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概率论与数理统计（慕课版）
第4讲 数学期望与方差的性质
第4章 数字特征与极限定理
2
在前几讲当中, 我们已经介绍了随机变量的数学
期望与方差的定义及计算方法, 这一讲我们总结归纳
一下它们的性质.
数学期望与方差的性质
第4讲 随机变量函数的数学期望
01 数学期望与方差的性质
02 数学期望与方差性质的应用
本 讲 内 容
(1) 设C是常数, 则E(C)=C, D(C)=0;
(4) 设X、Y 独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y),
(3) E(X+Y) = E(X)+E(Y);
(2) 若C是常数, 则E(CX)=CE(X), D(CX)=C2 D(X);
D(X+Y)= D(X)+D(Y).
问题： 若X与Y 不独立, 则D(X+Y)=？
可推广
数学期望与方差的性质
4
01 数学期望与方差的性质
（诸 Xi 独立时）
5
推广
推广
01 数学期望与方差的性质
01 数学期望与方差的性质
02 数学期望与方差性质的应用
本 讲 内 容
刚刚我们总结归纳了数学期望与方差的性质, 上
述性质可以利用定义及计算公式来证明.
数学期望与方差的性质非常重要, 既可以利用它
们简化计算, 又可以得到许多重要结论.
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02 数学期望与方差的性质的应用
已知随机变量 X 服从参数为 的泊松分布, 且
E[(X 1)(X 2)]=1, 则 =_____.
简化计算
本题要求熟悉泊松分布的有关特征,
并会利用数学期望的性质
8
例1
由
知
02 数学期望与方差的性质的应用
设X1, X2 , …, Xn是独立同分布的随机变量
数学期望的性质
方差的性质
重要结论
9
例2
i=1, 2, …, n.记
求
02 数学期望与方差的性质的应用
设X ~ B( n , p), 求E(X ), D(X ).
利用公式求E(X ), D (X ).
10
例3
解法1
重要结论
02 数学期望与方差的性质的应用
引入随机变量
相互独立
利用性质求E(X ), D (X ).
若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数
设
则 X= X1+X2+…+Xn
i=1, 2, …, n
重要方法
11
解法2
1 如第i次试验成功
0 如第i次试验失败
02 数学期望与方差的性质的应用
= np
所以 E(X)=
重要方法
12
02 数学期望与方差的性质的应用
相互独立
则 X= X1+X2+…+Xn
甲箱中任取3件产品放入乙箱后, 求：乙箱中次品件数
的数学期望.
已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品, 乙箱中仅装有3件合格品.
k = 0, 1, 2, 3.
超几何
X
利用公式求E(X ).
X 0 1 2 3
P
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例4
解法1
先求分布律
02 数学期望与方差的性质的应用
设
i = 1, 2, 3
利用性质——分解法求E(X )
则
已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品, 乙箱中仅装有3件合格品.
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例5
解法2
0, 从甲箱中取出的第i件产品是合格品
1, 从甲箱中取出的第i件产品是次品,
从甲
箱中任取3件产品放入乙箱后, 求：乙箱中次品件数的
数学期望.
02 数学期望与方差的性质的应用
设随机变量X的数学期望为E(X), 方差为D(X)>0,
引入新的随机变量
标准化随机变量
重要概念
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例6
02 数学期望与方差的性质的应用
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例7
解
设随机变量X和Y相互独立, 且X 服从参数为
的指数分布, Y 服从参数为9的泊松分布, 求
因为X 服从参数为
的指数分布, Y 服从参数为9
的泊松分布, 故
则根据方差性质
02 数学期望与方差的性质的应用
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