Sn= 5- 2n+ 5 1 由 (-1)nλn
则 (-1)nλ< 5 1- 1 1 当n为奇数时，有-λ< 5 1- n ，所以 λ>- 5 ，2 2 2
当n为偶数时，有 λ< 5 1- 1 15n ，所以 λ< ，综上，λ 5 15的取值范围为 - , ．故选：B.2 4 2 4
【变式训练】
a2-a2 a2 -a2
1 (23·24上·厦门· 2 33阶段练习)数列 an 满足 a1= ，a2= ， a > 0 ， n n-1 = n+1 nn n≥ 22 ，8 33 an-1 a2n+1
则 a2017= ( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 33
64 64 32 32
【答案】A
1 1 1 1 1 1
【分析】将递推式化为 - = - ，从而得到 -
1
是常列数，进而得到 是等差数a2 a2 a2 2n+1 n n an-1 a2 2 2n+1 an an
1
列，由此求得 an= ，据此解答即可.
n+ 31
a2-a2 a2 2
【详解】因为 n n-1 = n+1-an n≥ 2 ，an> 0，
a2 2n-1 an+1
a2 2 2 2
所以 n - = a a a1 1- n ，即 n + n = 2 1 + 1 = 2 1，则 ，故 - 1 = 1 - 1 n≥ 2 ，
a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 2 2 2

n-1 n+1 n-1 n+1 n-1 n+1 n n+1 an an an-1
a 2 33 1 1又 1= ，a2= ，所以 - = 33- 32= 1，8 33 a22 a21
1 1 1 1
所以 * -a2 a2 n+1 n
是以首项为 1的常数列，则 - = 1 n∈N ，
a2 2

n+1 an
1 1 1 1
又 = 32， - = 1，所以 是以首项为 32，公差为 1的等差数列，a2 a21 2 a2 21 an
1 1
故 = 32+ n- 1 × 1=n+ 31，则 a = ，
a2
n
n n+ 31
1 1 1 2
所以 a2017= = = = .故选：A.
2017+ 31 2048 32 2 64
2 (2020下·南宁· 1 1 a a a阶段练习)数列 {an}满足 a = ,a = ,若不等式 2 + 3 + + n+21 4 n+1 - λ对任何正整数n恒成立，则实数 λ的最小值为
7
【答案】
4
20
a a a
【解析】根据递推关系式求得数列 an 的通项公式，利用裂项求和法求得
2 + 3 + + n+2 的值，进而求
a1 a2 an+1
得实数 λ的最小值.
1 1 2 2 2 2
【详解】a1= ,an+1= - ，令 bn= - ，则 bn+1= - = = - - 2= bn-2，所4 4 4an 2an 1 2an+1 1 2× 14- 4a - 1
2an 1
n
2 2
以数列 bn 是首项为 =-4，公差为-2的等差数列，所以 bn= - =-2n- 2，所以 a =
1
n -
2× 1 - 1 2an 1 24
1 2 n+ 1
+ =
n a.所以 n+1 = n+ 1 × = 1+ 1 = 1+ 1 1 - 1 ，所以
2n 2 2 n+ 1 an 2 n+ 2 n n n+ 2 2 n n+ 2
a2 + a3 + + an+2 =n+ 1+ 1 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1
a1 a2 an+1 2 3 2 4 n+ 1 n+ 3
=n+ 1+ 1 1+ 1 - 1 - 1+ + =n+
7 - 1 1 + 1 .
2 2 n 2 n 3 4 2 n+ 2 n+ 3
依题意n+ 7 - 1 1 + 1+ + 7 1 1 1
对任何正整数 n恒成立，即 - + + + < λ，所4 2 n 2 n 3 4 2 n 2 n 3
以 λ≥ 7 ，所以 λ 7 7的最小值为 .故答案为：
4 4 4
3 (22· 4a -223下·浦东新)若严格递增数列 an 满足 a nn+1= ，则首项 a1的取值范围是 ( )an+1
A. 1,2 B. 1,4 C. -∞,-1 ∪ 1,2 D. -∞,-1
【答案】A
【分析】由数列 an 的单调性可得出 an<-
a -2
1或 1< an< 2，推导出数列 n an-1
为等比数列，确定该数列的
公比，可求得 an= 1+ 1- ，然后就 an<-1或 1< an< 2恒成立进行讨论，综合可得出 a1的取1- a1 2a -1
2 n-1 3 1
值范围.
4a -2 a -1 a -2
【详解】因为数列 a 为单调递增数列，由 a -a n n nn n+1 n= + - an=- > 0，an 1 an+1
解得 an<-1或 1< an< 2，
4an-2
a - 2
因为 n+1
-2 = an+1
2 an-2= a，且 1-2- ≠ 0，an+1 1 4an-2 - 1 3 an-1 a1-1an+1
a -2 2 a
所以，数列 n 是公比为 的等比数列，故 n-2 a1-2 n-1 = a -1 3 a -1 a -1
2 ，
n n 1 3
a = 1+ 1解得 n
1- a1-
.
2
a -1
2 n-1
3 1
n-1
若 an= 1+ 1- <-
a -2
1 1恒成立，可得- < 1- 1 2 < 0，
- a1 2 2 n-11 2 a1-1 3 a1-1 3
n-1 n-1
< a1-2 2 a -2
n
即 1
a -1 3 <
3 3 3
，即 < 1 < ，
1 2 2 a -1 2 1
a
因为不等式 1
-2 n-1
- >
3 不可能恒成立，舍去；a1 1 2
n-1
若 1< an=
a -2
1+ 1 1 2
- a1-
< 2，可得 1- > 1，
2 2 n-11 a1-1 3 a1-1 3
a1-2 n-1 a -2即
a -1
2 < 0，即 1
1 3 a1-
< 0，解得 1< a
1 1
< 2，
21
因此，首项 a1的取值范围是 1,2 .
故选：A.
题型 10 前n项和型求通项
【解题攻略】
1 (2023下·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习)已知数列 b nn 满足 b1+b2+ +bn= 3 +n，则数
列 bn 的通项公式为 .
4, n= 1【答案】bn= 2× 3n-1+1, n≥ 2
【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解.
【详解】当n= 1时，b1= 4；
当n≥ 2时，b1+b2+ +bn-1= 3n-1+n- 1，
因为 b1+b2+ +bn= 3n+n，所以两式相减可得 b nn= 3 +n- 3n-1+n- 1 = 2× 3n-1+1；
4, n= 1 4, n= 1
显然 b1= 4不满足上式，综上可得 bn= 2× 3n- .故答案为：b =1+ n1, n≥ 2 2× 3n-1+1, n≥ 2
2 (2023·北京·北京四中校考模拟预测)设数列 a n-1n 的前 n项和Sn= 4 -1，则 an= ；使得命题“ n
>N0,n∈N*，都有 an+1-an> 100”为真命题的一个N0的值为 .
