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第2讲 抽样分布
概率论与数理统计（慕课版）
第5章 统计量及其分布
01 抽样分布
02 正态总体的抽样分布
本 讲 内 容
01 抽样分布
3
抽样分布
统计量是随机变量，因而具有一定的分布，这个分布叫做统计量的抽样分布 .
正态分布在概率论部分已经有了详细的阐述，接下来对另外三大分布进行详细的介绍.
4
01 抽样分布
1. x2分布
设 相互独立且都服从N(0，1)，则称
服从自由度为n的x2分布，记为x2(n).
性质1
；
性质2
设 ，并且相互独立，
则
5
01 抽样分布
5 10 15 20
三大抽样分布的密度可以忽略不记
x2分布的密度
其中 .
6
01 抽样分布
设随机变量 ，且X与Y 独立，则
2. t 分布
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质
密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
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01 抽样分布
t分布的密度函数
8
01 抽样分布
3. F 分布
为服从自由度是n1，n2的F分布，记为F(n1 , n2).
若 ，X，Y 独立，
则
性质
若F~F(n1 , n2)，则1 / F~F(n1 , n2) .
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01 抽样分布
10
01 抽样分布
后两章用到查表
4.上侧分位数(点)
称xα为X 的上侧α分位数(点).
的上α分位数分别记为
设X为随机变量，给定 ，若实数xα
满足 ，
定义
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01 抽样分布
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01 抽样分布
解
因为 ，由性质5.1，有
设 ，且X，Y相互独立，
分别为来自X和Y的样本，求
的分布.
例1
13
01 抽样分布
又因 ，所以 ，进而
综上，
01 抽样分布
02 正态总体的抽样分布
本 讲 内 容
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02 正态总体的抽样分布
1.一个正态总体
正态总体的抽样分布
设 是总体 的样本， 分别是样本
均值与样本方差，
则有：
16
02 正态总体的抽样分布
样本方差分别记为 与 ，则
2.两个正态总体
设 与 分别是来自两个互相独立
样本均值分别记为 ，
的正态总体 与 的样本，
；
样本
；
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02 正态总体的抽样分布
(3)当 时，
其中
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02 正态总体的抽样分布
解
因为 ，
所以
又因 ，
所以
.
设X、Y 相互独立且都 ， ，
为其样本，求 的分布.
例2
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02 正态总体的抽样分布
解
则
设 为其样本，求
的分布.
例3
20
02 正态总体的抽样分布
解
在总体N(10, 4)中随机抽容量为5的样本X1，X2，
X3，X4，X5. 求 .
例4
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02 正态总体的抽样分布
公交车是面向大众的普通交通工具，那么公交车车门高度是如何确定的呢
设计车门时需尽可能使乘客不用低头进入公交车，同时为控制整体成本，车门又不能设计的太高.
解
设乘客身高 X ~ N(171.3, 5.62).（单位：cm）
不妨
设车门高度为h，乘客低头进车的概率不超过0.01，有
只要求出满足该式的最小的h即可.
例5
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02 正态总体的抽样分布
为此只要求出满足
由于 为h的单调函数，
的h，
记 ，
则该式等价于
，
查标准正态分布的分布表可知， ，得h=184.3，
因此将公交车车门设计为184.3 cm即可.
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02 正态总体的抽样分布
设瓶装洗洁精灌装容量服从正态分布，均值为μ，方差为1. 则 25 瓶洗洁净剂灌装量 ，是来自总体 的简单随机样本.
解
某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装500毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，误差要求控制在一定范围内。假定灌装量的方差 σ =1，如果每箱装25瓶这样的洗洁精，试问25瓶洗洁精的平均灌装量和标准值500毫升相差不超过0.3毫升的概率是多少
例6
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02 正态总体的抽样分布
另：当 n=50时，同样可算出：
根据定理5.1，有 ，进而
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02 正态总体的抽样分布
对每箱装25瓶洗洁精时，平均每瓶灌装量与标准值相差不超过0.3毫升的概率近似为86.64%，而每箱装50瓶时该概率约为96.6%，所以当增加到50瓶时，能更大程度保证平均误差很小，更能保证厂家和商家的利益.
结论
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02 正态总体的抽样分布
设所需样本容量为n，根据定理5.1
解
由题意，
设总体X服从正态分布N (72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量应取多少
例7
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02 正态总体的抽样分布

查标准正态分布得 ，因此

例8
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02 正态总体的抽样分布
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02 正态总体的抽样分布
解
根据定理5.1， ，
因此
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知识点解读—数理统计的三大分布
重点：了解x2分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算.了解正态总体的常用抽样分布.
第2讲 抽样分布
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）

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