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(共20张PPT)
参数估计
07
目录/Contents
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
点估计
点估计的优良性评判标准
置信区间
单正态总体下未知参数的置信区间
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
7.2
点估计的优良性评判标准
一、无偏性
二、有效性
三、相合性
如果未知参数 的估计量
满足
如果
则称 为 的一个无偏估计量.
则称 为 的渐近无偏估计量.
一、无偏性
定义1
的极大似然估计量 ;
的矩估计量 ;
解 (1)由矩估计定义可知
(2)又由上一节例9得 .
一、无偏性
设 是来自总体 的一个样本, 总体
其中 未知,
试求
1
无偏估计 若不是, 将其修正为无偏估计.
问 是不是未知参数的
2
3
例1
⑶ ;
由次序统计量的分布知当 时, 的概率密度
函数为
故
一、无偏性
定义 ,
因此, 矩估计是无偏估计而极大似然估计不是无偏估计.
一、无偏性
例2
分别讨论是 的无偏性.
设总体 为来自该
总体的一个样本,
一、无偏性
故 是 的无偏估计.
一、无偏性
故 不是 的无偏估计.
解
则有
若总体 的均值 , 方差 , 样本为 ,
⑴
⑵
因此, 样本均值是总体均值的无偏估计, 样本方差是总体方差的无偏估计, 而样本的二阶中心矩是总体方差的渐近无偏估计。
一、无偏性
定理 1
补例
设总体 为从该总体中取出的简单样本,
记 分别为样本均值和样本方差 , 若
由统计量性质知
由题意 , 即
为 的无偏估计, 试计算 的值.
由此解得 .
一、无偏性
解
二、有效性
意的 ，都有 ,
设 是未知参数 的两个无偏估计，若对任
使得上述不等式严格成立，
则称 比 有效.
且至少有一个
定义2
设 是来自总体 的一个样本, 总
体 , 其中 未知,
由前面的讨论已经知道
的矩估计量 是无偏估计;
修正后的 的极大似然估计量 是无偏
估计.
(2)
(1)
例1续
又
二、有效性
进一步可得
设总体 为来自该总体
的一个样本, 其中 是未知参数,
试求解下列问题:
试比较这两个估计的有效性.
试证 的极大似然估计 和样本方差
都是 的无偏估计;
补例
二、有效性
01
OPTION
02
OPTION
解⑴ 由题设知
故
因此
二、有效性
可见这两个估计都是无偏的;
解⑵ 又因为
二、有效性
显然 比 有效.
因此
的一个估计量.
设 是
如果对 ,有
三、相合性
定义3
定理 2
三、相合性
如果 是 的一个无偏估计, 且 ,
那么 是 的相合估计量.
例3
三、相合性
证明
补例
由 , 且 ,
知 是未知参数 的相合估计.
设总体 , 其中 未知, 的矩
估计量 ,
试证明 是一个相合估计.
三、相合性
证明

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