0, n= 1【答案】 ,n∈N - 3(答案不唯一，N0≥ 3)3× 4n 2, n≥ 2
【分析】根据给定的前 n项和求出通项 an即可，由 an+1-an> 100求出n的取值范围作答.
【详解】数列 an 的前n项和Sn= 4n-1-1，当n= 1时，a 01=S1= 4 -1= 0，
当n≥ 2时，a n-1 n-2n=Sn-Sn-1= (4 -1) - (4 -1) = 3× 4n-2，显然 a1= 0不满足上式，
0, n= 1所以 a = n - ,n∈N ；3× 4n 2, n≥ 2
当n= 1时，a2-a1= 3< 100，不等式 an+1-an> 100不成立，
当n≥ 2时，a n-1 n-2 n-2n+1-an= 3× 4 -3× 4 = 9× 4 ，
不等式 an+1-a > 100 4n-2> 100n ，而n∈N ，解得n≥ 4，9
因此对 n> 3,n∈N*，不等式 an+1-an> 100恒成立，
所以“ n>N0,n∈N*，都有 an+1-an> 100”为真命题的N0≥ 3，取N0的一个值为 3.
0, n= 1
故答案为： - ,n∈N ；33× 4n 2, n≥ 2
【变式训练】
1 (2023·北京·统考模拟预测)已知数列 an 的前n项和Sn=n2+3n+ 2 n∈N* ，则数列 an 的通项
公式为 ．
6, n= 1
【答案】an= 2n+ 2, n≥ 2
【分析】取n= 1得到 a1=S1= 6，n≥ 2时，根据 an=Sn-Sn-1计算得到答案.
【详解】Sn=n2+3n+ 2，取n= 1得到 a1=S1= 6，
当n≥ 2时，S 2n-1= n- 1 +3 n- 1 + 2，
22
a =S -S = (n2n n n-1 +3n+ 2) - n- 1 2+3 n- 1 + 2 = 2n+ 2，
当n= 1时，不满足 a1= 6。
6, n= 1 6, n= 1所以 an= .故答案为：an= .2n+ 2, n≥ 2 2n+ 2, n≥ 2
2 (2023上·北京·高三北京市十一学校校考)已知数列 an 的前n项和为Sn= log2 3× 2n ，则 an 的
通项公式为 .
1+ log23, n= 1
【答案】an= 1, n≥ 2
【分析】利用 an=Sn-Sn-1计算即可，注意求 n= 1时，a1的值.
【详解】由已知当 n≥ 2时，
n
an=Sn-Sn-1= log2 3× 2n - log 3× 22 3× 2n-1 = log2 = log22= 1，
3× 2n-1
又n= 1时，a1=S1= log2 3× 2 = 1+ log23，
1+ log23, n= 1
故 an 的通项公式为 an= ，1, n≥ 2
1+ log23, n= 1
故答案为：an= .1, n≥ 2
题型 11前n项积型求通项
【解题攻略】
前n项积型求通项，可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n= 1，得 a1
T T1， (n= 1)
2.n≥ 2 a = n时， n 所以an= T Tnn-1 T , (n≥ 2)n-1
1 (22·23· 1 1沈阳·三模)记Tn数列 an 的前n项积，已知 + = 1，则T4= ( )Tn an
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】B
【分析】根据题设及递推式求项，然后求T4即可.
1 1 1 1 3 3
【详解】由题设 + = 1，即 a1= 2， + = = 1，即 a2= ，T1 a1 T2 a2 2a2 2
1 + 1 = 4 = 1，即 a3= 4 1 + 1 = 5， = 1 5，即 a = ，T3 a3 3a3 3 T4 a 4a 44 4 4
所以T4= a1a2a3a4= 5.故选：B
(21·22· · ) a b n 1 - 22 石嘴山 一模 已知 n为数列 n 的前 项积，若 = 1，则数列 an 的通项公式 ab a n=n n
( )
A. 3- 2n B. -3+ 2n C. 3- 4n D. 1- 2n
23
【答案】D
a =-1 1 2 a 2【分析】先求出 1 ，再根据题意可得 - = n-1 - = 1,化简为 an-an-1=-2，由此求得答案.an an an an
an-1
1 2
【详解】当n= 1 时， - = 1,a1=-1，a1 a1
n≥ 2 1当 时， - 2 = an-1 - 2 = 1，即 an-an-1=-2，an an an an
an-1
故数列 an 为首项为-1 ，公差为-2 的等差数列，
故 an=-1+ (n- 1) (-2) = 1- 2n ，
故选：D
【变式训练】
1 (21·22 1 2下·包头·一模)已知 an为数列 Sn 的前n项积，若 - = 1，则数列 aS a n 的前n项和Tn=n n
( )
A. n2+1 B. -n2+1 C. n2 D. -n2
【答案】D
【分析】先将等式化为 an,an-1的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出 an，由等差数列前 n项和公式
可得结果.
1 2
【详解】当 n= 1时， - = 1 a =-1；
a a 11 1
当n≥ 2 1 - 2 = a时， n-1 - 2 = 1 an-an-1=-2，an an an an
an-1
于是 an 是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以 an=-1- 2 n- 1 = 1- 2n.
-1+
=
1- 2n
所以Tn ×n=-n2，2
故选：D.
2 (21·22 2上·合肥)若数列 an 的前n项积 bn= 1- n，则 an的最大值与最小值之和为 ( )7
A. - 1 B. 5 C. 2 D. 7
3 7 3
【答案】C
a = 1+ 2【分析】由题可得 n - ，利用数列的增减性可得最值，即求.2n 9
2 5
【详解】∵数列 an 的前n项积 bn= 1- n，当n= 1时，a7 1= ，7
1- 2n
当n≥ 2时，bn-1= 1- 2 -
b
n 1 2n- 7 2 ，a = n = 7 = = 1+ ，
7 n bn-1 1- 2 n- 1 2n- 9 2n- 97
n= 1时也适合上式，∴ an= 1+ 2 ，2n- 9
∴当n≤ 4时，数列 an 单调递减，且 an< 1，当n≥ 5时，数列 an 单调递减，且 an> 1，
故 an的最大值为 a5= 3，最小值为 a4=-1，
∴ an的最大值与最小值之和为 2.故选：C.
24
3 (20·21·广西·模拟预测) 11设数列 an 的前n项和为Sn，已知 2an+1+an= 0,S5= ，则数列 an 的前n2
项之积Tn的最大值为 ( )
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
【答案】C
【分析】由 2an+1+an= 0 1 11得到数列 an 是以- 为公比的等比数列，再由S = 求得数列即可.2 5 2
a
【详解】由 2a 11 1n+1+an= 0,S5= 可知，an≠ 0，所以 n+1 =- ，2 an 2
5
a1 1- - 1
所以数列 a
1 11 2 11
n 是以- 为公比的等比数列.由S5= 可知， = ，2 2 1- - 1 22
1 1
所以 a1= 8.所以数列 an 为 8,-4,2,-1, ,- , ，2 4
所以 an 的前n项之积Tn的最大值为T4= 8× (-4) × 2× (-1) = 64.
