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概率论与数理统计（慕课版）
第7讲 中心极限定理
第4章 数字特征与极限定理
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大家好, 这一讲我们介绍中心极限定理.
先来看一下它的客观背景:
大家知道, 正态分布是概率统计中最重要的分布, 不仅
自身应用广泛, 而且在特殊条件下, 可以用作其他分布的近
似分布, 中心极限定理就描述了这一现象.
第7讲 中心极限定理
3
中心极限定理的客观背景
观察表明, 如果一个量是由大量相互独立的随机
因素的影响所造成, 而每一个因素在总影响中所起的作用
不大.
则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
在实际问题中, 常常需要考虑许多随机因素所产生
总影响.
第7讲 中心极限定理
01 列维-林德伯格中心极限定理
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
本 讲 内 容
设随机变量序列
独立同分布,
则对于任意实数 x ,
列维-林德伯格中心极限定理
[独立同分布的中心极限定理]
且有期望和方差：
5
定理一
01 列维-林德伯格中心极限定理
它表明:当n充分大时, n个具有期望和方差的独立同分布
的随机变量之和或者平均值近似服从正态分布.
即n足够大时, Yn的分布函数近似于标准正态的分布函数
记
近似
近似服从
近似服从
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注
01 列维-林德伯格中心极限定理
由中心极限定理
近似
设有50台接收机, 每台接收机收到的呼叫次数服
从泊松分布 (0.05), 求50台接收机收到的呼叫次数总和
大于3次的概率.
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例1
01 列维-林德伯格中心极限定理
解
近似服从

则EXi=0.9, DXi=1.92由中心极限定理
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例2
设Xi表示第i辆车的氮氧化物排放量,
01 列维-林德伯格中心极限定理
解
一台仪器同时收到50个信号 ( =1,2, ,50) , 设它们相互独立且都在区间(0, 10)上服从均匀分布, 记
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例3
解
求
因为Wi ~U(0, 10), 所以
近似服从正态分布
则
01 列维-林德伯格中心极限定理
01 列维-林德伯格中心极限定理
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
本 讲 内 容
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1, 2, …
则对任一实数 x, 有
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
即 n 足够大时,
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
[二项分布以正态分布为极限分布 ]
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定理二
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
某单位有200台电话分机, 每台分机使用外线的
概率为0.2, 假定每台分机是相互独立的, 问要安装多少条
外线, 才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？
设有X 部分机同时使用外线，则有
其中
设有N 条外线. 由题意有
由棣莫弗-拉普拉斯定理有
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例4
查表得
即
即至少要安装50条外线.
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
解
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某个计算机系统有120个终端, 每个终端有10%
的时间要与主机交换数据, 如果同一时刻有超过20台的
终端要与主机交换数据, 系统将发生数据传送堵塞. 假
定各终端工作是相互独立的, 问系统发生堵塞现象的概
率是多少？
设X为同时与主机交换数据的终端数,
例5
解
则X～B (120, 0.1)
由棣莫弗—拉普拉斯定理, X 近似服从
即X 近似服从
则
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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这一讲我们介绍了中心极限定理, 中心极限定
理在实际应用中具有极高的价值, 除了今天研究的
概率近似计算, 在后续的数理统计部分, 研究区间估
计和假设检验时, 还可以用作各种分布的近似分布.
第7讲 中心极限定理
学海无涯, 祝你成功！
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