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(共38张PPT)
参数估计
07
目录/Contents
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
点估计
点估计的优良性评判标准
置信区间
单正态总体下未知参数的置信区间
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
7.1
点估计
一、矩估计
二、极大似然估计
设总体 为总体分布中的未知参数,
是取自总体的一个样本,
用样本来构造 的
估计, 称 为 的一个点估计, 记作
两个常用方法: 矩估计法和极大似然估计法. 所求出的估计量则分别称为矩估计量和极大似然估计量.
用样本的 阶原点矩替代总体的 阶原点矩, 这样得到
称为 的矩估计量.
一、矩估计
总体的 阶原点矩
样本的 阶原点矩
A
B
的未知参数 的估计量
一、矩估计
例1
01
OPTION
02
OPTION
一、矩估计
解
为取自该总体的一个样本.
的矩估计量;
的矩估计量.
解⑴ 因为 , 故 的矩估计量可定义为
例2 设总体 , 其中 未知,
一、矩估计
试求:
1
2
解⑵ 因
所以:
（2） 已知， 未知，求 的矩估计量；
一、矩估计
（1）求 的矩估计量；
（3） 和 都未知，求 的矩估计量.
例3
又因为 已知，
(2)
(3) 因为 未知，故
一、矩估计
解
故
定理 设总体 的均值 , 方差 ，
为取自该总体的一个样本,
则 是 的矩估计量,
是 的矩估计量, 是 的矩估计量.
关于矩估计量有下列结论:
一、矩估计
一、矩估计
例4
解
一、矩估计
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
设 为取自该总体的
一个样本，求 的矩估计量.
因 , 而
所以可由此解出
故 的矩估计量为
一、矩估计
补例
解
设总体
其中 未知, 求 的矩估计量.
其余
一、矩估计
补例
由已知条件可求得
所以
故,
解
例5 设一箱子中装有黑和白两种颜色的球，其中一种颜色的球有99个，另一种颜色的球只有1个.但是不知道那个颜色的球是只有1个.我们随机地从这个箱子里有放回地取2个球，结果取得的都是白球，问这个箱子中那个颜色的球只有1个？
二、极大似然估计
二、极大似然估计
二、极大似然估计
例6
分析：
二、极大似然估计
极大似然估计的定义：
二、极大似然估计
为可微函数时, 则将似然函数取对数：
当 的似然函数
二、极大似然估计
建立并求解似然方程组:
一般说来, 极大似然估计值可由解对数似然方程得到. 当似然函数不可微时, 也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.
二、极大似然估计
二、极大似然估计
例7
二、极大似然估计
设总体 , 是取自该总体的一个样本,
参数 未知
（2） 的极大似然估计量.
解（1） ①写出似然函数
试求（1） 的极大似然估计量；
二、极大似然估计
例8
②对似然函数取对数:
二、极大似然估计
解方程组得
③建立似然方程组:
④由此即得未知参数的极大似然估计量为
二、极大似然估计
以 替代 即得 的极大似然估计量为
（2） 已经求得
又
二、极大似然估计
二、极大似然估计
例9 设总体 是来自该总体的样本,其中 未知.
求 的极大似然估计量.
解 样本的似然函数为
其余
二、极大似然估计
显然无法求解出参数. 于是从原始定义出发讨论, 发现
, 对数似然方程
二、极大似然估计
当 时, 对数似然函数为
二、极大似然估计
④写出未知参数的极大似然估计量:
二、极大似然估计
设 是未知参数 的极大似然估计量, 则 的
定义为 （也是替代的思想）.
极大似然估计量
性质
已知总体 的概率函数为
其中 未知, 设 是取自总体的样本,其观测值
极大似然估计值.
, 求参数 的
二、极大似然估计
解 样本观测值的似然函数为
得
, 由此即解得
取对数得 ,
求导并建立似然方程,
二、极大似然估计
设总体的分布为 , 其中 为未知参数, 为样本观测值, 则求 的极大似然估计值 的过程如下:
（1）写出似然函数
（2）称满足关系式
二、极大似然估计
的解 为
的极大似然估计值, 而 为 的极大似然估计量.如果是 的可微函数, 则将似然函数
取对数:
二、极大似然估计
建立并求解似然方程组:
一般说来, 极大似然估计值可由解对数似然方程得到.似然函数不可微时, 也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.
二、极大似然估计
极大似然估计求解
对数似然求导法
直接法
似然函数
二、极大似然估计

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