故选：C.
题型 12因式分解型求通项
【解题攻略】
因式分解型求通项
经验型：一般情况下，数列次幂比较高 (二次型)递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型
1 (22·23上·四川·阶段练习)设数列 an 的前 n项和为 Sn，a1= 1，an> 0，且 S2- (2n- 1)S = S2n n n-1+ (2n-
2
1) SSn-1(n≥ 2)，则 b = nn a 的最大值是 ( )2 n
A. 2 B. 625 C. 81 D. 243
512 32 64
【答案】C
4
【分析】将S2n- (2n- 1)Sn=S2n-1+ (2n- 1)S nn-1化为Sn-Sn-1= 2n- 1，可得 an= 2n- 1，bn= - ，解不等22n 1
bn+1≥ b式组 n 求出n，可得结果.bn+1≥ bn+2
【详解】当n≥ 2时，由S2n- (2n- 1)Sn=S2n-1+ (2n- 1)Sn-1，得 (Sn-Sn-1) (Sn+Sn-1) = (2n- 1) (Sn+Sn-1)，
因为 an> 0，所以Sn+Sn-1> 0，所以Sn-Sn-1= 2n- 1，所以 an= 2n- 1，又 a1= 1满足上式，
n(a +a ) n(1+ 2n- 1) S2 4
所以 an= 2n- 1(n∈N *) n，所以S 1 n 2 nn= = =n ，所以 b = = ，2 2 n 2an 22n-1
(n+ 1)
4
n4
b ≥ b 2n+1 ≥ 2n-1 n+ 1 4≥ 4n4
设 bn+1为数列 {bn}中的最大项，则 n+1 n ，所以
2 2
b ≥ b (n+ 1)4 (n+ 2)4 ，所以
4 4，
n+1 n+2 2n+1 ≥
4 n+ 1 ≥ n+ 2
2 22n+3
所以 n+ 1≥ 2n * ( + )≥ + ，所以 2≤n≤ 2+ 1，因为n∈N ，所以n= 2，2 n 1 n 2
S2 4
b = n 3 81所以 n a 的最大值是 b = = .故选：C2 n 3 25 32
25
2 (22·23上·漳州·)若正项数列 {an}满足 a1= 1，a2n+1+an+1an-6a2n= 0，则 a21+a2 22+a3+ +a2n= ( )
A. 4n-1 B. 1 (4n-1) C. 2n-1 D. 1 (2n-1)
3 3
【答案】B
【分析】由递推公式推出数列 {an}的通项公式，得到数列 {a2n}的通项公式，根据数列特征求和.
【详解】由 a2n+1+an+1an-6a2n= 0，得 (an+1-2an) (an+1+3an) = 0，又 {an}是正项数列，所以 an+1-2an= 0，
an+1 = 2，则数列 {an}是以 1为首项，2为公比的等比数列，a n-1a n= 2 .n
a 2 n
a 2= 2n-1 2= 22 n-1 = 4n-1n ，a21= 1， n+1 = 4 = 4，
a 2 4n-1n
n
可得数列 {a2} 1× (1- 4 ) 1n 是以 1为首项，4为公比的等比数列，所以 a2+a2 2 2 n1 2+a3+ +an= - = (4 -1).1 4 3
故选：B.
【变式训练】
1 (20·21下·衡水·)在各项均为正数的数列 an 中，S 2 2n为前n项和，nan+1= n+ 1 an+anan+1且 a3= π，
则S2016= .
【答案】677712π
+ aa a na - n+ 1 a = 0 n+1 = n+ 1【分析】将递推关系式因式分解为 n+1 n n+1 n ，从而可得 ，由累乘法可得an n
a nn= π，可判断数列 an 为等差数列，进而根据等差数列前 n项和公式即可求解.3
【详解】解：∵na2 2n+1= (n+ 1)an+anan+1，∴na2n+1-anan+1- (n+ 1)a2n= 0，即 an+1+an nan+1- n+ 1 an =
0，
又∵数列 {a n+ 1n}的各项均为正数，∴nan+1- n+ 1 an= 0，即 an+1= an，n
∴ an+1 = n+ 1 = a a a，因为 a3 π，所以 a = n × n-1n × × 4 × a3= n × n- 1 × × 4 × π= n π，an n an-1 an-2 a3 n- 1 n- 2 3 3
π + 2016π
所以S 3 32016= × 2016= 677712π，故答案为：677712π.2
2 (19·20上·浙江·开学考试)已知正项数列 an 满足 2 n+ 1 a2n+ n+ 2 a 2n an+1-nan+1= 0，a1= 4，则
a数列 n n+ 1 n+ 2 的前n项和为 ．
2n+2
【答案】 + - 2n 2
【分析】由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，
利用裂项相消求和得解.
【详解】由已知得 n(2a2n+an a 2n+1-an+1) + 2an(an+an+1) = 0,所以 (an+an+1) (2nan-nan+1+2an) = 0,又因为
an> 0
a
所以 2na -na +2a = 0.所以 n+1 n+ 1 a a an n+1 n = 2× 所以 a 21= 4 = 2× 2 ; 3 = 2× 3 4； 4 = 2× ; an n a1 1 a2 2 a3 3
an = 2× n- ;an-1 n 1
a 2n+1 n 2n+2 2n+1
累乘得 a = 2n+1n n.所以 n = = - ,
n+ 1 n+ 2 n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 1
26
a n+2n = 2 - 2
n+1 a 23 22 a 24 23
所以 所以 1 = - ; 2 = - ;
n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 1 1+ 1 1+ 2 3 2 2+ 1 2+ 2 4 3
a 25 43 = - 2 ;
3+ 1 3+ 2 5 4

a 2n+2 2n+1n = - ; 2
n+2 2n+2
累加求和得 - 2;故答案为 - 2;
n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 1 n+ 2 n+ 2
题型 13同除型构造等差数列求通项
【解题攻略】
同除型换元
a a n n
形如an+1=ma +tnn ，同除mn+1，得 n+1 n t t+ = n + + ，换元为 bn+1= bn+ + ，累加法即可。mn 1 m mn 1 mn 1
1 (2022下·上饶·)在数列 {an}中，若 a1= 1,an+1= 2a nn+2 n∈N * ，则数列 {an}的通项公式 an= ．
【答案】n× 2n-1
a
【分析】构造新的数列 n - ，通过新的数列的通项求 an.2n 1
【详解】∵数列 a n n 的首项 a1= 1,且 an+1= 2an+2 , n∈N ，
∴ an+1 an a an = - + 1,
1
- = 1，∴ n 2 2n 1 21 1 2n- 是首项为 1，公差为 1的等差数列，1
∴ an- = 1+ n- 1 × 1=n，∴该数列的通项公式：a =n× 2
n-1
n .故答案为：n× 2n-1.
