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概率论与数理统计(慕课版)
第2讲 随机变量函数的数学期望
第4章 数字特征与极限定理
假如需要计算的不是X 的期
上一讲我们介绍了数学期望, 如果已知随机变
望, 而是X 的某个函数的期望, 比如说g(X)的期望.
那么应该如何计算呢？
量X的分布, 我们可以求出X 的期望.
现在提出一个问题：
2
第2讲 随机变量函数的数学期望
01 随机变量函数的数学期望
02 典型例题
本 讲 内 容
(常数k > 0), 求F 的数学期望.
每台仪器进货价500元, 销售价1000, 若卖不出去厂家
设某经销商进了三台仪器, 销售量X 的分布律为
例1
设风速V是一个随机变量, 它服从(0, a)上的均
例2
匀分布, 而飞机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
按200元回购, 求利润Y 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
4
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量, 故应有概率
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分
如何计算随机变量函数的数学期望
分布, 它的分布可以由X的分布求出来.
了g(X)的分布, 就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
布, 一般是比较复杂的 .
一旦我们知道
01 随机变量函数的数学期望
5
是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？
下面的基本公式指出, 答案是肯定的.
公式的重要性在于:
g(X)的分布, 而只需知道X的分布就可以了. 这给求随
机变量函数的期望带来很大方便.
当我们求E[g(X)]时, 不必知道
01 随机变量函数的数学期望
6
若无穷级数
绝对收敛, 则
绝对收敛, 则
若广义积分
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
01 随机变量函数的数学期望
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绝对收敛 , 则
若级数
绝对收敛, 则
若广义积分
(2) Z = g(X , Y )的数学期望
设离散 r.v. (X , Y ) 的概率分布为
设连续 r.v. (X , Y )的联合密度为
f (x , y)
01 随机变量函数的数学期望
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01 随机变量函数的数学期望
02 典型例题
本 讲 内 容
每台仪器进货价500元, 销售价1000, 若卖不出去厂家
按200元回购, 求利润Y 的数学期望.
设某经销商进了三台仪器, 销售量X 的分布律为
例3
解
02 典型例题
10
(常数k > 0), 求F的数学期望.
设风速V是一个随机变量, 它服从(0, a)上的均匀分
例4
V 的概率密度为
解
布, 而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：
02 典型例题
11
其他
Y X 1 2
1 0.25 0.32
2 0.08 0.35
求
设随机变量 ( X, Y ) 的分布律为
例5
解
02 典型例题
12
求E(X), E(-3X+2Y),
E(XY).
设(X, Y)在区域A上服从均匀分布, 其中A为x轴,
y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域.
例6
解
其他
02 典型例题
13
02 典型例题
14
设市场上对某种产品每年需求量为X 吨, 其中
应用
设组织n吨货源, 利润为 Y,
解
X ~ U [200, 400], 每出售一吨可赚300元, 售不出去, 则
每吨需保管费100元, 问应该组织多少货源, 才能使平
均利润最大？
其他
02 典型例题
15
故 n=350 时, E(Y )最大
n=350
02 典型例题
16
设随机变量 X 的分布律为
X -1 0 1 2
P 0.3 0.2 0.4 0.1
例7
解
令
, 求E(Y)
02 典型例题
17
例8
解
设二维随机变量(X, Y)的密度函数为
求E(X), E(Y), E(XY)
其他
02 典型例题
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某工厂每天从电力公司得到的电能X(单位：千瓦)
例9
设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得300
元利润, 如工厂用电量超过电力公司所提供的数量, 就要
使用自备发电机提供的附加电能来补充, 使用附加电能
时每千瓦只能取得100元利润.
问一天中该工厂获得利润
的数学期望是多少？
02 典型例题
19
服从[10, 30]上的均匀分布, 该工厂每天对电能的需要量
Y(单位：千瓦)服从[10, 20]上的均匀分布, 其中X与Y相
互独立.
设Z为一天中该工厂获得的利润, 由题意
解
即
而(X, Y)的密度函数为
其他
02 典型例题
20
即该工厂一天中获得利润的数学期望是4333元.
故
02 典型例题
21
由数学期望的性质
求
的数学期望E(Y)
例10
已知随机变量
解
由于X 服从正态分布
则
02 典型例题
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例11
设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机
试求电压的数学期望.
解
因为I与R相互独立, 所以根据数学期望的性质, 有
变量, 其概率密度分别为
其他
其他
02 典型例题
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方 差 D (X ) = E [X - E(X)]2
协方差
矩
—— X 的 k 阶原点矩
—— X 的 k 阶中心矩
—— X , Y 的 k + l 阶混合原点矩
—— X , Y 的 k + l 阶混合中心矩
在第一讲和第二讲当中, 我们学习了数学期望E(X)
和 E[g(X)]的计算方法, 该知识点是非常重要的, 因为
我们后续的数字特征都是特殊的期望, 例如：
因此只要掌握了期望的计算, 所有的数字特征计算都解决了！
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第2讲 随机变量函数的数学期望
学海无涯, 祝你成功！
概率论与数理统计(慕课版)

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