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第九章 时间序列分析
《统计学原理与应用》
提纲 (Outline)
9.1 问题的提出
9.2 时间序列分析概述
9.3 时间序列的水平指标
9.4 时间序列的速度指标
9.5 时间序列的构成要素
9.6 时间序列的要素分解
9.1 问题的提出
问题：
（1）同一指标数据随时间变化呈现怎样特征？
（2）同一指标数据变化，你能看到什么吗？
（3）你会分析数据变化背后的原因吗？
（4）从一指标数据变化你能提出什么样的问题？
9.1 问题的提出
【例9.1】问从2000年1月-2011年12月我国社会消费品零售
总额的月度数据，你能看到什么？
图9.1 2000.1—2011.12我国月度社会消费品零售总额（单位：亿元）
数据来源：《宏观经济景气监测月报》，国家统计局
9.1 问题的提出
【例9.1】问从2000年1月-2011年12月我国社会消费品零售
总额的月度数据，你能看到什么？
现在需要回答的问题是：
（1）我国社会消费品零售总额的变动程度究竟有多大？
（2）不同月份零售总额的差异性是否具有数量规律性？
（3）产生月度零售总额差异的因素来自于哪里？是一种因
素造成还是若干因素造成？如果是多种因素造成，能否将
其分开独立加以研究？
9.2 时间序列分析概述
一、时间序列含义
时间序列的研究对象就是一组按时间顺序排列所形
成的数据序列，此与不同事物在某一时间点所对应指标
数据形成的序列有一定差异。
时间序列的确切含义是由某一事物在不同时间点具
体表现数量特征而形成的数据序列，从广义上来说，时
间序列与横截面数据序列一样，都是由一组数据构成。
时间序列具有两个基本要素：一是被研究对象的时
间范围；二是在该时间范围内该对象在各观测时间点上
体现具体现象时所含有的数据。
9.2 时间序列分析概述
二、时间序列的种类
1. 按指标形式划分
（1）绝对数时间序列，如前述月度消费品零售总额
（2）相对数时间序列，如1978-2011年GDP增长率
（3）平均数时间序列，如1978-2011年人均GDP
2. 按变量性质划分
（1）确定性时间序列，如每月职工计划工作时间
（2）随机性时间序列，如每月职工实际工作时间
3. 按变化形态划分
（1）趋势性时间序列，如前述我国月度消费品零售总额
（2）平稳性时间序列，如月度职工实际工作时间
（3）季节性时间序列，如某地最近几年月度气温
9.2 时间序列分析概述
三、编制时间序列的原则种类
各期指标数据值所属时间可比
各期指标数据值总体范围可比
各期指标数值计算口径可比
各期指标数值经济内容可比
（1）指标分析法，通过时间序列本身的指标含义和数据特征
来揭示事物现象发展变化状况和发展变化程度的一种分析方
法。
（2）构成因素分解法，通过对影响时间序列的构成因素进行分
解来揭示事物现象随时间变化而演变的规律的一种分析方法。
四、时间序列的分析方法
9.3 时间序列的水平指标
一、发展水平
发展水平（Develop Level）为某一现象在各个时间点上
达到的规模和水平数量，如一个国家的经济总水平、经济增长
水平、人均收入水平等。发展水平未必一定是时间序列的绝对
量指标数据，发展水平表示的是某时间点上的一种状态，绝对
量的变化水平也是发展水平的一种。
对于给定的时间序列 的各期发
展水平，我们称 为初始水平；
为中间水平； 为期末水平
9.3 时间序列的水平指标
一、发展水平
基期（Basic Time）——时间序列中作为比较而选择的参照时间点，基期所对应的发展水平称之为基期水平。比如，对于给定的时间序列 其中的任何一个时间点i均可作为基期，在比较分析中，都是将每一时期发展水平与基期发展水平作比较。
报告期（Report Time）——时间序列中所要分析或考察的那个时期，在这个时期所对应的发展水平称之为报告期水平。
9.3 时间序列的水平指标
二、平均发展水平
平均发展水平又叫序时平均数，是把时间序列中各期指标
数值加以平均而求得的平均数。一般平均数与序时平均数存在
计算和含义上的差别，计算依据的不同表现在前者是根据变量
数列计算的，后者则是根据时间序列计算的；含义上的不同表
现在前者表明总体内部各单位横截面的一般水平，后者则表明
整个总体在纵截面内的一般水平。
9.3 时间序列的水平指标
1. 绝对数时间序列的序时平均数
（1）时期时间序列——采用简单算术平均法
（2）连续时点时间序列，时间间隔相等——采用简单算术平均法
例如，某支股票6月1日至6月5日的收盘价格分别为16.2、16.7、17.5、18.2和17.8元，则5天的平均收盘价格为：
（元）。
9.3 时间序列的水平指标
1. 绝对数时间序列的序时平均数
（3）连续时点时间序列，但时间间隔不相等——采用加权算术平均法
对于应该逐日或逐月记录的时点数列,不是每日或每月记录，而是每变动一次才记录一次，此时计算该时点时间序列的平均数应考虑权重，采用加权算术平均法。