2n 1
2 (2022下·沈阳·)已知数列 an 中，a1= 2,an+1= 2a nn+3 2 ,则数列 an 的通项公式 an= ．
【答案】(3n- 1) 2n-1
= + n an+1 = aa 2a 3 2 n + 3 a a【详解】由题意得 n+1 n ，则 + n ，又因为
1 = 1，所以数列 n 是首项为 1，公差为2n 1 2 2 21 2n
3 a
的等差数列，所以 nn = 1+
3
n- 1 = 3 n- 1 ，即 an= (3n- 1) 2n-1，即数列的通项公式为 an= (3n2 2 2 2 2
- 1) 2n-1.
【变式训练】
1 (22·23下·淄博·)已知 an 数列满足 a1= 2，an+1-2a = 2n+1n ，则数列 an 的通项公式为
【答案】an=n 2n
a a
【分析】由已知可得 n+1 - n = a1，利用 n+ n n 为等差数列求 an 的通项公式.2n 1 2 2
a a
【详解】由 a n+1 n+1 nn+1-2an= 2 得 - = 1，
2n+1 2n
a
故 n n 为等差数列，公差为 1，首项为 1，2
a
所以 nn = 1+ n- 1 =n2
所以 an=n 2n.
27
故答案为：a =n 2nn
2 (22·23·对口高考)已知数列 an 中，a1= 4，且 an= 2a n+1n-1+2 (n≥ 2，且n∈N )，则数列 an 的通项
公式为 ．
【答案】an=n 2n+1
【分析】由 an= 2a +2n+1n-1 两边同除 2n+1，构造等差数列，根据等差数列的通项公式可得结果.
a a
【详解】当 n≥ 2时，因为 a = 2a +2n+1，所以 n = n-1 + a1，又 1 4n n-1 + n + = = 1，2n 1 2 21 1 4
a所以数列 n 是首项为 1，公差为 1的等差数列，2n+1
a
所以 n+ = 1+ (n- 1) × 1=n，则 a =n 2
n+1.
2n 1
n
故答案为：a =n 2n+1n
题型 14同除型构造等比数列求通项
1 (2022·唐山·二模)数列 an 满足 an+1= 3a nn-2 ，若n∈N+时，an+1> an，则 a1的取值范围是 ．
【答案】 2,+∞
a
【详解】 n+1 = 3 an - 1 , a设 n = b ,∴ b = 3 b 1n n+1 n- ,∴ bn+1-1= 3 (bn-1),
2n+1 2 2n 2 2n 2 2 2
∴{b -1} ∴ b -1= (b -1) 3
n-1
∴ an - = a是一个等比数列， 1 3
n-1
n n 1 ， 1 - 1 ,2 2n 2 2
an a1 3 n-1 a1-2 3 n-1 a1-2 3 n-1∴
2n
= - 1 +1= +1，∴ a = n2 2 2 2 n +1 22 2
∵ > a1-2a a 3
n n+1 a1-2 3 n-1 n 2 n-1 2- a1
n+1 n,∴ +1 2 >2 2 2 +1 2 ,∴ >2 3 4
∴ 2- a1 ≤ 0,∴ a1≥ 24
故填 2,+∞ .
2 (20·21上·清远·阶段练习)若数列 a 满足 a = 1，a = 6a +2n+1n 1 n+1 n ，则数列 an 的通项公式 an= .
【答案】2× 6n-1-2n-1
【解析】由 a = 6a +2n+1 a，可得 n+1 = × a3 nn+1 n + n +
a
1，设 b = nn n ，即 b
1 1
n+1+ = 3 bn+ ，先求出的 b 通项2n 1 2 2 2 2 n
公式，进而得到答案.
a a a
【详解】由 a n+1n+1= 6an+2 ，可得 n+1 n n
2n+
= 3×
1 2n
+ 1，设 bn=
2n
则 bn+1= 3b 1n+1，则 bn+1+ = 3 b + 12 n 2
1
所以 bn+ 是以 1为首项，3为公比的等比数列.2
则 bn+ 1 = 3n-1，则 bn= 3n-1- 1 ，所以 an= 2× 6n-1-2n-12 2
故答案为：2× 6n-1-2n-1
【变式训练】
1 (2019·全国·高三专题练习)在数列 an 中，a = 1，a = 6a +3n+11 n+1 n ，则数列 an 的通项公式为 an=
28
．
【答案】3n-1 2n+1-3
a
【分析】在等式 a = 6a +3n+1两边同时除以 3n+1得 n+1 ann+1 n + = 2 n +
a
1，利用待定系数法得出 n+1+ + 1=3n 1 3 3n 1
a2 n3n + 1
a
，可知数列 n n + 1 为等比数列，求出该数列的通项公式，可求出 an.3
a a
【详解】由 a n+1n+1= 6an+3 ，两边同时除以 3n+1得 n+1+ = 2
n + 1，
3n 1 3n
a
设 n+1 + k= 2 an + a a ak ，化简得 n+1 = 2 n + k，与 n+1 = 2 an+ n + n + n + 1比较得 k= 1.3n 1 3 3n 1 3 3n 1 3
∴ an+1 + a a a+ 1= 2 n + 1 4n ，故数列 n 1 + 1 n 是以 + 1= 为首项，2为公比的等比数列，3n 1 3 3 31 3
a 4
所以 n + 1= × 2n-1，即 a = 3n-1 2n+1n n -3 ，故答案为 3
n-1 2n+1-3 .
3 3
2 (2021·全国·高三专题练习)若数列 an 满足 a1= 1，a n+1n+1= 6an+2 ，则数列 an 的通项公式 an=
.
【答案】2× 6n-1-2n-1
a a a 1 1
【解析】由 a n+1n+1= 6an+2 ，可得 n+1+ = 3×
n n
n 1 n
+ 1，设 bn= n ，即 bn+1+ = 3 b2 n+ ，先求出的 b 通项2 2 2 2 n
公式，进而得到答案.
= + n+1 a a a【详解】由 a 6a 2 ，可得 n+1 n nn+1 n
2n+
= 3× n + 1，设 b =1 n2 2n
1 1
则 bn+1= 3bn+1，则 bn+1+ = 3 bn+2 2
所以 b
1
n+ 是以 1为首项，3为公比的等比数列.2
则 b + 1 = 3n-1 1n ，则 b = 3n-1n - ，所以 an= 2× 6n-1-2n-12 2
故答案为：2× 6n-1-2n-1
题型 15周期数列求通项：分段型
2an,0≤ an<
1
1 (2023上·江苏无锡· 3高三统考开学考试)已知数列 an 满足 a 2n+1= ．若 a = ，则 a2an-1, 1 ≤ < 1an 1 5 20232
= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 5 5 5
【答案】B
【分析】逐项计算找到数列的周期即可.
