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概率论与数理统计（慕课版）
第5讲 协方差和相关系数
第4章 数字特征与极限定理
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前面我们介绍了一维随机变量的数学期望和方差,
对于二维随机变量, 除每个分量各自的概率特性外, 相
互之间可能还有某种联系, 我们现在要讨论的就是反映
分量之间关系的数字特征——
协方差和相关系数
第五讲 协方差和相关系数
01 协方差和相关系数的概念
02 协方差的计算
03 协方差和相关系数的性质
本 讲 内 容
称为 X , Y 的协方差.
记为
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 , 称
为X , Y 的
记为
协方差和相关系数的概念
4
定义
01 协方差和相关系数的概念
相关系数
协方差的大小在一定程度上反映了X 和 Y 相互间
的关系, 但它还受 X与Y 本身度量单位的影响.
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解释
为了克服
这一缺点, 对协方差进行标准化, 从而引入了相关系数
的概念.
01 协方差和相关系数的概念
01 协方差和相关系数的概念
02 协方差的计算
03 协方差和相关系数的性质
本 讲 内 容
Cov(X, Y)=E(XY) -E(X)E(Y) .
由协方差的定义及期望的性质, 可得
Cov(X, Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
计算协方差的简单公式
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02 协方差的计算
的联合分布
律为
设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分
别设定了免赔额(单位：元), 现任选一位同时投保汽车
保险和财产保险的客户, X表示其汽车保单的免赔额, Y
表示其财产保单的免赔额, 随机变量
Y X 0 100 200
100 0.2 0.1 0.2
250 0.05 0.15 0.3
求cov( X , Y ),
8
例1
02 协方差的计算
Y X 0 100 200
100 0.2 0.1 0.2 0.5
250 0.05 0.15 0.3 0.5
0.25 0.25 0.5
9
02 协方差的计算
10
02 协方差的计算
设随机变量（X, Y）具有概率密度
11
例2
其他
求
02 协方差的计算
12
其他
02 协方差的计算
13
解
设随机变量（X, Y）在区域
上服从均匀分布，求
例3
因为区域D的面积为
所以(X, Y)的概率密度为
则
02 协方差的计算
14
同理
故
02 协方差的计算
设 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2 ; 12, 22 ; )
利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得
二维正态分布的数字特征
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02 协方差的计算
01 协方差和相关系数的概念
02 协方差的计算
03 协方差和相关系数的性质
本 讲 内 容
存在常数a, b(a≠0),
使P(Y=aX+b)=1,
即X和Y以概率1线性相关
协方差和相关系数的性质
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03 协方差和相关系数的性质
X , Y 相互独立
X , Y 不相关
若
称 X , Y 不相关.
显然, 若X与Y 独立, Cov(X, Y)= 0 ,
反之, X与Y 之间没有线性关系并不表示没有关系！
显然是不相互独立的
X , Y 不相关
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例4
03 协方差和相关系数的性质
若 ( X , Y ) 服从二维正态分布,
X , Y 相互独立
X , Y 不相关
X , Y 相互独立
X , Y 不相关
相关系数含义及重要结论
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03 协方差和相关系数的性质
利用性质
简化计算
已知
求
由方差、协方差的性质及相关系数定义
20
解
例5
03 协方差和相关系数的性质
若X~N(0, 1)且Y=X 2, 问X与Y是否不相关？是否
相互独立？
21
解
例6
因为X~N(0, 1), 密度函数
为偶函数,
于是由
得
这说明X与Y是不相关的, 但Y=X 2
显然, X与Y是不相互独立的.
所以
03 协方差和相关系数的性质
利用性质简化计算
因为X与Y 相互独立, 所以
则由协方差的性质
设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布
思考：还有其他方法吗？
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解
例7
已知
其中a, b为常数,
求U 和V 的相关系数
03 协方差和相关系数的性质
则由协方差的性质
23
03 协方差和相关系数的性质
利用性质
简化计算
将一枚硬币重复掷 次, X与Y分别表示正面向上
和反面向上的次数, 则X与Y的相关系数等于
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解
例8
所以
所以
03 协方差和相关系数的性质
学海无涯, 祝你成功！
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