例如，某手机销售专卖店5月份的日库存记录共4次，分别为1~9日780件、10~15日784件、16~22日786件和23~31日的783件，则5月份的日平均库存为：
9.3 时间序列的水平指标
1. 绝对数时间序列的序时平均数
（4）间断时点时间序列，时间间隔相等——采用简单算术平均法
在日常统计中，有许多数据采集不是逐日记录，而是每隔一段固定时间记录一次，比如期初或期末记录，则表现为期初值或期末值，此时该期平均数计算方法为： ：
（5）间断时点时间序列，时间间隔不相等——采用加权算术平均法
在日常统计中，还有许多数据采集不但不是逐日记录，而且间隔记录的时间不稳定，随机性较大，此时该期时点时间序列平均数采用加权平均法计算：
9.3 时间序列的水平指标
2. 计算相对数时间序列的序时平均数
（1）x、y均为时期序列
（2）x、y均为时点序列
（3）x为时期序列，y为时点序列
9.3 时间序列的水平指标
三、增长量与平均增长量
增长量（Add Value）也称增量，它是指报告期水平相对基期
水平变化的差异水平，若时间序列各期发展水平为
，那么增长量可表示为： ，即第j期与第i期水平之差。
（1）逐期增长量—指相邻两期的差异水平，即；
（2）累计增长量—中间任何一期相对初始期的增长量，即；
（3）1%的增长量—相对基期水平变化1%的差异水平，即 1%；
（4）年距增长量—本期发展水平与去年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响， 即（L = 4或12）；
（5）平均增长量—逐期增长量的序时平均数，即
9.4 时间序列的速度指标
一、发展速度
时间序列中报告期水平与基期水平之比，称之为发展速度
(Develop Speed)，它表示的是报告期水平较基期水平的相对发展程
度，其数学表达式为：
（1）定基发展速度：
（2）环比发展速度：
（3）同比发展速度：
9.4 时间序列的速度指标
二、增长速度
时间序列中报告期水平相对基期水平的增长量与基期水平之
比，称之为增长速度(Growth Speed)，它表示的是报告期水平较基期
水平增长的相对程度，其数学表达式为：
9.4 时间序列的速度指标
三、平均发展速度
平均速度是指各时期环比速度的序时平均数。平均发展速度
（Average Develop Speed）是指事物每一期发展的平均程度，一般
都是采用几何平均算法进行计算。以 表示各期环比发
展速度， 表示平均发展速度，那么按几何平均算法计算的平均发展
速度的数学表达式为：
四、平均增长速度
平均增长速度（Average Growth Speed）与平均发展速度存在其
它发展速度与增长速度相类似的关系，即：
平均增长速度 = 平均发展速度 – 1
9.5 时间序列的构成要素
一、时间序列的构成要素
时间序列的构成要素：长期趋势项（Trend，T）、季节变动项（Seasonal Fluctuation，S）、循环变动项（Cyclical Variation，C）和不规则变动项（Irregular Variation，I）。
1. 长期趋势（T）
长期趋势是指现象在较长时期内受某种根本性因素作用朝某一方向持续变化而形成的总的变动趋势。长期趋势的形成是由现象内部某种长期发挥根本性和决定性作用的因素所致。
2. 季节变动（S）
季节变动是指现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动。时间序列里的季节因素是一种广义的季节概念，季节变动不仅指时间序列随着自然季节的更替而变动，而且还包括一年内有规律的、按一定稳定周期（季、月、旬、周或日）重复出现的变化。
9.5 时间序列的构成要素
一、时间序列的构成要素
图9.2 我国社会消费品零售总额的月度变动长期趋势
9.5 时间序列的构成要素
一、时间序列的构成要素
3. 循环变动（C）
循环变动是指现象以若干年（或季、月）为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动。循环变动的原因通常是现象的某种内在规律，比如农产品价格存在循环变动，一段时期上升后紧接着一段时期的下降，其循环变动的原因来自于市场的供需关系。需要注意的是循环变动与季节变动存在较大的不同，一是变动的机理不同，循环变动起因于内在因素，而季节变动起因于外在因素；二是变动的规律不同，循环变动的周期长短不一，而季节变动的周期相对稳定。
4. 不规则变动（I）
不规则变动是指现象一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响而产生的变动两种类型，即影响因素的时间往往是短暂的、不可预测的。
9.5 时间序列的构成要素
二、时间序列的构成要素模型描述
（1）加法模型是假定四个因素的影响相互独立，每个因素的计量单位与原始指标值相同，S、C和I可以看作是与长期趋势T相比所产生的或正或负的偏差。