3 1 2
【详解】由题意，a1= ，a2= 2a1-1= ，a3= 2a2= ，a4= 2a = 43 ，a5= 2a -1= 34 5 5 5 5 5
2
故数列 an 周期为 4，则 a2023= a2019=...= a3= .5
故选：B
29
2an 0≤ a
1
n< ,
2 ( 2023 6下·高三课时练习)数列 an 满足 a 2n+1= 若 a1= ，则 a2011= ( )2a 1 7n-1 2 ≤ an< 1 .
A. 6 B. 5 C. 3 D. 1
7 7 7 7
【答案】A
【分析】根据递推关系可得周期，利用周期即可求解.
6 5
【详解】由 a1= 得 a2= 2a1-1= ，a3= 2a2-1= 3 ，a4= 2a = 6 = a ，因此数列 a7 7 7 3 7 1 n 为周期为 3的周期
6
数列，所以 a2011= a1= ，7
故选:A
【变式训练】
2an, an< 1
1 (2023上· 2山东烟台·高三统考)在数列 an 中，an+1= ，若 a1= ，则 a103= ( )2an-3, an> 1 5
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5 5 5 5
【答案】D
【分析】推导出对任意的 n∈N ，an+4= an，利用数列的周期性可求得 a103的值.
2an, an< 1 2
【详解】在数列 an 中，an+1= ，且 a- > 1= ，2an 3, an 1 5
a 4 8则 2= 2a1= ，a3= 2a2= ，a4= 2a3-3= 1 ，a5= 2a4= 2 ， ，5 5 5 5
8
以此类推可知，对任意的 n∈N ，an+4= an，所以，a103= a4×25+3= a3= .5
故选：D.
2 (2022上·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 2，an+1=
an-1, an> 1 1 n∈N
，则 a
0< a < 1 2021
= ( )
a , nn
A. 2- 1 B. 2 C. 2+ 1 D. 2
【答案】A
【分析】根据递推公式可验证知数列 an 是周期为 3的周期数列，则由 a2021= a2可求得结果.
1
【详解】∵ a1= 2> 1，∴ a2= a1-1= 2- 1∈ 0,1 ，∴ a3= = 2+ 1> 1，a2
∴ a4= a3-1= 2> 1，∴ a5= a4-1= 2- 1∈ 0,1 ， ，
以此类推，可知数列 an 是周期为 3的周期数列，
∴ a2021= a3×673+2= a2= 2- 1.故选：A.
题型 16周期数列求通项：三阶型
【解题攻略】
若数列 {an}满足an+an-1+an-2= s，则 an 周期T= 3
30
若数列 {an}满足an× an-1× an-2= s，则 an 周期T= 3
2024
1 (2023·河北·校联考模拟预测)在数列 an 中，a1=-1,a2= 0,an+2+an= an+1，则 ai= .
i=1
【答案】-1
2024
【分析】根据题意，推得 an+6=-an+3= an，得到数列 an 的一个周期为 6，求得 a3,a4,a5,a6的值，结合 ai
i=1
6
= 337 ai+ a1+a2，即可求解.
i=1
【详解】由 an+2+an= an+1，可得 an+3+an+1= an+2，所以 an+3+an+1= an+1-an，即 an+3=-an，
所以 an+6=-an+3= an，所以数列 an 的一个周期为 6，
又由 a3= a2-a1= 1,a4= a3-a2= 1,a5= a4-a3= 0,a6= a6-a1=-1，
2024 6
所以 a1+a2+a3+a4+a6+a6= 0，所以 ai= 337 ai+ a1+a2=-1.
i=1 i=1
故答案为：-1.
2 (2023上·河北·高三校联考阶段练习)已知 a1= 1，a2= 2，且 an+1= an+an+2(n为正整数)，则 a2029=
．
【答案】1
【分析】通过计算 a3,a4,a5, ，发现数列的周期，根据周期求解即可.
【详解】因为 a1= 1，a2= 2，且 an+1= an+an+2，
所以 a3= a2-a1= 1，a4= a3-a2=-1，a5= a4-a3=-2，a6= a5-a4=-1，a7= a6-a5= 1，a8= a7-a6= 2， ，
所以 an 是以 6为周期的数列，因为 2029= 6× 338+ 1，所以 a2029= a1= 1．
故答案为：1.
【变式训练】
1 (2023上·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习)已知 a1= 1,a2= 3,an+2= an+1-an，则其前
2022项的和为 .
【答案】0
【分析】求出数列的周期，并得到 a1+a2+a3+a4+a5+a6= 0，求出前 2022项的和.
【详解】因为 a1= 1,a2= 3,an+2= an+1-an，
所以 a3= a2-a1= 3- 1= 2，a4= a3-a2= 2- 3=-1，a5= a4-a3=-1- 2=-3，
a6= a5-a4=-3- -1 =-2，a7= a6-a5=-2- -3 = 1，
依次进行求解，发现 an 为周期数列，周期为 6，
且 a1+a2+a3+a4+a5+a6= 1+ 3+ 2- 1- 3- 2= 0，
故 2022= 6× 337，
故其前 2022项的和为 337 a1+a2+a3+a4+a5+a6 = 0.
故答案为：0
2 (2023下·吉林长春·高三校考开学考试)已知数列 an 中，a1= 3，a2= 6，an+2= an+1-an，则 a2020=
.
【答案】-3
31
【分析】计算数列的前几项，可得数列 {an}的最小正周期为 6，计算可得所求值．
【详解】由题意知 a3= a2-a1= 3，a4= a3-a2=-3，
a5= a4-a3=-6，a6= a5-a4=-3，
a7= a6-a5= 3，a8= a7-a6= 6，
a9= a8-a7= 3，a10= a9-a8=-3，

易知 {an}是周期为 6的数列，
∴ a2020= a4=-3．
故答案为：-3
题型 17奇偶各自独立型求通项
【解题攻略】
奇偶各自独立型求通项
a
1.形如 n+1 = t n≥ 2 型，奇数项与偶数项各自成等比数列。
an-1
(1)n是奇数时，an= a1 ( t)n-1
(2)n是偶数时，a = a ( t)n-2n 2
2.形如 an+2-an= t
(1)n为奇数时，an= a1+ (n- 1) t2
(2)、n为n t数时，an= a2+ (n- 2) 2
a
1 (2020上·陕西咸阳·高三校考阶段练习)已知数列 an 满足 a1= 5,anan+1= 2n，则 7 = ( )a3
A. 4 B. 2 C. 5 D. 5
2
【答案】A
【解析】根据 a nnan+1= 2 ，再写一个式子，两式相比得到奇数项成等比数列，则可解.
