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概率论与数理统计（慕课版）
第6讲 切比雪夫不等式与大数定律
第4章 数字特征与极限定理
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概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计
规律性, 而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才
呈现出来的.
研究大量的随机现象, 常常采用极限方法, 利用极
限定理进行研究.
极限定理的内容很广泛, 其中最重要的
有两种:大数定律与中心极限定理.
第6讲 切比雪夫不等式与大数定律
01 切比雪夫不等式
02 大数定律
本 讲 内 容
设随机变量 X 的期望E(X)与方差 D(X)存在, 则对于任
意实数 > 0,
或
理论价值
证明大数定律等等
实用价值
估计概率
切比雪夫不等式
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01 切比雪夫不等式
由切比雪夫不等式可以看出, 若 越小, 则事件
由此可体会方差的概率意义：
它刻划了随机变量取值的离散程度.
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{|X-E(X)|< }的概率越大, 即随机变量X 集中在期望
近的可能性越大.
01 切比雪夫不等式
某车间生产一种电子器件, 月平均产量为9500只,
方差为10000只, 试估计车间月产量为9000至10000只之
间的概率．
设X 表示车间月产量, 则
由切比雪夫不等式可得
车间月产量为9 000至10 000只之间的概率超过0.96.
6
例1
解
01 切比雪夫不等式
设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚时每盏灯开
灯的概率均为0.7, 假定所有电灯的开或关是相互独立的,
试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到
7200盏之间的概率.
令X表示在夜晚同时开着的电灯数目, 则X服从
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例2
解
由切比雪夫不等式可得
n=10000, p=0.7的二项分布, 这时
01 切比雪夫不等式
这个概率的近似值表明, 在10000盏灯中, 开着的灯
数在6800到7200的概率大于0.95.
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由切比雪夫不等式可得
而实际上, 此概率可由
二项分布求得精确值为0.99999.
由此可知, 切比雪夫不
等式虽可用来估计概率, 但精度不够高.
01 切比雪夫不等式
设X和Y的数学期望分别为－2和2, 方差分别为
1和4, 而相关系数为－0.5, 则
由切比雪夫不等式
9
例3
解
01 切比雪夫不等式
01 切比雪夫不等式
02 大数定律
本 讲 内 容
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景：
大量抛掷硬币正面出现频率
产品的废品率
大数定律
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02 大数定律
频率具有稳定性.
在大量的随机现象中, 随机事件的
大量的随机现象的
概率论中用来阐明大量随机现象
12
大数定律
平均结果具有稳定性.
平均结果的稳定性
大数定律（law of large number).
的一系列定理, 称为
02 大数定律
大数定律为概率论所存在的基础 ——“概率是频
率的稳定值”提供了理论依据, 它以严格的数学形式
表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定
性.
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它是随机现象统计规律的具体表现, 也成为数理统
计的理论基础.
02 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,
p 是每次试验中 A 发生的概率, 则
有
或
依概率收敛
频率
p.
伯努利大数定律
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02 大数定律
给概率的统计定义提供了理论依据在概
率的统计定义中, 事件 A 发生的频率“稳定于”事件
A在一次试验中发生的概率.
如命中率等在 n 足够大时, 可以用频率近
似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
伯努利大数定律的意义
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理论价值
实用价值
02 大数定律
则
有
或
且具有相同
相互独立,
设随机变量序列
且
相互独立同分布,
设随机变量序列
切比雪夫大数定律
辛钦大数定律
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的数学期望和方差
具有数学期望
02 大数定律
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算
术平均值依概率收敛于数学期望.
算术
均值
数学
期望
近似代替.
可被
平均数法则
定理的意义

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当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
02 大数定律
设总体X~E(2), (X1, …… , Xn)为简单随机样本,
则n→∞时,
因此根据大数定律有
依概率收敛于
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例4
依概率收敛于______
因为X1, X2, …… , Xn独立同分布,
所以因为X12, X22, …… , Xn2也独立同分布,
02 大数定律
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