（2）乘法模型是假定四个因素的影响相互关联，长期趋势T取与原始指标值X相同计量单位的绝对量，其余三个分项因素S、C和I可以看作对长期趋势T增加或减少的百分比。
（3）在时间序列中，一般而言循环变动项C和不规则变动项I总是存在的，而长期趋势项T、季节变动项C可以不存在。在加法模型中，不存在的变动项取为0；在乘法模型中，不存在的变动项取为1。
加法模型：
乘法模型：
9.6 时间序列的要素分解
一、长期趋势项的测定
记 为时长为n的时间序列，移动平均系数
为算子，移动平均后的序列记为 ，那么原始序列 的 项移动平均的计算公式为：
1.移动平均法
2.模型拟合法
（1）线性模型：
（2）抛物线模型：
（1）指数模型：
9.6 时间序列的要素分解
一、长期趋势项的测定
图9.4 2000.1—2011.12间我国实际消费的长期趋势—线性模型拟合曲线
图9.5 2000.1—2011.12间我国实际消费的长期趋势—抛物线模型拟合曲线
9.6 时间序列的要素分解
一、长期趋势项的测定
时序扩大法是一种更为粗略的估计时间序列长期趋势的方法，它是一种将时间频率缩小的方法。例如，对于月度时间序列数据，此方法是将月度数据转换成季度频率或年度频率数据，即同一季度内的月度数据相加或同一年度内的数据相加，得到季度时间序列或年度时间序列，以季度或年度时间序列观察月度时间序列的长期变化趋势。
3.时序扩大法
图9.7 2000.1-2011.4年间我国季度消费额
图9.8 2000-2011年间我国年度消费额
9.6 时间序列的要素分解
二、季节变动项的测定
如果时间序列不存在明显的长期趋势，其曲线形态围绕一水平线上下波动，那么测定这类时间序列的季节变动项可直接利用同期（月或季）平均法。其计算过程如下：
（1）浏览数据是否存在明显的长期趋势，确定序列不存在明显的长期趋势。
（2）计算各年同期（月或季）的平均数 （i=1,2，…，12或i=1,2,3,4），消除各年同一时期数据上的不规则因素。
（3）计算全部数据的平均数 ，它表示的是整个序列的水平趋势状态。
（4）计算季节因子 ，
1.不含趋势项的同期平均法
9.6 时间序列的要素分解
二、季节变动项的测定
如果时间序列存在明显的上升（或下降）趋势或循环变动，那么测定序列的季节变动项则需要首先从序列中剔除趋势和循环因素，然后利用同期平均法测定季节变动因素。
（1）对原始序列计算平均项数等于季节周期L（12或4）的中心化移动平均，以消除季节因素和不规则因素，所得的新序列M只包含趋势变动项T和循环项C。
（2）利用乘法模型剔除原始时间序列X的趋势变动项T和循环项C获得季节变动项和不规则项：
（3）计算序列S﹒I各年同期（月或季）的平均数据，记为 ，以消除不规则变动项I，再分别除以S﹒I的总平均数，得季节因子Si。
（4）调整季节因子。季节因子的总和 应等于季节周期的长度L，但是计算出来的季节因子总和未必正好等于周期长度L，此时应对季节因子进行调整，调整的方法是以 作为调整系数，将误差分摊到各期的季节因子中去，调整后的季节因子表示为 ：
2.包含趋势项的同期平均法
9.6 时间序列的要素分解
二、季节变动项的测定
对于存在季节因素影响的时间序列，由于季节因素的原因使得原始时间序列的其它特征（如长期变动或循环变动）不能清晰地表现出来，只有通过消除季节因素后进行分析才可更为客观准确，因此需对原始序列作季节因子的调整，以消除季节因素的影响成分，即：
3.季节变动的因子调整
9.6 时间序列的要素分解
三、循环变动项的测定
时间序列存在三种周期性循环变动，一是古典循环（Classical Cycle），即围绕一水平线的循环变动，绝对水平的波动；二是增长循环（Growth Cycle），即围绕长期增长趋势的循环；三是增长率循环（Growth Rate Cycle），即时间序列变化率的周期性波动。
9.6 时间序列的要素分解
三、循环变动项的测定
用同期比率法测定时间序列循环变动项，顾名思义就是通过相邻年份同一时期（月度或季度）计算序列的年距发展速度或年距增长速度，以此消除序列的趋势变动项和季节变动项。
（1）年距发展速度：
或
（2）年距增长速度：
或
式中t为年份，t-1为上一年份，i为月份或季度。
1.同期比率法
9.6 时间序列的要素分解
三、循环变动项的测定
利用时间序列构成要素的乘法或加法模型先分别剔除趋势变动项和季节变动项，对剩余的C·I或C+I作移动平均即可获得循环变动项，即：
或
对上述C·I或C+I作移动平均剔除不规则项进而获得循环变动项C。
2.剩余移动平均法
9.6 时间序列的要素分解
三、循环变动项的测定
图9.10 我国消费实际值的长期趋势项（左轴）和循环项（黑实线，右轴）
9.6 时间序列的要素分解
四、不规则变动项的测定
利用时间序列构成要素的乘法或加法模型在求出趋势变动项T、季节因子S和循环变动项C以后，可以十分简单的计算出不规则变动项I，即：
或
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