a
【详解】解：ana
n
n+1= 2 ，所以 a n-1n-1an= 2 n≥ 2 ，所以 n+1 = 2 n≥ 2 ，an-1
a
数列 an 的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故
7 = 22= 4，
a3
故选：A
2 ( S2022·高三课时练习)已知数列 an 的前n项和为Sn，a1= 1，a2= 2，a 2n-1 12nan+1= 2 ，则 = ( )S6
A. 62 B. 63 C. 64 D. 65
【答案】D
a a
【解析】由题意可得 2n+2 = 4， 2n+1 = 4，即数列 an 的奇数项是以 1为首项，4为公比的等比数列；偶数a2n a2n-1
项是以 2为首项，4为公比的等比数列，再利用等比数列的前 n项和公式分组求和可得S6和S12.
a a a 24n+1 a a a 24n-1
【详解】由 2n+2 = 2n+1 2n+2 = - = 4，
2n+1 = 2n 2n+1 = - = 4，a a 4n 1 4n 32n 2na2n+1 2 a2n-1 a2n-1a2n 2
32
可知数列 an 的奇数项是以 1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以 2为首项，4为公比的等比数列.
3 3
所以S6= +
a1(1- 4 ) a2(1- 4 )a1 a2+a3+a4+a5+a6= - + - = 21+ 2× 21= 63，1 4 1 4
= a1(1- 4
6) + a2(1- 4
6)
S12 - - = 1365+ 2× 1365= 4095，1 4 1 4
S
所以 12 = 4095 = 65.
S6 63
故选：D
【变式训练】
1 (2024·湖南邵阳·统考一模)已知数列 an 的首项为 2,an+an+1= 2n+ 1 n∈N* ，则 a10= .
【答案】9
【分析】当n= 1时，求出 a2= 1，由 an+an+1= 2n+ 1 n∈N* 可得 a *n+1+an+2= 2n+ 3 n∈N ，两式相减可
得 an+2-an= 2，所以 an 的偶数项是以 a2= 1为首相，公差为 2的等差数列，即可得出答案.
【详解】因为 a1= 2，an+an+1= 2n+ 1 n∈N* ，
当n= 1时，a1+a2= 3，解得：a2= 1，
an+1+an+2= 2n+ 3 n∈N* ，两式相减可得：an+2-an= 2，
所以 an 的偶数项是以 a2= 1为首相，公差为 2的等差数列，
所以 a10= a2+ 10 - 1 × 2= 1+ 8= 9.2
故答案为：9.
2 (2022下·四川自贡·高三统考)如果数列 an 满足 a1= 1，当n为奇数时，an+1= 2an；为偶数时，an+1=
2+ an，则下列结论成立的是 ( )
A.该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B.该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C.该数列的奇数项各项分别加 4后构成等比数列
D.该数列的偶数项各项分别加 4后构成等比数列
【答案】D
【详解】试题分析：根据条件，此数列的前几项是 1,2,4,8,10,20,22,44 ，观察前几项，就可知此数列的奇
数项不是等比数列，也不是等差数列，偶数项也不是等差数列，也不是等比数列，奇数项各项加 4后是 5，8，
14，26 也不构成等比数列，所以都不正确，当 n为偶数时，n+ 1是奇数，所以代入上式 an+2= 2an+1=
a +4
2 2+ an = 4+ 2an，两边同时加 4后得到 an+2+4= 2 an+4 ，等价于 n+2+ = 2，所以当n为偶数时，各项an 4
加 4后成为等比数列．
高考练场
a a
1 (2023上·重庆渝中·高三统考)定义：在数列 a 中， n+2n - n+1 = d n∈N * ，其中 d为常数，则称an+1 an
a
数列 an 为“等比差”数列，已知“等比差”数列 an 中，a1= a2= 1，a3= 3，则 12 = ．a10
【答案】399
33
a
【分析】根据“等比差”数列的概念可得 n = 1+ n- 1 × 2= 2n- 1，进而得解.
an-1
【详解】由数列 an 为“等比差”数列，
an+2 - an+1 = a3 - a2 = 3 1则 - = 2，
an+1 an a2 a1 1 1
an - a所以 n-1 = a2，即数列 n+1 是以 1为首项，2为公差的等差数列，an-1 an-2 an
a
所以 n+1 = 1+ n- 1 × 2= 2n-
a
1， n+2 = a2n+ 1，则 n+2 = an+2 an+1 = 2n- 1 2n+ 1 = 4n2-1，
an an+1 an an+1 an
a
所以 12 = 4× 102-1= 399，故答案为:399.
a10
S S 1
2 (2021·江苏·高三专题练习)已知等差数列 an 的前n项和为Sn，a3= 4， n+1 - n+ = ，数列 b n 1 n 2 n
= 1 bn+1 = b满足 b n1 ， + ，记集合M=
n|anbn≥ λ，n∈N *2 n 1 2n
，若集合M的子集个数为 16，则实数 λ的取值范
围为 ( )
A. 5 3 B. 15 5 C. 15， ， ，1 5 4 2 16 4 16 D. 1，4
【答案】C
【分析】由已知求出 an，bn，然后研究 anbn的单调性求解即可．
【详解】解：设等差数列 an 的公差为 d，
因为等差数列 an 的前n项和为Sn，
n+ 1 a1+an+1 n a1+an
S
所以 n+1
Sn 2 2 1 1
n+ - = + - = an+1-an = ，即 an+1-an= d= 1，1 n n 1 n 2 2
又 a3= 4，所以 an= a3+ n- 3 d=n+ 1，
b 1 b b 1 1
又数列 b 满足 n+1n = × n，所以数列 n + 为等比数列，公比 q= ，首项为 b1= ，n 1 2 n n 2 2
bn n-1所以 = 1 × 1 = 1 nn，得 bn 2 2 n= n，2 2
n
=
n+ 1 n n+ 1
所以 anbn n ，设 cn=
c n+ 2
n ，令
n+1 = < 1，得n> 2，
2 2 cn 2n
即 c1< c2= c3，c3> c4> c5> ，又集合M的子集个数为 16，
所以M只有 4个元素，
n n+ 1
即不等式 anbn= n ≥ λ只有 4个解，2
c = 1 c = 3 c = 3 c = 5 c 15又 1 ， 2 ， 3 ， ，2 2 4 4 5= ，16
15
所以 < λ≤ 1，
16
故选：C．
3 ． (2020·全国·高三专题练习)在数列 {an}中，若 a = 2，an = an+ 2n-11 +1 ，则 an= ．
【答案】2n-1+1
【解析】依题意可得 a n-1n+1-an= 2 ，再利用累加法求数列的通项公式；
【详解】解：因为 a = 2，a = a +2n-11 n+1 n
所以 an+1-an= 2n-1
所以 an= an-an-1 + an-1-an-2 + + a3-a2 + a2-a1 + a1
34
则 a = 2n-2+2n-3n + +2+ 1+ a1
1- 2n-1= - + 2= 2
n-1+1
1 2
故答案为：2n-1+1
4 (2023下·江苏南京·高三南京市秦淮中学校考阶段练习)已知数列 {an}，a1= 2，且 an+1= an
- 1 ，n∈N *，则 an= ．
n(n+ 1)
n+ 1
【答案】
n
1 1
【分析】根据题意利用裂项法可得 an+1-an= + - ，再利用累加法可得答案.n 1 n
a -a = 1 - 1 a -a 1 1【详解】由题意得 n+1 n + ，则 n n-1= - - ,(n≥ 2)，n 1 n n n 1
n≥ 2 a -a = 1 1故 时， 2 1 - ，a3-a = 1 - 1 1 12 ， ，a -a2 1 3 2 n n-1= - ，n n- 1
1
所以以上式子相加得 an-a1= - 1，∴ a = n+ 1n ,(n≥ 2)，n n
n= 1时，a1= 2也符合上式，
∴ a n+ 1n= .n
n+ 1
故答案为： .
