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概率论与数理统计（慕课版）
第3讲 随机变量的方差
第4章 数字特征与极限定理
01 方差的概念
02 方差的计算
03 常见分布的数学期望与方差
本 讲 内 容
3
在前两讲当中, 我们已经介绍了随机变量的数学
期望, 它体现了随机变量取值的平均水平, 是随机变
量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合, 仅仅知道平均值是不够的, 我
们来看几个例子：
01 方差的概念
0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
0.8 0.06 0.04 0.1
甲、乙两台机床同时加工某种零件, 它们每生产
1000件 产品所出现的次品数分别用
问哪一台机床加工质量较好？
甲、乙两台机床加工的平均水平不相上下
哪一台较好？
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例1
表示, 其分
布律如下,
01 方差的概念
某零件的真实长度为a, 现用甲、乙两台仪器各
测量10次, 将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣
你认为哪台仪器好一些呢？
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
5
例如
01 方差的概念
这个数字特征就是我们要介绍的
方差
由此看来, 研究随机变量与其平均值的偏离程度
是十分重要的.
6
那么用什么量去表示这种偏离程度呢？
01 方差的概念
若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机变量 X 的方差,
称
为 X 的均方差或标准差.
即
记为D (X ) 、V (X ) 或
D(X ) —— 描述随机变量 X 的取值偏离平均值的平均 偏离程度
方差概念
7
定义
01 方差的概念
01 方差的概念
02 方差的计算
03 常见分布的数学期望与方差
本 讲 内 容
的数学期望
若 X 为连续型r.v. , 概率密度为 f (x)
由定义, 方差是随机变量X的函数
方差如何计算？
9
若 X 为离散型 r.v., 分布律为
02 方差的计算
计算方差的一个简化公式
可以证明
10
02 方差的计算
表示, 其分
布律如下,
0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
0.8 0.06 0.04 0.1
甲、乙两台机床同时加工某种零件, 它们每生产
1000件 产品所出现的次品数分别用
问哪一台机床加工质量较好？
11
例2
02 方差的计算
0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
0.8 0.06 0.04 0.1
甲、乙两台机床加工的平均水平不相上下
可以看出, 甲机床的加工质量更好.
12
解
02 方差的计算
13
解
设X ~ P ( ), 求D ( X ).
例3
02 方差的计算
14
设 X ~ U [a, b], 求DX.
例4
其他
02 方差的计算
D (X ) = E [X - E(X)]2
分部积分法
15
解
设 X ~ N ( , 2), 求 D( X )
例5
02 方差的计算
16
求下列连续型随机变量的方差：
(1) 均匀分布； (2) 指数分布
(1)设随机变量X在[a, b]上服从均匀分布
即X~U[a, b], 其概率密度
解
例6
其他
02 方差的计算
17
则
其他
02 方差的计算
18
(2)设
上一节已求出
则
02 方差的计算
19
求下列离散型随机变量的方差：
(1) (0-1)分布； (2)泊松分布
解
例7
(1) X~(0-1)分布, 上一节已求出E(X)=p, 而
所以
02 方差的计算
20
(2) X~P( )分布, 上一节已求出E(X)= , 而
所以
02 方差的计算
01 方差的概念
02 方差的计算
03 常见分布的数学期望与方差
本 讲 内 容
常见分布的数学期望与方差
分布
期望
0-1分布
p
B(n, p)
np
P( )

(a, b)上的均匀分布
E( )
N( , 2)
方差
p(1-p)
np(1-p)

22
03 常见分布的数学期望与方差
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