n
5 (2022·全国·高三专题练习)已知数列 an 满足：a1= 13，(n+ 1)an+1-nan= 2n+ 1，n∈N*，则下列说
法正确的是 ( )
A. an+1≥ an B. an+1≤ an
C.数列 an 的最小项为 a3和 a4 D.数列 an 的最大项为 a3和 a4
【答案】C
【分析】令 bn=nan，由已知得 bn+1-bn= 2n+ 1运用累加法得 b =n2n +12，从而可得 an=n+ 12，作差得 an n+1
n- 3
- =
n+ 4
an ，从而可得 a1> a2> a3= a4< a5< < an，由此可得选项.
n n+ 1
【详解】令 bn=nan，则 bn+1-bn= 2n+ 1，又 a1= 13，所以 b1= 13，b2-b1= 3，b3-b2= 5， ，bn-bn-1= 2n- 1，
n- 1 3+ 2n- 1 2
所以累加得 b = 13+ =n2+ b12 a = n = n +12n ，所以 n =n+ 12，2 n n n
n- 3 n+ 4
所以 an+1-an= n+ 1 + 12 - n+ 12 + = ，n 1 n n n+ 1
所以当n< 3时，an+1< an，当n= 3时，an+1= an，即 a3= a4，当n> 3时，an+1> an，
即 a1> a2> a3= a4< a5< < an，所以数列 an 的最小项为 a3和 a4，
故选：C.
6 (2021·全国·高三)已知 an 中，a1= 1，nan+1= n+ 1 an，则数列 an 的通项公式是 ．
【答案】an=n
a n+ 1
【分析】根据题设递推关系得 n+1 = ，应用累乘法求 an 的通项公式即可.an n
a
【详解】由 nan+1= n+ 1 n+ 1 a ，可得： n+1n = ，又 a1= 1，an n
∴ = a2 aa 3 ann a 2 3 na a a 1= × × × - × 1=n．1 2 n-1 1 2 n 1
35
∴ an=n．
故答案为：an=n
7 (21·22下·阶段练习)已知数列 an 满足关系：a1= 1，当n≥ 2时，2an-an-1+1= 0，则 a5= ( )
A. 31 B. 15 C. - 7 D. - 15
8 16
【答案】C
【分析】依题意可得 an+1= 1 a 1 n-1+1 ，即可得到 an+1 是以 2为首项， 为公比的等比数列，从而求出2 2
an 的通项公式，即可得解；
1 1 1
【详解】解：因为当 n≥ 2时，2an-an-1+1= 0，an= an-1- ，所以 a2 2 n+1= a2 n-1+1 ，且 a1+1= 2，所以
1 1 n-1 1 n-2 3
a
1
n+1 是以 2为首项， 为公比的等比数列，所以 an+1= 2× ，即 an= -1，所以 a5=2 2 2 2
-1=- 7 .
8
故选:C.
8 (2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高三 (文)) a已知数列 an 满足：a1= 1，a nn+1= an+
(n
2
∈N+)，由 a2、a3、a4归纳出数列 an 的通项公式是 .
1
【答案】an=
2n-1
a
【分析】由递推公式求出 a2、a3、a4，归纳出数列 an 的通项公式，可利用对 an+1= nan+
变形求得数列
2
1 + 1 是等比数列，再求通项公式.an
1 1
【详解】a = 1，a = a1 = 1 = 1 a，a = 2 = 3 = 1 a，a = 3 = 7 11 2 + + 3 + 4 + = ，由此归纳出数a1 2 1 2 3 a2 2 1
3 + 2
7 a3 2 1 15
7 + 2
a 1列 n 的通项公式 an= n ，以下证明：2 -1
a 1
由 an+1= n+ ，得 =
2 + 1 1 1，所以 + 1= 2 + 1 ，an 2 an+1 an an+1 an
又 a1= 1 1，所以 + 1= 2 1，所以数列 + 1 是以 2为首项，2为公比的等比数列，a1 an
1
所以 + 1= 2× 2n-1= 2n 1，所以数列 an 的通项公式 an= n ．an 2 -1
1
故答案为：an=
2n
.
-1
2a -1
9 (22·23·全国·专题练习)已知数列 an 满足 a n1= 2，an+1= + ，则 a = ．an 4 n
3
【答案】 - 1
n
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
2x- 1 2x- 1
【详解】设 f x = + ，令 f x = x得： + = x，解得：x=-1；x 4 x 4
- - = 2aa 1 n
-1 3 an+1- n+1 + -1 ，化简得，aa 4 n+1+1= ，n an+4
1 = an+4 1 =
an+1 + 3 1 1
所以 + ，从而 = + ，an+1 1 3 an+1 an+1+1 3 an+1 3 an+1
36
1 1
故 - = 1 ，
an+1+1 an+1 3
1 = 1 1 1又 + ，所以 + 是首项和公差均为 的等差数列，a1 1 3 an 1 3
1 1 1 n 3
从而 + = + n- 1 × = ，故 an= - 1．an 1 3 3 3 n
3
故答案为： - 1
n
10 (2022上·天津静海·高三静海一中校考)设数列 an 前n项和为S 2n，Sn=n +n+ 5，则数列 an 的
通项公式为 ．
7, n= 1
【答案】an= 2n, n≥ 2
S1, n= 1
【分析】利用 an= ，即得.Sn-Sn-1, n≥ 2
【详解】因为S 2n=n +n+ 5，
当n= 1时，a1=S1= 7；
当n≥ 2时，an=S 2n-Sn-1=n +n+ 5- n- 1 2+ n- 1 + 5 = 2n，
∵ a1= 7不适合上式，
7, n= 1
所以数列 an 的通项公式 an= .2n, n≥ 2
7, n= 1故答案为：an= .2n, n≥ 2
11 (22·23下· 1 1浙江·模拟预测)记Tn为数列 an 的前n项积，已知 + = 1，则T10= ( )Tn an
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
T
【分析】当 n= 1时，有T= a ，当n≥ 2时，有 n1 1 = an，结合题目条件，即可求得本题答案.Tn-1
【详解】1.当n= 1 1时， + 1 = 1，∵T= a
T a 1 1
，∴ a1= 2；
1 1
T
2. n≥ 2 n = a 1 + 1 = 1 1 T当 时，有 n，代入 ，得 + n-1 = 1，Tn-1 Tn an Tn Tn
化简得：Tn-Tn-1= 1，则Tn=n+ 1，T10= 11.
故选：D
12 (19·20·全国·模拟预测)已知数列 a 的各项均为正数，且满足 a = 2，n2a2 -4 n+ 1 2a2n 1 n+1 n
-2 n+ 1 an+nan+1= 0，设Sn为数列 an 的前n项和，则S2019= ( )
A. 2019× 22020+2 B. 2019× 22020-2 C. 2018× 22020+2 D. 2018× 22020-2
【答案】C
a a a a
【分析】首先根据题中条件，可以整理得到 n+1+ = 2
n，从而判断出数列 n 1
n 1 n n 是以 = 2为首项，以 2为1
公比的等比数列，进而求得 an=n 2n，之后应用错位相减法求得Sn= (n- 1) 2n+1+2，将n= 2019代入即可
求得结果.
【详解】因为 n2a2n+1-4 n+ 1 2a2n-2 n+ 1 an+nan+1= 0，
所以有 [nan+1+2(n+ 1)an] [nan-2(n+ 1)an]+ [nan+1-2(n+ 1)an]= 0，
37
所以 [nan+1+2(n+ 1)an+1] [nan+1-2(n+ 1)an]= 0，
因为数列 an 的各项均为正数，所以 nan+1-2(n+ 1)an= 0，
a
即 n+1
an a a
+ = 2 ，又因为 a1= 2，所以数列
n 1
n 1 n n 是以 = 2为首项，以 2为公比的等比数列，1
a
所以 n = 2n，所以 a n 1 2 n
n n
=n 2 ，所以Sn= 1 2 +2 2 + +n 2 ①，
2S = 1 22n +2 23+ +n 2n+1②，
①-②得：-Sn= 21+22+ +2n-n 2n+1= 2n+1-2-n 2n+1= (1-n) 2n+1-2，所以Sn= (n- 1) 2n+1+2，
所以S2019= 2018 22020+2，故选：C.
n-1
13 (2017· 1四川泸州·一模 (理))已知数列 {an}的前n项和Sn=-an- +2(n∈N *)，则数列 {an}的2
通项公式 an= ．
【答案】an= n
2n
n-1 n n+1
【详解】因Sn=-an- 1 +2 1 1，故S2 n+1=-an+1- +2，以上两式两边相减可得 a2 n+1=-an+1+an+ 2 ，
1 n+1 a
即 2a = a + ，也即 n+1
an a n
n+1 n - = 1，所以 n = 1+ (n- 1) × 1=n，即 an=n 1 ，应填答2 1 n+1 n n 2 12 1 22
n
案 n．2
14 (22·23·专题练习)已知正项数列 an 中，a1= 2,an+1= 2an+3× 5n，则数列 an 的通项 an= ( )
A. -3× 2n-1 B. 3× 2n-1 C. 5n+3× 2n-1 D. 5n-3× 2n-1
【答案】D
a 2
【分析】给已知等式两边同除以 5n+1，令 bn= nn 则可得 bn+1-1= bn-1 ，从而得数列 bn-1 是等比数列，5 5
求出 bn，进而可求出 an
a a
【详解】在递推公式 an+1= 2a +3× 5n 2 3n 的两边同时除以 5n+1，得 n+1 n
5n+
= ×
1 5 5n
+ ①，
5
a
令 b = n 2 3 2n
5n
，则①式变为 bn+1= b + ，即 b -1= b -1 ，5 n 5 n+1 5 n
a 3 2
所以数列 bn-1 是等比数列，其首项为 b1-1= 1 - 1=- ，公比为 ，5 5 5
3 2 n-1 n-1 a n-1 n-1
所以 bn-1=- ×5 5 ，即 b = 1-
3 × 2 ，所以 nn = 1- 3 × 2 = 1- 3× 2 ，5 5 5n 5 5 5n
所以 an= 5n-3× 2n-1，
x+ 1 2 ,x≤
1
2
15 (2022· 7高三课时练习)已知函数 f x = 2x- 1, 12 < x< 1，若数列 an 满足 a1= ，a = 3
n+1
x- 1,x≥ 1
f an n∈N * ，则 a2022= ( )
A. 7 B. 4 C. 5 D. 1
3 3 6 3
【答案】D
【分析】先由函数关系式及已知求得数列 an 从第三项起构成周期为 3的数列，再由周期性求解即可.
7 7 4 4 1 1 5 5 2 2
【详解】由题意知，a1= ，a2= f = ，则 a3= f = ，a4= f = ，a = f = ，a = f3 3 3 3 3 3 6 5 6 3 6 3
38
= 1 ，a7= f 1 = 5 ， ，3 3 6
所以数列 a
1
n 从第三项起构成周期为 3的数列，故 a2022= a674×3= a3= ．3
故选：D．
16 (2023·全国·高三专题练习)在数列 an 中，已知 a1= 3，a2= 0，且 a n= an-1-an-2 (n≥ 3,n∈N )，则
a2021= ．
【答案】0
【分析】由递推关系得出数列 an 是以 3为周期的周期数列，即可得到答案．
【详解】由 a1= 3，a2= 0，可得 a3= 3，a4= 3= a1，a5= 0= a2， ，
所以 an 是以 3为周期的周期数列，
因为 2021÷ 3= 673 2，
所以 a2021= a2= 0，
故答案为：0．
17 已知数列 {an}满足 a1= 1，当n为奇数时 an+1= an，当n为偶数时 a nn+1= an+2 ，则n≥ 2时，a2n-1=
( )
n+1
A. 4 -4 4
n+2
B. -4
n n+1
C. 4 -1 D. 4 -1
3 3 3 3
【答案】C
【分析】分析知：当 k∈N *时 a k k2k= a2k-1，a2k+1= a2k+4 ，两式相减得 a2k+1-a2k-1= 4 ，则n≥ 2时，利用累加法
即可求出答案.
【详解】由 n为奇数时 a n kn+1= an，当n为偶数时 an+1= an+2 ，可得当 k∈N *时 a2k= a2k-1，a2k+1= a2k+4 ，两式
相减得 a2k+1-a k2k-1= 4 ，所以n≥ 2时 a2n-1= a1+ (a3-a1) + (a5-a3) + + (a 22n-1-a2n-3) = 1+ 4+ 4 +
n n
+4n-1= 1- 4 = 4 -1 .
1- 4 3
故选：C.
39

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